葛才安,鄭燕萍,虞 楊

(1.南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院， 南京 210037； 2.南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械與電子工程學(xué)院， 南京 210037)

0 引言

電池荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)反映了電池的剩余容量，精確的SOC估計(jì)可以為整車能量管理和動(dòng)力分配提供依據(jù)，還可以調(diào)整電池的充放電策略，防止過充過放[1]。由于動(dòng)力鋰電池的使用環(huán)境十分復(fù)雜，在其工作過程中只能測(cè)得溫度、電壓、電流等有限參數(shù)，而且放電電流變化大，使動(dòng)力鋰電池SOC的實(shí)時(shí)在線估計(jì)變得困難。

在前期研究中，動(dòng)力鋰電池常用的SOC估計(jì)方法有安時(shí)積分法、開路電壓法、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法和基于模型的方法等[2]。安時(shí)積分法依賴準(zhǔn)確的SOC初值，且電流存在累積誤差；開路電壓法中的開路電壓(open circuit voltage,OCV)獲取需要長(zhǎng)時(shí)間靜置，不便于實(shí)時(shí)估計(jì)SOC[3-4]；基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練，模型受限于訓(xùn)練數(shù)據(jù)；基于模型的方法關(guān)鍵是要建立高精度的電池模型。常用的電池性能模型有電化學(xué)模型、等效電路模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[5]。電化學(xué)模型采用偏微分方程和代數(shù)方程組描述電池內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)，但是偏微分方程的求解十分復(fù)雜，即使對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，計(jì)算量仍然遠(yuǎn)大于等效電路模型[6-7]。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型同樣受限于訓(xùn)練數(shù)據(jù)，而等效電路模型利用電路元器件組成的電路模擬電池的電壓、電流特性，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，因此在仿真研究中得到了廣泛應(yīng)用。

等效電路模型的參數(shù)辨識(shí)方法分為離線辨識(shí)和在線辨識(shí)[8]。離線辨識(shí)是通過擬合電池脈沖試驗(yàn)工況下的電壓特性曲線來(lái)辨識(shí)電池模型參數(shù)。例如，馬銳等[9]提出的基于3次樣條插值法的離線辨識(shí)方法，獲得了較高的SOC估計(jì)精度。但是，離線辨識(shí)的電池模型參數(shù)不會(huì)隨著電池循環(huán)次數(shù)和溫度等因素的改變而變化，模型精度有欠缺。因此，有學(xué)者提出了模型參數(shù)在線辨識(shí)方法，常見的有遞推最小二乘法(recursive least squares,RLS)、遺忘因子遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least squares,FFRLS)和卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)算法等。例如，韋莉等[10]采用RLS辨識(shí)超級(jí)電容模型參數(shù)，基于動(dòng)態(tài)容值修正的方法估計(jì)超級(jí)電容SOC，提高了不同溫度下的SOC估計(jì)精度。李振強(qiáng)等[11]采用FFRLS在線辨識(shí)二階RC模型參數(shù)，聯(lián)合擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)算法估計(jì)電池SOC，解決了RLS占用內(nèi)存大、容易出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的問題。

基于前期的研究成果，本文以三元鋰電池為研究對(duì)象，建立三元鋰電池的Thevenin等效電路模型，分別利用FFRLS和EKF算法在線辨識(shí)電池模型參數(shù)，聯(lián)合EKF算法估計(jì)電池SOC，并在動(dòng)態(tài)應(yīng)力測(cè)試(dynamic stress test,DST)工況下，比較FFRLS-EKF聯(lián)合算法和雙擴(kuò)展卡爾曼濾波(dual extended Kalman filter,DEKF)聯(lián)合算法的電池SOC估計(jì)精度。

1 三元鋰電池模型的建立

1.1 等效電路模型

等效電路模型的精確程度直接影響到電池SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性，能較好地模擬電池特性的等效電路模型，通常具有較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，占用較多的計(jì)算資源，不利于工程應(yīng)用。綜合考慮，本文選用物理意義清晰、參數(shù)辨識(shí)容易、兼顧準(zhǔn)確度和復(fù)雜度的Thevenin等效電路模型，如圖1所示[12-13]。

圖1 Thevenin等效電路模型

圖1中，I為電流，本文以放電電流方向?yàn)檎?；Ut為端電壓；Uoc為開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1為極化內(nèi)阻；C1為極化電容；U1為極化電壓。

由基爾霍夫電流定律和電壓定律可得Thevenin模型的電氣關(guān)系：

(1)

Ut(t)=Uoc(t)-U1(t)-I(t)R0

(2)

