吳燕梅

江蘇省海門(mén)中學(xué) 226100

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出：“通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)，要讓學(xué)生掌握并應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基礎(chǔ)內(nèi)容，深入理解數(shù)學(xué)的核心概念，這是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵性措施.”可見(jiàn)，概念是形成良好數(shù)學(xué)思想方法的基本載體，是學(xué)生掌握基本技能、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心.

實(shí)況調(diào)查

長(zhǎng)期以來(lái)，受傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響，不少教師依然存在“重解題，輕概念”的思想，導(dǎo)致概念與解題相脫節(jié)的現(xiàn)象出現(xiàn).正因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的不求甚解，或零碎、機(jī)械的記憶等行為，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不清，影響了教學(xué)成效.為了解學(xué)生對(duì)概念掌握的真實(shí)情況，筆者特別提出了以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）“ρ”與“θ”在極坐標(biāo)中分別代表什么意思？說(shuō)一說(shuō)你們對(duì)直線θ=（ρ∈R）中ρ∈R的理解.

（2）說(shuō)一說(shuō)你們對(duì)“函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)值是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率”這句話的理解.

（3）定積分的值與曲邊梯形的面積具有怎樣的關(guān)系？

（5）在數(shù)列｛an｝中，如果an=qan－1（q≠0，n∈N，n≥2），那么該數(shù)列是否為等比數(shù)列？

（6）什么是條件概率？怎么判斷、計(jì)算條件概率？

以上六個(gè)關(guān)于概念的問(wèn)題，難度并不大，但學(xué)生回答的正確率卻不高，尤其是第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)，雖然學(xué)生對(duì)一般導(dǎo)數(shù)與積分有所了解，但說(shuō)不清楚其真正的背景和內(nèi)涵.

筆者認(rèn)為，學(xué)生概念薄弱的主要原因有：①教師不夠重視，上課時(shí)沒(méi)有揭示概念形成與發(fā)展的背景；②學(xué)生沒(méi)有形成良好的思考習(xí)慣，對(duì)概念的來(lái)龍去脈沒(méi)有加以分析，只是機(jī)械地記憶；③高中數(shù)學(xué)概念本身就比較抽象，大部分概念并不能直接用于解題，而是要間接應(yīng)用或衍生后應(yīng)用，無(wú)形中弱化了概念的地位.

因此，在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)將概念復(fù)習(xí)與解題能力的培養(yǎng)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，以形成良性循環(huán)，實(shí)現(xiàn)概念理解與解題能力的雙提升.

應(yīng)對(duì)措施

1.理清知識(shí)脈絡(luò)，重構(gòu)概念

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性的學(xué)科，知識(shí)間有著一定的層次性與關(guān)聯(lián)性.復(fù)習(xí)并非就“概念論”教會(huì)學(xué)生如何背誦一個(gè)概念，而是讓學(xué)生透過(guò)問(wèn)題看到概念背后的知識(shí)脈絡(luò)，只有打通“任督二脈”，建立完整、清晰的知識(shí)脈絡(luò)網(wǎng)，才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.而這一切均建立在重構(gòu)概念的基礎(chǔ)上，只有吃透概念的本質(zhì)和內(nèi)涵，才能達(dá)到融會(huì)貫通的目的.

當(dāng)然，概念復(fù)習(xí)并非將概念單獨(dú)拎出來(lái)簡(jiǎn)單重復(fù)記憶，而是根據(jù)概念的形成與發(fā)展規(guī)律，不斷地建構(gòu)、完善與充實(shí)其內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知上的重構(gòu).

案例1“函數(shù)”的概念復(fù)習(xí).

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)函數(shù)，對(duì)函數(shù)概念并不陌生.那么，為什么到了高中階段，還要帶領(lǐng)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)函數(shù)概念呢？這是讓不少學(xué)生感到困惑的問(wèn)題.當(dāng)學(xué)完相應(yīng)的課程后，學(xué)生形成了“集合、對(duì)應(yīng)”等數(shù)學(xué)思想，又獲得了“數(shù)列、常數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)以及三角函數(shù)”等相關(guān)知識(shí)，站到一定的高度去審視這些內(nèi)容，即可撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日.

教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生感知函數(shù)單調(diào)性的發(fā)展歷程：圖像—用形式化語(yǔ)言進(jìn)行定量描述—用導(dǎo)數(shù)或極限思想進(jìn)行微觀刻畫(huà).學(xué)生在體驗(yàn)概念形成與發(fā)展的過(guò)程中，不僅能深化對(duì)概念的理解，還能為解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題夯實(shí)基礎(chǔ).

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念重構(gòu)時(shí)，教師要放平心態(tài)，不能為了趕進(jìn)度或因?yàn)橹皩W(xué)過(guò)而操之過(guò)急，應(yīng)從發(fā)展的角度、根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律幫助學(xué)生進(jìn)行概念復(fù)習(xí).復(fù)習(xí)過(guò)程中，由于學(xué)生對(duì)概念有一定的了解基礎(chǔ)，更容易接納、提煉、總結(jié)概念，提高其對(duì)概念的理解水平.

函數(shù)單調(diào)性的初次教學(xué)，學(xué)生受思維的局限，在理解程度上總不盡如人意，無(wú)法將概念很好地納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；而復(fù)習(xí)時(shí)，則能順利地理解并內(nèi)化概念，建構(gòu)良好的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).因此，概念復(fù)習(xí)應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)與概念本身的特征，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓每個(gè)學(xué)生都能從思想上、行動(dòng)上真正參與概念重構(gòu)，突破自身原有認(rèn)知.

