范午英 華應(yīng)龍

（1. 邢臺市金華實(shí)驗小學(xué)，河北 邢臺 054099；2. 北京第二實(shí)驗小學(xué) 北京 100045）

上課是有多重境界的。

20 年前的我，只是把上課看作一份工作，雖然人在講臺上，但沒有沉浸其中，印象里只有固定的課本、無盡的習(xí)題和令人忐忑的平均分，其他什么也沒留下?，F(xiàn)在的我已過不惑之年，終于感悟到了上課的又一重境界：當(dāng)我把自己對數(shù)學(xué)的理解表達(dá)出來時，學(xué)生的反應(yīng)往往出乎意料，于是雙方都享受著思維火花碰撞的快感，雖然它“迎之不見其首，隨之不見其后”，但我們總相信下次邂逅一定在不久后的某節(jié)課上。

一、真實(shí)的統(tǒng)計更有意義

（一）缺勤也想起作用

第一單元《數(shù)據(jù)收集整理》，例2 是這樣的：學(xué)校要舉辦講故事大賽，某班要從兩位同學(xué)中選一位參加，經(jīng)過大家投票，王明明得15 票，陳小菲得22 票。① 根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，應(yīng)該選陳小菲參加比賽。② 有兩位同學(xué)缺勤沒能參加投票，如果他們也投了票，結(jié)果可能會怎樣？因為兩位候選人相差7 票，所以兩個缺勤的同學(xué)即便都投給王明明，也起不了什么作用，不能改變結(jié)果。

我的問題來了！

師：如果班里投出怎樣的結(jié)果，缺勤的兩票就能起作用？

生1：王明明21 票，陳小菲22 票。

師：你注意到了兩人的差距要小，這很好。但忽略了一個問題。

生2：目前的總票數(shù)是37 票，代表37 個同學(xué)，這是不能變的。所以兩人的總票數(shù)應(yīng)該是37 票才對。

生3：王明明18 票，陳小菲19 票。如果最后兩票一人一票，那么陳小菲參賽；如果最后兩票都投給陳小菲，也是陳小菲參賽；如果最后兩票都投給王明明，王明明參賽。

師：最后這種情況，劇情反轉(zhuǎn)了，這兩票終于起到了決定性的作用。

生4：也可以王明明19 票，陳小菲18 票。

師：兩個人只能相差1 票嗎？能不能票數(shù)相等？或者相差2 票？

生5：票數(shù)相等做不到。因為37 是個單數(shù)，不能正好平均分成兩份。

生6：你看現(xiàn)在差1 票（指著18 比19 的情況），如果投給王明明的1 票變成投給陳小菲的，就變成17比20 了，兩人會差3 票，但不會差2 票。變成17 比20 以后，最后兩票又不起作用了。（這里運(yùn)用“比”的說法，只是類似于體育比賽中的比分而已）

師：看來要想最后兩票發(fā)揮作用，兩人在班里的投票結(jié)果只能是相差1 票。

原來統(tǒng)計與運(yùn)算的結(jié)合，不只是比多比少、求和之類的常見手法，根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)和隱含條件還有很多文章可做。

（二） “其他”應(yīng)付不過去

練習(xí)一的第6 題（如圖1）旨在讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集和整理過程。

圖1 練習(xí)一第6 題

每個同學(xué)先把第（2）題第一個空填好：我最喜歡吃什么？然后逐一匯報，請5 位同學(xué)在黑板上畫“正”字統(tǒng)計。統(tǒng)計完畢，選蘋果的2 人，選梨的5人，選香蕉的4 人，選橘子的10 人，選其他的33 人（喜歡其他水果的都?xì)w于此）。核對總?cè)藬?shù)是54 人，沒有問題。

