童瑤 陳秀濤

基于廣義混合元的加筋圓柱殼振動特性分析

童瑤1，*陳秀濤1，2

（1.上海飛機設計研究院，上海 201206； 2.中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

采用有限元位移法分析加筋圓柱殼的自由振動特性問題是主流的方法，但大量試驗和數(shù)值實例表明：位移元模型會導致模擬剛度偏硬，從而使得結(jié)構(gòu)固有頻率結(jié)果不夠精確。針對這一現(xiàn)象提出了柱坐標系下的廣義混合變分原理，并建立了相應的非協(xié)調(diào)廣義混合元的無阻尼自由振動方程。通過合理地調(diào)節(jié)參數(shù)，使得非協(xié)調(diào)廣義混合元的剛度矩陣比非協(xié)調(diào)位移元的剛度矩陣柔和。實例分析表明，在有限元網(wǎng)格模型一致的情況下，結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果更加準確。

非協(xié)調(diào)位移元， 非協(xié)調(diào)廣義混合元， 加筋圓柱殼， 固有頻率， 固有振型

0 引 言

加筋平板結(jié)構(gòu)或加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)可在減輕結(jié)構(gòu)重量的同時，提高結(jié)構(gòu)的強度和穩(wěn)定性。因此，這類結(jié)構(gòu)被廣泛應用于電機、飛機機身、潛艇艙體以及管道等領域中。

文獻［1］和文獻［2］對加筋板殼類結(jié)構(gòu)振動分析的早期文獻進行了歸納和總結(jié)，結(jié)論表明，由于加筋板殼結(jié)構(gòu)幾何形狀的復雜性，數(shù)值分析方法是研究這類結(jié)構(gòu)振動特性的主要方法，其中，位移有限元法最為流行。就加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動分析研究比較有代表性的文獻有：Al-Najafi等［3］采用軸對稱單元方法研究了加筋圓柱薄殼的固有頻率和振型（在某些情況下，該方法的結(jié)果比經(jīng)典的Rayleigh-Ritz方法更可靠）；Mustafa等［4］提出利用八節(jié)點正交加筋超殼有限元，對加筋圓柱殼和正交加筋圓柱曲板的自由振動進行分析；Jiang等［5］基于超級位移有限元法的理論，提出了一種用于分析正交加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)自由振動問題的有限元數(shù)值方法。

相對于協(xié)調(diào)的位移元，非協(xié)調(diào)位移元增加了單元內(nèi)部節(jié)點的位移，這使得非協(xié)調(diào)位移元模型增加了位移變量近似多項式的完備性。因此，采用非協(xié)調(diào)位移元模型可以得到精度更高的數(shù)值結(jié)果。然而，即使采用收斂性最好的非協(xié)調(diào)位移元模型，其模型剛度依然偏硬。因此，在有限元網(wǎng)格比較稀疏的情況下，位移元模型的固有頻率結(jié)果總是大于真實解的。

通常情況下，就板殼結(jié)構(gòu)問題而言，基于彈性力學的Hamilton正則方程半解析元模型的數(shù)值結(jié)果相對比較準確［6-8］。但由于該方法在形成整體結(jié)構(gòu)的控制方程前，需先對結(jié)構(gòu)進行子層劃分，然后是對每一薄層的數(shù)值矩陣進行指數(shù)矩陣運算，同時又要對各薄層的控制方程進行乘積運算，時間消耗大。所以，就龐大的工程結(jié)構(gòu)問題而言，彈性力學的Hamilton正則方程半解析法的時間成本高。采用Hamilton正則方程半解析元模型建立加筋結(jié)構(gòu)動力學控制方程的步驟也比較繁瑣［6-8］。

彈性力學中的混合有限元法［9-11］有很多優(yōu)點。例如，位移變量和應力變量通常只需要0連續(xù)的多項式表達。另外，因為混合變分原理中的位移和應力兩類變量采用了相同的插值多項式，使得位移和應力數(shù)值結(jié)果的精度相近。最近，文獻［12］結(jié)合最小勢能原理和H-R變分原理建立了分析靜力學問題的非協(xié)調(diào)廣義混合元。文獻［13］在文獻［12］的基礎上進一步擴展了非協(xié)調(diào)廣義混合元的應用。

基于文獻［12］和文獻［13］的思想方法，并依據(jù)軸對稱非協(xié)調(diào)六面體單元的理論［14］，建立了非協(xié)調(diào)廣義混合元的動力學模型，用于加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動特性分析。

