江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院 (225007) 戚有建

審題，是解題的第一步，正確審題是正確解題的前提.但是在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不重視審題、不會審題，由于審題不清，題意不明，從而導(dǎo)致各種錯誤頻頻出現(xiàn).著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過: 最糟糕的情況就是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行演算和作圖.為此，波利亞專門總結(jié)出一張“怎樣解題表”，將解題過程分成四個步驟：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思，其中第一步弄清問題實際上指的就是審題.那么，數(shù)學(xué)審題審什么？怎么審？本文結(jié)合具體的實例，談?wù)劥龠M(jìn)高效審題的六個視角.

1、審條件

條件是解題的起點、也是解題的主要依據(jù)，所以要仔細(xì)讀題、看清關(guān)鍵詞、準(zhǔn)確理解題意，明確題目給出了什么條件、要挖掘條件的內(nèi)涵與隱含信息，利用條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題的突破口.

2、審結(jié)論

結(jié)論是解題的最終目標(biāo),圍繞目標(biāo)，解題就有了方向.在目標(biāo)意識下逆向思考，通過審視結(jié)論來尋找已知條件和結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系及轉(zhuǎn)化規(guī)律，從結(jié)論中捕捉解題信息，從而確定解題方向.

例2 已知5sinβ=sin(2α+β)，證明：3tanα=2tan(α+β).

分析：從目標(biāo)出發(fā)，盯住目標(biāo),消滅條件等式與結(jié)論等式之間的差異即可，本題中條件與結(jié)論之間存在如下差異：角的差異及函數(shù)名的差異.

解析：因為5sinβ=sin(2α+β)，所以5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，即4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，所以3tanα=2tan(α+β).

3、審結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式搭配呈現(xiàn)出來的.在這些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中，往往隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，變形轉(zhuǎn)化，可以尋找到解決問題的突破口.

分析：條件中有6個未知數(shù)，但卻只給出了3個方程，所以不好解方程組，那么如何尋找突破口呢？可以從結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析特征、聯(lián)想到向量，前兩個條件表示向量的模長，后一個條件表示向量的數(shù)量積.

點評：事物的外在形式與其內(nèi)在本質(zhì)是相關(guān)聯(lián)的，數(shù)學(xué)問題也是如此，外在形式上經(jīng)常會表現(xiàn)出某些“結(jié)構(gòu)特征”，這些“結(jié)構(gòu)特征”是問題的“題眼”，是解決問題的切入點.如果我們能夠抓住這些“結(jié)構(gòu)特征”，并以這些“結(jié)構(gòu)特征”為導(dǎo)向進(jìn)行分析、聯(lián)想、變換、構(gòu)造，就可以快速找到解決問題的思路和方法，同時還能夠感悟數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美和獨特魅力.

4、審數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最基本的單元，特殊的數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)之間的關(guān)系往往能暗示解題的方向.審視數(shù)據(jù)要分析數(shù)據(jù)特征、分析數(shù)據(jù)的變化、分析數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而尋找到解決問題的突破口.

分析：題目中的三個角之間有關(guān)系15°=7°+8°，抓住這一點我們可以消去一個角，那么消去哪個呢？再考慮到分子分母的次數(shù)，則不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)該消去7°，其中7°=15°-8°.

解析：因為7°=15°-8°，所以原式=

5、審次數(shù)

由于齊次式結(jié)構(gòu)上對稱、簡潔，因而處理起來更容易、更有規(guī)律.在處理一些非齊次問題時，如果能借助條件對問題進(jìn)行恒等變形，將非齊次問題轉(zhuǎn)化為齊次問題來處理，往往會產(chǎn)生出奇制勝的效果.

點評：本題中，由于不等式的左邊是二次齊次式，所以通過“1=(x+y+z)2”將右邊也改寫成二次齊次式，從而將非齊次不等式轉(zhuǎn)化為齊次不等式來處理，而齊次式有易于因式分解的優(yōu)點，從而使得作差后的因式分解更容易進(jìn)行.

6、審圖形

圖形是數(shù)學(xué)問題的幾何形式，有些問題的條件是以圖形的形式給出，或?qū)l件隱含在圖形之中.因此，在審題時，考生要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊的元素、特殊的位置、特殊的關(guān)系，利用圖形所提供的信息來尋找到解決問題的突破口.

例6 已知直線kx-y-k+2=0與x+ky-2k-3=0交于點P，則OP的最大值為.

分析：通?？紤]求出交點P的坐標(biāo)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值，但是由于P的橫縱坐標(biāo)是分式，所以導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)是高次分式函數(shù)，過于繁雜，那么如何尋找突破口呢？可以從動直線出發(fā)，挖掘動直線的特征，挖掘隱含條件.

反思感悟：審題，是數(shù)學(xué)解題的一個十分重要而又容易被忽略的環(huán)節(jié)，很多學(xué)生既缺少審題習(xí)慣、又缺少審題技巧，實際上審題在數(shù)學(xué)解題中有舉足輕重的地位，它既是思維的起點，又是解題的入口.高效審題雖然有一定難度，但也有一定的規(guī)律可尋，通常從以上六個視角入手，提取有效信息、提煉關(guān)鍵信息、挖掘隱含信息，就基本能做到心中有數(shù)、有章可循.