一類橢圓內(nèi)接三角形的幾個幾何恒等式
2022-10-10 08:57:00廣東省廣州市鐵一中學(xué)510600何重飛
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2022年9期
廣東省廣州市鐵一中學(xué) (510600) 何重飛
以橢圓中心為重心的橢圓內(nèi)接三角形是一類非常特殊的三角形，它有許多非常優(yōu)美的性質(zhì)，文[1]、[2]和[3]給出了關(guān)于這一類三角形的一些幾何性質(zhì)和定值命題，筆者對其進一步研究發(fā)現(xiàn)了幾個簡潔漂亮的幾何恒等式.
證明定理1，要用到如下引理：
由定理1的證明可得：
由定理2的證明可得：
定理3 若設(shè)△ABC三邊BC,CA,AB上的高長度分別為hA,hB,hC，橢圓焦點F1,F2到BC邊的距離分別為dA1,dA2，到CA邊的距離分別為dB1,dB2，到AB邊的距離分別為dC1,dC2，則有:
(1)10hA2-9dA12-9dA22= 10hB2-9dB12-9dB22=10hC2-9dC12-9dC22=18b2；
(2)hA2+3dA1dA2=hB2+3dB1dB2=hC2+3dC1dC2=3b2；
同理可得10hB2-9dB12-9dB22=10hC2-9dC12-9dC22=18b2，故(1)式得證.
以橢圓中心為重心的橢圓內(nèi)接三角形是否還有其他優(yōu)美的幾何恒等式留給感興趣的讀者進一步探究.
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