2.反推邏輯關(guān)系，回歸概念

復(fù)習(xí)概念的方法有很多，并不一定要按部就班地依次進(jìn)行，也可以換一個(gè)角度，通過(guò)逆向分析的方式進(jìn)行復(fù)習(xí).即以終端概念為起點(diǎn)，反過(guò)來(lái)回顧初級(jí)與原始概念，通過(guò)邏輯關(guān)系的反推，編織出完整的概念體系，完善學(xué)生認(rèn)知.

這種反推邏輯關(guān)系的概念復(fù)習(xí)就是以概念為主線，讓學(xué)生在由果索因中逆向思考，理解概念，感知概念間存在的包容、從屬、并列等關(guān)系，從而理清概念的結(jié)構(gòu).

案例2用“五點(diǎn)法”很容易就能作出的圖像，但在新授課中，為何要以三角函數(shù)線進(jìn)行作圖？

復(fù)習(xí)課中，一位學(xué)生提出了以上這個(gè)問(wèn)題.反觀學(xué)生在新授課中的認(rèn)知水平，當(dāng)時(shí)學(xué)生還不知道函數(shù)的圖像具有怎樣的形狀特征，因此需要通過(guò)常規(guī)的描點(diǎn)作圖進(jìn)行探索.而由于三角函數(shù)的特殊性，導(dǎo)致其函數(shù)值不易算出，因此用三角函數(shù)線來(lái)代替三角函數(shù)值更簡(jiǎn)便，得到其圖像的形狀特征后，再應(yīng)用“五點(diǎn)法”（特殊點(diǎn)）作出其圖像，更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

反推邏輯關(guān)系，逆向分析不僅能讓學(xué)生明晰概念間的內(nèi)在聯(lián)系，還能幫助學(xué)生領(lǐng)悟概念間相生相伴的關(guān)系.實(shí)踐證明，學(xué)生在概念的理解與掌握上很難做到一步到位，因此利用復(fù)習(xí)的機(jī)會(huì)進(jìn)行鞏固與深化理解，是必不可少的環(huán)節(jié).而用反推的方法，則能加深學(xué)生對(duì)概念的理解，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，對(duì)概念形成辯證統(tǒng)一的認(rèn)識(shí).

3.梳理錯(cuò)誤原因，領(lǐng)悟概念

概念學(xué)習(xí)最直接的作用是為解題服務(wù).解題錯(cuò)誤在學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯中司空見(jiàn)慣、屢禁不止.面對(duì)一些錯(cuò)誤的發(fā)生，教師該采取怎樣的應(yīng)對(duì)措施？這是一個(gè)值得思考的問(wèn)題.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有很多錯(cuò)誤發(fā)生的原因就是學(xué)生對(duì)概念的理解不夠透徹.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生梳理錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，強(qiáng)化學(xué)生理解概念的同時(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移，為解題服務(wù).

案例3一道錯(cuò)題引發(fā)的教學(xué).

問(wèn)題：已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，一條直線l的參數(shù)方程是其中t為參數(shù)，若在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸的坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin2θ=4cosθ，同時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)A.

（1）求直線l的方程；

圖1

分析該生的解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)該生出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于：沒(méi)有準(zhǔn)確理解直線參數(shù)方程的概念、標(biāo)準(zhǔn)形式、參數(shù)的幾何意義等.直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是表示直線l上任意點(diǎn)P到固定點(diǎn)M（x0，y0）的距離.只有充分理解直線參數(shù)方程的形成過(guò)程，才能從真正意義上弄清其概念.題中所呈現(xiàn)的方程（t是參數(shù)）并非標(biāo)準(zhǔn)形式，因此這里的就不存在相應(yīng)的幾何意義.

參數(shù)方程的形式多樣，若想用它的幾何意義解題，首先就要將參數(shù)方程“標(biāo)準(zhǔn)化”.本題的直線l的參數(shù)方程可列為（t是參數(shù)），此時(shí)問(wèn)題就自然解決了.

學(xué)生因概念不清而發(fā)生的解題錯(cuò)誤在教學(xué)中屢見(jiàn)不鮮，主要原因在于缺乏完整、系統(tǒng)的概念體系，沒(méi)有理清概念的本質(zhì)，忽略了一些重要的定理、規(guī)則等，在一知半解的狀態(tài)下就解題.這種機(jī)械式的答題模式，無(wú)法適應(yīng)靈活多變的高考.因此，教師應(yīng)抓住一些典型錯(cuò)題，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)錯(cuò)題看到問(wèn)題背后的本質(zhì)，只有理清概念的來(lái)龍去脈，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，在真正意義上提升解題能力.

總之，概念是數(shù)學(xué)這座大廈的基石，是所有知識(shí)的固著點(diǎn)與生長(zhǎng)點(diǎn).輕視概念、弱化概念的地位，不僅無(wú)法建立完整的認(rèn)知體系，還會(huì)導(dǎo)致各種錯(cuò)誤的發(fā)生.因此，教師決不可虛化概念復(fù)習(xí)，更不能讓概念復(fù)習(xí)缺位，而要在遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，注重概念的重構(gòu)、體驗(yàn)與領(lǐng)悟，讓學(xué)生從根本上掌握概念.