李暉,呂海宇,鄒澤煜,羅忠,馬輝,韓清凱

1.東北大學 機械工程與自動化學院,沈陽 110819 2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室,沈陽 110819

纖維增強復合材料圓柱殼廣泛應用于航空、航天、船舶等領域,由于該類型結構很多都服役在高溫、強振動、沖擊等惡劣工況下,極易發(fā)生動態(tài)響應超標、基體裂紋、纖維斷裂、分層失效等問題,因此有必要研究其動力學建模、試驗和性能優(yōu)化方法與計算。

多年來,人們對復合材料圓柱殼在常溫環(huán)境下的非線性振動問題開展了富有成效的研究。如Iu和Chia采用修正的Donnell非線性殼體理論,在引入von-Kármán幾何大變形假設后,研究了隨激勵幅值變化的復合材料圓柱殼非線性共振頻率的求解方法。何建國等應用全拉格朗日列式法求解了加筋疊層圓柱殼的非線性頻率,并研究了運動穩(wěn)定性問題。Lakis等利用Sanders-Koiter非線性殼體理論推導了層合圓柱殼自由振動運動方程,并采用有限元法驗證了模型的正確性。Amabili提出了Amabili-Reddy高階剪切變形理論,通過數(shù)值方法研究了層合圓柱殼的非線性振動響應。宋旭圓建立了彈支邊界下考慮幾何大變形影響的復合材料圓柱殼非線性振動分析模型。張悅等考慮了硬涂層材料的應變依賴關系,并推導獲得了硬涂層圓柱殼非線性強迫振動的解析公式。李暉等提出了螺栓松動邊界下具有振幅依賴性的復合材料圓柱殼非線性共振頻率和動態(tài)響應的求解方法。

只有少數(shù)科研工作者對熱環(huán)境復合材料圓柱殼的非線性振動問題開展了研究。Malekzadeh和Heydarpour考慮了溫度導致的材料非線性,建立了熱環(huán)境旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動的解析模型。基于Reddy高階剪切變形理論,Zhang等考慮熱效應造成的材料非線性影響,求解了碳納米管增強復合圓柱殼在沖擊載荷作用下的動態(tài)響應。Yang等考慮了溫度效應的影響,研究了碳纖維增強聚合物基層合圓柱殼的1∶2內(nèi)共振問題,求解獲得了非線性共振頻率、頻響曲線和分叉圖。Sheng等考慮溫度導致的材料非線性和von-Kármán幾何大變形的影響,建立了熱環(huán)境下功能梯度復合圓柱殼的非線性振動模型,并獲得了非線性共振頻率和頻域響應。沈慧申等基于高階剪切變形理論和von-Kármán幾何大變形原理等建立了熱環(huán)境下功能梯度和碳納米管增強復合材料圓柱殼結構的非線性動力學模型,并預測了考慮溫度依賴性的頻率和動態(tài)響應參數(shù)。

在上述文獻調(diào)研中,并未發(fā)現(xiàn)同時考慮幾何非線性和材料非線性且在基礎激勵載荷作用下研究復合材料圓柱殼結構熱振問題的相關報道。此外,對該類殼體結構開展熱振試驗研究的也不多見。針對上述問題,本文在考慮溫度效應導致的材料非線性和von-Kármán幾何大變形的基礎上,建立纖維增強復合材料圓柱殼在均勻熱環(huán)境下的非線性振動模型,并開展實驗驗證研究。

1 理論建模

1.1 模型描述

建立圖1所示的纖維增強復合材料圓柱殼的理論模型,其處于懸臂邊界條件,受到基礎振動激勵載荷的作用。首先,將其中面作為參考平面,建立坐標系,假設、、為沿方向的位移分量,殼體長為,中面半徑為,厚度為,每層位于坐標軸較低表面-1和較高表面之間,每層的厚度均相同。1、2和3分別代表纖維的主軸方向,且“1”方向與軸方向的夾角為,假設復合材料圓柱殼平行纖維方向的彈性模量為,垂直纖維方向的彈性模量為,1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為,、和為不同方向的損耗因子,和為相應的泊松比。

圖1 熱環(huán)境下纖維增強復合材料圓柱殼理論模型Fig.1 Theoretical model of fiber reinforced composite cylindrical shell in thermal environment

1.2 材料非線性假設

考慮溫度效應影響,可將復合材料圓柱殼的非線性材料參數(shù)表示為

(1)