1.2 等效電路模型

三元鋰電池OCV與SOC之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)電池SOC估計(jì)有著重要的影響。采用多項(xiàng)式對(duì)電池OCV-SOC的非線性特征進(jìn)行擬合，不同階次擬合曲線的均方根誤差(root mean square error,RMSE)如表1所示，當(dāng)多項(xiàng)式階次低于5次時(shí)，擬合曲線不夠精確，當(dāng)多項(xiàng)式階次高于6次時(shí)，擬合曲線精度提升并不明顯且容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，所以選用6階多項(xiàng)式擬合三元鋰電池OCV-SOC曲線，擬合曲線如圖2，其表達(dá)式如式(3)所示。

表1 不同階次多項(xiàng)式擬合的均方根誤差

(3)

圖2 OCV-SOC擬合曲線

2 等效電路模型參數(shù)的辨識(shí)方法

2.1 遺忘因子遞推最小二乘法

利用FFRLS辨識(shí)電池模型參數(shù)時(shí)，需將Thevenin模型轉(zhuǎn)化為最小二乘法基本形式。對(duì)式(2)進(jìn)行Laplace變化，得到電池阻抗的傳遞函數(shù)：

(4)

式中，τ=R1C1為RC環(huán)的時(shí)間常數(shù)。

采用雙線性變化對(duì)式(4)進(jìn)行離散化處理：

(5)

式中，

(6)

Ts為采樣周期，本文Ts=1 s。

根據(jù)式(6)，可得k時(shí)刻的R0、R1、τ：

(7)

根據(jù)開路電壓短時(shí)不變的假設(shè)[14]，式(5)可表示為：

Ut,k=(1-θ1)Uoc,k+θ1Ut,k-1+θ2Ik+θ3Ik-1

(8)

將式(8)轉(zhuǎn)化為最小二乘基本形式：

(9)

式中：數(shù)據(jù)矩陣φk=[1，Ut,k-1，Ik，Ik-1]；參數(shù)矩陣θk=[(1-θ1)Uoc,k，θ1，θ2，θ3]，yk為輸出值。

由于RLS會(huì)隨著迭代次數(shù)的增加，出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和，為了弱化舊數(shù)據(jù)對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，引入遺忘因子λ對(duì)數(shù)據(jù)施加時(shí)變加權(quán)系數(shù)，最新的數(shù)據(jù)用1加權(quán)，之前n個(gè)采樣周期的數(shù)據(jù)用λn加權(quán)。取準(zhǔn)則函數(shù)：

(10)

FFRLS的遞推過程如下：

(11)

2.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

非線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

(12)

式中：xk+1為狀態(tài)變量；yk為輸出變量；f(·)為非線性狀態(tài)方程；g(·)為非線性輸出方程；wk為狀態(tài)噪聲；vk為觀測(cè)噪聲；wk、vk的均值為0，協(xié)方差分別為Qk、Rk。

(13)

式中，Ak、Bk、Ck、Dk分別為：

(14)

EKF算法的遞推過程如下：

(15)

以xk=[Uoc,k，R0,k，R1,k，C1,k，I1,k]T為狀態(tài)變量，yk=Ut,k為輸出變量，uk=Ik為輸入變量的三元鋰電池非線性離散化狀態(tài)空間方程如下：

(16)

式中，I1為流經(jīng)極化電阻的電流。

線性化后的系統(tǒng)矩陣為：

(17)

式中，

(18)

線性化后的觀測(cè)矩陣為：

(19)

3 電池SOC估計(jì)方法

利用EKF算法估計(jì)電池SOC需要建立關(guān)于SOC的離散化狀態(tài)空間方程，安時(shí)積分法計(jì)算電池SOC的表達(dá)式為：

(20)

式中，SOC0為SOC初始值；η為庫(kù)倫效率，可通過充放電試驗(yàn)獲得，本文取η=1；CN為電池容量，可通過靜態(tài)容量測(cè)試獲得。

將式(20)離散化：

SOCk+1=SOCk-ηIkTs/CN

(21)

將式(1)和式(2)離散化：

U1,k+1=U1,ke-Ts/τ+IkR1(1-e-Ts/τ)

(22)

Ut,k=Uoc,k-IkR0-U1,k

(23)

將離散化的電池SOC表達(dá)式與式(22)和式(23)結(jié)合并進(jìn)行一階Taylor級(jí)數(shù)展開線性化，得到離散化狀態(tài)空間方程：

(24)

式中：狀態(tài)變量xk=[U1,k，SOCk]T；輸出變量yk=Ut,k；輸入變量uk=Ik。

分別利用FFRLS和EKF算法在線辨識(shí)電池模型參數(shù)，然后利用在線辨識(shí)的參數(shù)進(jìn)行電池SOC估計(jì)，就形成了模型參數(shù)和SOC聯(lián)合在線估計(jì)方法。