但填空時發(fā)現(xiàn)第（1）題不好填了：最喜歡吃（其他）的人數(shù)最多。這是個什么結(jié)論！以后就買“其他”這種水果嗎？看來“其他”是應(yīng)付不過去的，里面還藏著不少秘密。一不做二不休，再把這33 個人統(tǒng)計一遍，又出來了9 種水果（見表1）。一個有意思的細(xì)節(jié)是：開始有人報“櫻桃”，后來又有人報“車?yán)遄印保艺獙懗蓛深?，學(xué)生喊道：“車?yán)遄泳褪菣烟摇！蔽艺娌恢?！網(wǎng)上一查，原來國外的大櫻桃叫車?yán)遄?，我又長知識了！

表1 統(tǒng)計表格

我讓大家把表格延長到了課本的右邊一頁，一共有13 種水果。喜歡吃橘子的人數(shù)最多，喜歡吃菠蘿和藍(lán)莓的人數(shù)最少（還出現(xiàn)了并列）。如果運(yùn)用這一調(diào)查結(jié)果的話，應(yīng)該是橘子、西瓜和桃子多買一些，其他的水果各買一點(diǎn)（并不是一點(diǎn)不買）。

教材編者大概以為前面列舉的4 種常見水果一定占大多數(shù)，沒想到如今富足的生活已今非昔比，喜歡的水果相當(dāng)多元了。這件事也是可遇不可求的，假如課堂上沒有出現(xiàn)“其他”最多，也就沒有后面的精彩了。

二、真實(shí)的運(yùn)動更有聯(lián)系

（一）簡單變得不簡單

第三單元是《圖形的運(yùn)動（一）》，練習(xí)七第14題是一道很簡單的選擇題（見圖2），只有（3）是由（1）平移而來。如果僅僅到此，未免可惜了這么大的版面。

圖2 練習(xí)七第14 題

師：其他幾幅圖又是（1）經(jīng)過怎樣的運(yùn)動得到的呢？”

生 1：（5）是由（1）旋轉(zhuǎn)而來。

生2：（6）也是由（1）旋轉(zhuǎn)而來的。

師：如果（1）是順時針（可以教，學(xué)生聽得懂）旋轉(zhuǎn)的，先轉(zhuǎn)成哪個圖？”

生3：先轉(zhuǎn)成（6），再轉(zhuǎn)成（5）。（把書旋轉(zhuǎn)起來，再和大屏幕對照驗證）

師：（2）和（4）呢？（平移、旋轉(zhuǎn)都做不到了，學(xué)生們開始沉思）

王熙：我想用軸對稱試一試。

師：哪里是對稱軸呢？

王熙選擇在（1）的左邊豎著畫對稱軸，等把左邊一半補(bǔ)充完整，竟然和（4）一模一樣！

王熙：（4）是由（1）經(jīng)過軸對稱的方法得到的。

師：非常好！如果把（1）看作一個小印章的話，通過“合書”的動作，就可以得到（4）。

師：最后剩下（2），又該怎么得到？

生4：由（4）旋轉(zhuǎn)可以得到。

生5：由（5）利用軸對稱可以得到。

師：也就是說從（1）到（2）要經(jīng)過兩步，比如“軸對稱＋旋轉(zhuǎn)”，從（1）到（4）再到（2），或“旋轉(zhuǎn)＋軸對稱”，從（1）到（5）再到（2）。

突然，關(guān)怡然高高舉起手，迫不及待地說：“利用（1）的軸對稱可以直接得到（2）！”

師：對稱軸在哪里？

關(guān)怡然：（1）下面，橫著！

王熙的想法我在備課時想到了（對稱軸在右邊也可以），這里確實(shí)有超范圍之嫌，但如果把已知圖形看成軸對稱圖形的一半就講得通了，正好可以發(fā)展學(xué)生想象力。針對從（1）到（2），我開始以為必須用兩步，而關(guān)怡然的思路突破了我的思考范圍，原來對稱軸的位置變化就可以代替旋轉(zhuǎn)。

妙哉！出乎了我的想象。

（二）小小烏龜又建功

剛剛嘗到甜頭的我，面對一切機(jī)會，都如法炮制。練習(xí)七的第4 題（見圖3），有3 條小魚可以通過平移與紅色小魚重合，另有2 條可以通過旋轉(zhuǎn)達(dá)到目標(biāo)（根據(jù)題目情景，嚴(yán)格地說旋轉(zhuǎn)以后還需要平移），最后的重點(diǎn)落到了離紅色小魚最近的那條魚上。