式中：、和為不同溫度下的彈性模量(包括拉伸模量和剪切模量)；、和為不同溫度下的損耗因子；、、、、和為與溫度有關的非線性材料參數(shù)的擬合系數(shù),=-1,1,2,3；Δ為溫度變化量。

考慮振幅依賴性的影響,基于應變能密度函數(shù)法可將結構的非線性材料參數(shù)表示為

(2)

(3)

1.3 考慮幾何非線性影響的圓柱殼理論

考慮幾何非線性的影響,根據(jù)Love殼體理論,基于von-Kármán幾何大變形假設將圓柱殼任意一點的應變-位移的關系表示為

(4)

(5)

(6)

考慮熱環(huán)境的影響,復合材料圓柱殼產(chǎn)生的熱應變?yōu)?/p>

(7)

在熱環(huán)境下圓柱殼結構的第層應力-應變關系為

(8)

各個方向?qū)膬?nèi)力=[,, ]和內(nèi)力矩=[,, ]對應的向量可表示為

(9)

將式(11)代入式(12)可得

(10)

式中：、和分別為拉伸、耦合與彎曲矩陣元素。

(11)

式中：為密度；為相應的積分區(qū)域面積。

結構受到的基礎振動激勵可等效為均布慣性力作用,即

(12)

式中：、和分別為激勵沿軸向、周向和徑向的分量；、和為激勵幅值；為周向波數(shù)；為激勵頻率；為時間變量。

結構所受慣性力做功為

(13)

1.4 非線性振動特性求解

應用Ritz法可得復合材料圓柱殼位移場函數(shù)：

(14)

然后定義能量函數(shù)為

(15)

將能量函數(shù)對各里茲Ritz求偏導：

(16)

式中：、和為里茲系數(shù)；為最大截斷系數(shù)。

可獲得熱環(huán)境下結構的振動微分方程為

(17)

求解熱環(huán)境下的固有頻率和振型,只需令材料阻尼矩陣和激振力向量為,即

(18)

為保證式(20)有解,需要系數(shù)矩陣的行列式為0,即

(19)

復合材料圓柱殼結構無阻尼圓頻率和材料損耗因子可表示為

(20)

式中：為復合材料圓柱殼在熱環(huán)境下對應于某一階周向波數(shù)和軸向半波數(shù)的無阻尼固有圓頻率,即=。

熱環(huán)境下復合材料圓柱殼的阻尼比可表示為

(21)

為求解復合材料圓柱殼的振動響應,根據(jù)空間與時間變量分離法,將其位移場函數(shù)進一步假設為

(22)

式中：()為時間有關的位移場分量。

復合材料圓柱殼的強迫振動響應可用Duhamel積分寫成一般形式：

(23)

sin()

(24)

式中：為激振力。

最后,將式(22)經(jīng)傅里葉變換操作和卷積運算即可得到結構的頻域振動響應。

2 實驗驗證

2.1 測試對象和系統(tǒng)

分別對兩個CF120碳纖維/環(huán)氧樹脂圓柱殼試件進行測試,將其命名為試件I和試件II,其長度、半徑、厚度分別為130 mm×65 mm×3 mm和150 mm×125 mm×3 mm,鋪設參數(shù)為[(0°/90°)],材料參數(shù)見表1,其中和分別為平行與垂直纖維方向上的熱膨脹系數(shù),為試件的泊松比,纖維體積分數(shù)約為45%。圖2為建立的熱振測試系統(tǒng),其中激勵系統(tǒng)由波形發(fā)生器、聯(lián)能JZK-100電磁激振器、聯(lián)能YE5878功率放大器組成,通過夾具和激振平臺為殼體試件提供可控的基礎振動激勵(其幅值可通過Endevco 6240M10高溫加速度傳感器反饋)；溫控系統(tǒng)包括一個帶有耐熱玻璃窗的加熱箱和一個長白T-500溫度控制設備,使圓柱殼試件處于均勻的熱環(huán)境中(內(nèi)置有PT100熱電偶傳感器可精確控制溫度)；試件的振動響應可通過Polytec PDV-100激光測振儀經(jīng)由45°反射鏡改變光路后獲得,所測的振動和溫度信號均通過LMS數(shù)據(jù)采集儀和PC終端進行記錄和查看。

表1 CF120碳纖維/環(huán)氧復合材料圓柱殼在常溫下的材料參數(shù)

圖2 熱環(huán)境下復合材料圓柱殼試件振動測試系統(tǒng)Fig.2 Vibration test system for composite cylindrical shells in thermal environment