4 試驗(yàn)及仿真分析

試驗(yàn)電池選用LG公司生產(chǎn)的三元鋰動(dòng)力電池，主要技術(shù)參數(shù)為：額定容量27 Ah，額定電壓3.7 V，充電截至電壓4.2 V，放電截至電壓2.75 V。試驗(yàn)平臺(tái)采用LANBTS(BT-2016E)電池測(cè)試儀，采樣周期為1 s，試驗(yàn)溫度為25 ℃。

4.1 等效電路模型驗(yàn)證

在DST工況下，分別利用FFRLS和EKF算法進(jìn)行電池模型參數(shù)辨識(shí)，電池初始SOC為1，辨識(shí)結(jié)果如圖3—5所示。從圖3—5可以看出，F(xiàn)FRLS和EKF算法辨識(shí)的電池模型參數(shù)整體上相差不大；但是FFRLS辨識(shí)的極化內(nèi)阻R1和時(shí)間常數(shù)τ在電池放電初期和即將放電結(jié)束時(shí)出現(xiàn)了比較劇烈的抖動(dòng)，而EKF算法的辨識(shí)結(jié)果較為平緩。2種算法在每個(gè)采樣時(shí)刻辨識(shí)模型參數(shù)大約需要0.01 s，遠(yuǎn)小于本文采樣周期(1 s)，實(shí)時(shí)性很好。

圖3 歐姆內(nèi)阻R0辨識(shí)結(jié)果

圖4 極化內(nèi)阻R1辨識(shí)結(jié)果

圖5 時(shí)間常數(shù)τ辨識(shí)結(jié)果

將辨識(shí)結(jié)果分別代入式(9)和式(23)得到模型端電壓，圖6為模型端電壓與實(shí)測(cè)端電壓曲線，圖7為端電壓誤差曲線。從圖6和圖7可以看出，F(xiàn)FRLS和EKF算法的模型端電壓均能較好地跟蹤實(shí)測(cè)端電壓；FFRLS由于初始值設(shè)置導(dǎo)致開始放電時(shí)的端電壓誤差較大，但是FFRLS能迅速收斂誤差，除去放電初始時(shí)的端電壓誤差，最大端電壓誤差為45.5 mV，平均誤差為0.37 mV；EKF算法的最大端電壓誤差為24.6 mV，平均誤差為3.02 mV。

圖6 模型端電壓與實(shí)測(cè)端電壓曲線

圖7 端電壓誤差曲線

4.2 電池SOC估計(jì)驗(yàn)證

同樣使用DST工況驗(yàn)證FFRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的電池SOC估計(jì)結(jié)果，電池初始SOC為1。圖8為SOC估計(jì)結(jié)果對(duì)比，圖9為SOC絕對(duì)誤差，圖8中SOC真實(shí)值為試驗(yàn)獲得。從圖8和圖9可以看出，2種聯(lián)合算法均能較好地估計(jì)電池SOC， FFRLS-EKF聯(lián)合算法的最大誤差和平均絕對(duì)誤差分別為2.49%和1.39%，DEKF聯(lián)合算法的最大誤差和平均絕對(duì)誤差分別為2.62%和1.54%，F(xiàn)FRLS-EKF聯(lián)合算法的電池SOC估計(jì)精度相比于DEKF聯(lián)合算法更高。

圖8 SOC估計(jì)結(jié)果

圖9 SOC絕對(duì)誤差

5 結(jié)論

1) 對(duì)比三元鋰電池不同階次OCV-SOC擬合曲線的均方根誤差得出：多項(xiàng)式階次低于5次時(shí)，擬合曲線不夠精確；階次高于6次時(shí)，擬合曲線精度提升不明顯且容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象。本文選用了精度較高且不易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象的6階多項(xiàng)式擬合三元鋰電池OCV-SOC曲線并用于聯(lián)合算法估計(jì)SOC。

2) FFRLS算法中遺忘因子λ值越大，舊數(shù)據(jù)所占權(quán)重越大，系統(tǒng)跟蹤效果越差，但參數(shù)辨識(shí)結(jié)果波動(dòng)越小。本文經(jīng)過多次調(diào)試后，選取λ=0.995時(shí)可避免參數(shù)辨識(shí)結(jié)果出現(xiàn)異常抖動(dòng)，具有較好的收斂性。

3) 比較FFRLS和EKF算法在線辨識(shí)Thevenin模型的結(jié)果，2種算法均能較好地跟蹤實(shí)測(cè)端電壓，F(xiàn)FRLS算法的最大端電壓誤差為45.5 mV，平均誤差為0.37 mV；EKF算法的最大端電壓誤差為24.6 mV，平均誤差為3.02 mV。比較FFRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的三元鋰電池SOC估計(jì)結(jié)果，在DST工況下，F(xiàn)FRLS-EKF和DEKF聯(lián)合算法的最大誤差分別為2.49%和2.62%，F(xiàn)FRLS-EKF聯(lián)合算法的估計(jì)精度更高。