1 非協(xié)調(diào)位移元的自由振動特征方程

圖1　圓柱殼及直角坐標系

非協(xié)調(diào)位移單元的自由振動特征方程可通過最小勢能原理和Hamilton變分原理得到。

根據(jù)最小勢能原理，結(jié)構(gòu)的勢能為

結(jié)構(gòu)處于自由振動狀態(tài)下的動能為

考慮動力學問題的Hamilton變分原理：

將式（5）代入式（4），可得到非協(xié)調(diào)位移單元的自由振動特征方程：

式中，

對式（6）進行求和，可得到非協(xié)調(diào)位移元下的整體有限元模型的自由振動特征方程：

2 非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動特征方程

根據(jù)廣義混合變分原理［9-13］，可設結(jié)構(gòu)的混合能為

根據(jù)非協(xié)調(diào)元理論［14］和文獻［12-13］中的推導過程，由式（9）可得到軸對稱六面體非協(xié)調(diào)廣義混合單元的自由振動方程為

由式（10）可導出

將式（11）代入式（12）中有

對式（13）求和，可得到非協(xié)調(diào)廣義混合元的整體有限元模型的振動特征方程：

式（14）表明：非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動特征方程中只含有位移變量。因此，式（14）只需考慮位移邊界條件的引入。

3 實例分析

3.1　圓柱殼的振動特性分析

以下通過改變網(wǎng)格密度來討論=6，8，10，12，=1振型時，非協(xié)調(diào)廣義混合元數(shù)值結(jié)果的收斂性。

周向與徑向網(wǎng)格數(shù)量保持不變，分別為50個和1個單元，軸向網(wǎng)格數(shù)量從10個遞增至40個單元（每次增加為5個單元），頻率變化曲線參見圖2。

圖2　圓柱殼頻率收斂圖

從圖2中可以明顯看出，隨著網(wǎng)格密度的增加，非協(xié)調(diào)位移元和非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果均逐漸趨于穩(wěn)定。當有限元網(wǎng)格模型相同時，雖然兩種方法的結(jié)果都逼近精確解，但顯然非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果更加精確。

表1給出網(wǎng)格密度為50×40×1時的固有頻率結(jié)果。

表1　 圓柱殼的固有頻率

圓柱殼結(jié)構(gòu)的兩種有限元方法的固有振型如圖3所示。

圖3　圓柱殼的固有振型圖

3.2　環(huán)向加筋圓柱殼的振動特性分析

圖4　環(huán)向加強筋圓柱殼尺寸圖

圖5　加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分圖

表2　 各向同性加筋圓柱殼的固有頻率（S-S）

由表2可以看出，在有限元網(wǎng)格模型相同的情況下，非協(xié)調(diào)廣義混合元的結(jié)果明顯低于非協(xié)調(diào)位移元模型，更接近文獻解。

加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的兩種有限元方法的固有振型如圖6所示。

圖6　加筋圓柱殼的固有振型（S-S）

從圖6不難看出，兩種有限元法的固有振型是一致的。這進一步證明了本文方法的正確性。

4 結(jié) 論

本文提出了非協(xié)調(diào)廣義混合元下的自由振動特征方程，并應用實例證明了該方法的正確性和數(shù)值結(jié)果的可靠性。

（1） 非協(xié)調(diào)廣義混合元的自由振動特征方程的最大特點是，在消去應力變量的同時，可通過參數(shù)的最優(yōu)得到比較真實的剛度矩陣和合理振動特征方程；

（2） 實例證明，非協(xié)調(diào)廣義混合元模型的結(jié)果明顯優(yōu)于非協(xié)調(diào)位移元。從理論上講，非協(xié)調(diào)位移元模型的剛度偏硬，因而結(jié)構(gòu)的固有頻率結(jié)果偏高，而非協(xié)調(diào)廣義混合元模型的剛度更加接近真實情況，所以固有頻率結(jié)果更接近真實解。

本文的工作為圓柱殼和加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動特性分析研究提供了一種可選的可靠方法。

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Vibration Analysis of Stiffened Cylindrical Shells Based on Generalized Mixed Element Method

TONGYao1，*CHENXiutao1，2

（1.Shanghai Aircraft Design & Research Institute， Shanghai 201206， China；2. College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China，Tianjin 300300， China）

Finite element displacement methods are the mainstream methods to analyze the free vibration characteristics of stiffened cylindrical shells， but a large number of experiments and numerical examples show that the displacement element model will lead to the rigidity of the simulation， which makes the natural frequency of the structure inaccurate. In view of this phenomenon， the generalized mixed variational principle in cylindrical coordinate system is proposed，and the corresponding undamped free vibration equation of nonconforming generalized mixed element is established. By adjusting the parameters reasonably， the stiffness matrix of the nonconforming generalized mixed element is softer than that of the nonconforming displacement element.The example analysis shows that the natural frequency of structure is more accurate when the finite element mesh model is consistent.

nonconforming displacement element， nonconforming generalized mixed element， stiffened cylindrical shell， natural frequency， natural mode

2021-03-08

國家自然科學基金青年科學基金（11502286）

聯(lián)系作者：童 瑤，女，高級工程師，主要研究方向為飛機結(jié)構(gòu)設計。E-mail： tongyao@comac.cc