2.2 非線性材料參數(shù)辨識

分別在20、50、150 ℃環(huán)境下通過掃頻測試方法獲得試件I在不同激勵幅值下的共振頻率和阻尼比數(shù)據(jù),將這些測試數(shù)據(jù)輸入MATLAB編寫的迭代求解程序中,分別構造理論計算相對于上述測試數(shù)據(jù)的最小二乘相對誤差函數(shù)(包括頻率誤差函數(shù)和阻尼誤差函數(shù))。以常溫環(huán)境下的材料參數(shù)為基準,在上下浮動30%范圍內(nèi)以排列組合的方式分別對彈性模量和損耗因子進行迭代,當求解獲得的共振頻率和阻尼比對應的和分別取得最小值時,對應的不同溫度和激勵幅值下輸入的材料參數(shù)即是辨識結果。表2和表3給出了考慮振幅和溫度依賴性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹脂彈性模量和損耗因子辨識結果,結合提出的材料非線性假設關系式可通過數(shù)據(jù)擬合方法確定式(4)中的擬合系數(shù),如表4所示。在此基礎上,便可通過第1節(jié)中建立的該類型復合材料圓柱殼的解析模型實現(xiàn)對不同溫度和激勵幅值下結構非線性振動的分析與預測。

表2 考慮振幅和溫度依賴性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹脂的彈性模量

表3 考慮振幅和溫度依賴性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹脂的損耗因子Table 3 Loss factor of CF120 carbon fiber/epoxy resin with consideration of amplitude and temperature dependence

表4 非線性材料參數(shù)的擬合系數(shù)

2.3 測試與理論結果對比分析

從圖3可知在不考慮材料和幾何非線性問題的情況下,前三階共振頻率的最大計算誤差達8.8%,而提出的理論模型在考慮上述非線性特征后,預測的共振頻率與實測結果變化趨勢一致,且最大計算誤差僅為1.2%。另外在不同的溫度下,由于材料非線性(導致共振頻率減少)和幾何非線性(導致共振頻率增大)的共同影響,隨激勵幅值增大,結構第一、二階共振頻率呈先減少后增大的變化趨勢,但由于高階振動幅值較小(幾何大變形效應不明顯),因而第三階共振頻率呈逐步降低但下降趨勢越來越慢的變化。

圖4給出了實測和計算獲得的非線性阻尼結果,分析可知結構阻尼比會隨激勵幅值和溫度的提高而逐步增加。其中線性模型的最大理論計算誤差達28.2%；而在考慮材料和幾何非線性問題后,由提出的理論模型獲得的阻尼結果與實測值吻合較好,最大計算誤差為4.7%。

圖5給出了實測和計算獲得的非線性共振響應結果,其中為理論模型最大計算誤差。對圖5進行分析可知隨激勵幅值和溫度的提高,共振響應幅值呈現(xiàn)逐步上升的趨勢,提出的理論模型最大計算誤差為10.8%。需要說明的是,雖不斷增大的阻尼會對結構共振發(fā)揮一定程度的抑制效果,但由于外激勵幅值增大和環(huán)境溫度上升導致的“剛度軟化”(彈性模量隨溫度上升而下降)對共振響應發(fā)揮了主導作用,因而共振相應幅值呈現(xiàn)不斷上升的趨勢。

3 結 論

建立了熱環(huán)境下纖維增強復合材料圓柱殼的非線性振動模型,并利用熱振測試系統(tǒng)開展了一系列實驗測試研究,通過對比理論與實驗結果發(fā)現(xiàn)：

1) 理論計算獲得的結構在不同溫度和激勵幅值下前三階模態(tài)的非線性共振頻率、阻尼比和共振響應的最大誤差分別為1.2%、4.7%和10.8%,屬于誤差允許的范圍內(nèi),因而可證明理論模型的有效性。

2) 在不同的溫度下,由于材料非線性和幾何非線性的共同影響,隨激勵幅值的增大結構低階共振頻率呈先減小后增大的變化趨勢,但由于高階振動幅值較小,所以第三階共振頻率呈逐步降低但下降速度越來越慢的變化趨勢。

3) 隨激勵幅值和溫度的上升,復合材料圓柱殼結構各階阻尼比和共振響應幅值均呈現(xiàn)出上升的趨勢。

建立的解析模型和相關熱振實驗系統(tǒng)為研究復合材料圓柱殼的非線性振動問題提供了一種有效的理論模型和測試手段。