華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 曾文佩

1 原題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)已知點F (1,0),直線l : x = 4與x軸的交點為D.直線AM與l交于點N,是否存在常數(shù)λ,使得∠MFD =λ∠NFD?若存在,求λ的值.若不存在,說明理由.

2 解法探究

第(1)問直接設點M的坐標,利用斜率關系即可求得C的方程,主要探討第(2)問的解法.

綜上所述,存在常數(shù)λ= 2,使得∠MFD = 2∠NFD.

注記解法一的一方面將直線AM的斜率看做變量,由斜率的變化引起點M和點N的變化,可用斜率k來表示M和N的坐標,進而表示∠MFD與∠NFD的正切值.另一方面,通過特殊點,先猜想λ的值,再利用正切的二倍角關系來得到一般情況下的兩角關系.此解法中的斜率k并不需要求出,蘊含了設而不求的想法.

綜上所述,存在常數(shù)λ= 2,使得∠MFD = 2∠NFD.

注記解法二與解法一類似,也是利用正切的二倍角關系來得到兩角的關系.不同之處在于,此解法將點N看作是變量,由點N的縱坐標n的變化引起點M的變化,故用n來表示∠MFD與∠NFD的正切值,對n同樣采取設而不求的做法來處理.

心理學家利昂·費斯廷格認為，跟其他人比較是一種本能的欲望。通過比較，我們才能找到自己所處的社會地位，向著更好的地方憧憬追逐，面對不如我們的人會讓我們有牢固的安全感和幸福感。

易知點N到直線FD的距離為|ND| = |n|,所以d = |ND|,所以NF平分∠MFD,即∠MFD = 2∠NFD,故λ= 2.

注記解法三利用了角平分線的判定定理,通過求出點N到兩邊的距離相同證明NF是角平分線,從而得到∠MFD與∠NFD的關系.運用此解法解題,應先判斷出關系,大膽猜想,小心驗證.

注記此解法注意到直線l很特殊,是橢圓的右準線,可運用橢圓的第二定義得到一些線段比例關系,而外角平分線定理聯(lián)系了線段比值和角,因此可考慮應用三角形外角平分線定理的逆定理,得到兩角的關系.

圖1

所以|MG| = |MF|,所以∠MFG =∠MGF.又因為∠MGF =∠GFD,所以∠MFG =∠GFD,即∠MFD =2∠NFD,故λ= 2.

注記解法五幾乎完全是從平面幾何出發(fā),利用平行線的性質和相似三角形的性質以及等腰三角形的性質等,還運用了解析幾何中的兩點間距離公式,直接證明∠MFG =∠GFD,從而得到∠MFD與∠NFD的關系.

注記解法六從向量的角度出發(fā),由向量的平行四邊形法則和菱形的性質(菱形的對角線平分每一組對角),可知兩單位向量的和向量所在直線恰好平分角∠MFD,通過證明和向量與的位置關系,從而得到FN是∠MFD的角平分線.此解法是向量在幾何中的應用,體現(xiàn)了向量的強大功能.

在解析幾何問題中,一般可以從多個角度入手,常用的解析法思路比較清晰,但一般會有較大的運算量,需要具備良好的運算能力;而幾何法則在一定程度上減少了計算量,但更強調需要有良好的推理能力.解析法與幾何法的結合往往能達到事半功倍的效果.

3 題目溯源

通過查閱文獻,在文[1]中找到了本題所考察的橢圓的性質.文[1]的性質6證明了如下的一個關聯(lián)橢圓準線的性質:

性質(文[1]性質6)如圖2,設F (-c,0)為橢圓= 1(a＞b＞0)的左焦點,不過點F的直線與橢圓交于A、M兩點,且與橢圓的左準線l交于N,則NF平分∠AFM的外角.

圖2

圖3

此性質的證明可類似第(2)問的解法四得到.當上述點F為右焦點、直線l為右準線、點A為左頂點時,對應的結論就是本題第(2)問考察的角的關系,即如下推論:

4 拓展

受文[1]的啟發(fā),進一步思考拋物線與雙曲線是否有文[1]性質6的類似結論,通過推導,可得到以下結論:

結論1如圖4,已知拋物線C : y2= 2px(p＞0),焦點為F,準線為l.不過點F的直線與拋物線交于A、M兩點,與l交于點N,則NF平分∠MFA的外角.

圖4

①當A、M在雙曲線的不同支上時, NF平分∠MFA,如圖5;

圖5

②當A、M在雙曲線的同一支上時, NF平分∠MFA的外角,如圖6.

圖6

結論2的證明可參照結論1的證明得到,此處不再贅述.此外,在對原題進行復盤時,出現(xiàn)了與原題第(2)問相反的一個問題:若點N滿足∠MFD = 2∠NFD時,即NF平分∠MFA(或∠MFA的外角)時,點N是否一定會在相應的準線上?答案是肯定的,有如下結論:

結論3已知橢圓C := 1(a＞b＞0),右焦點為F,右準線為l.不過點F的直線與橢圓交于A、M兩點,點N是直線AM上一點,且NF平分∠MFA的外角,則點N在右準線l上.

證明假設點N不在橢圓的右準線l上.設直線AM與右準線l交于點G,則點G與點N不重合.由上述推論可知,GF是∠MFA的外角平分線,則點N與點G均為∠MFA的外角平分線與直線AM的交點,所以點G與點N為同一點,與假設矛盾!故點N在右準線l上.

結論4已知雙曲線C := 1(a＞0,b＞0),右焦點為F,右準線為l.不過點F的直線與雙曲線交于A、M兩點,點N是直線AM上一點:

①當A、M在雙曲線不同支上,且NF平分∠MFA時,點N在右準線l上;

②當A、M在雙曲線同一支上,且NF平分∠MFA的外角時,點N也在右準線l上.

結論5已知拋物線C : y2= 2px(p＞0),焦點為F,準線為l.不過F的直線與拋物線交于A、M兩點,點N是直線AM上的一點,且NF平分∠MFA的外角,則點N在準線l上.

結論4與結論5的證明可參照結論3的證明,不再贅述.