圖3 練習(xí)七第4 題

生1：通過軸對稱可以得到。

生2：通過旋轉(zhuǎn)也可以得到。

師：這道題和昨天講的“兩朵小黃花”的題目還是有些不同的，需要再平移一下。

接下來第5 題的焦點(diǎn)是烏龜（見圖4）。

圖4 練習(xí)七第5 題

生3：烏龜不能通過旋轉(zhuǎn)得到。因為旋轉(zhuǎn)以后，龜殼朝下，四腳朝天了。

我突然警覺起來，重新返回第4 題。

師：為什么小魚既可以軸對稱，又可以旋轉(zhuǎn)，而烏龜就不行呢？

生4：因為小魚上下一樣。

生5：如果小魚的背上還有些標(biāo)記（比如魚鰭），就不行了。

師：也就是說，實(shí)際上通過旋轉(zhuǎn)，小魚也是背部朝下，只不過由于上下相同，看不出來罷了。

生6：注意看魚的眼睛！眼睛是偏上的。如果旋轉(zhuǎn)的話，就應(yīng)該偏下了。所以這條小魚根本就不能通過旋轉(zhuǎn)和小紅魚重合。

實(shí)話實(shí)說，這個地方的課我沒有備好。所幸碰到了可愛的烏龜，補(bǔ)救了我在小魚身上的過失。這一失誤猶如飄飄然間潑來的一盆冷水，澆醒了我——什么時候也不能想當(dāng)然??！數(shù)學(xué)崇尚聯(lián)系，但不能丟失了嚴(yán)謹(jǐn)?？磥韺τ谇拔陌l(fā)現(xiàn)的“軸對稱”運(yùn)動的妙用，還沒有徹底理解：對稱軸的位置變化可以省略旋轉(zhuǎn)，但旋轉(zhuǎn)卻不能代替軸對稱，兩者本質(zhì)不同——旋轉(zhuǎn)是繞中心轉(zhuǎn)動，所有的方向都在變化；而軸對稱是以軸為分界，垂直于軸的方向相反，平行于軸的方向不變。

三、真實(shí)的計算更有深度

（一）露出久違的笑容

對于低年級小學(xué)生來說，口算是打基礎(chǔ)的。我以為“六表”必須背熟（“六表”指10 以內(nèi)加法表、10以內(nèi)減法表、20 以內(nèi)進(jìn)位加法表、20 以內(nèi)退位減法表、乘法口訣表和本冊第45 頁的除法表）。為此我是不遺余力的，班上每位同學(xué)都逐一計時過關(guān)。兩年來，花在這件事上的時間占到了課下輔導(dǎo)的一半。每次背誦前我都做示范，我所用時間的3 倍一般為要求學(xué)生背誦的時間。即便如此，仍然有6 個“老大難”被剩了下來。我耐心地等了好幾個月，還是沒有多大效果。這時我意識到應(yīng)該改革練習(xí)形式了。

游戲一：6 個人開火車，輪到誰了，背不出了就站著，等下一輪又輪到你，背出來了再坐下。

游戲二：找來一個大書包，像擊鼓傳花似的，如果背不出來拿書包的時間就長一些，直到背出來為止。

我讓他們幾個人自己玩這些游戲，我遠(yuǎn)遠(yuǎn)地做其他事情。沒想到他們還創(chuàng)造出了新規(guī)則，比如背不出來的要“提書包5 次”，以示懲罰。更可喜的是，他們說話的聲音也大了，每個人的臉上都露出了久違的笑容。我把記錄這些活動的教學(xué)反思發(fā)給相關(guān)學(xué)生家長，于是家里面也熱鬧起來。

緊接著，我又想到一個方法——邊換數(shù)邊背表（其實(shí)并不是死記硬背，只不過是想得快一些罷了）。因為這些四則運(yùn)算表格是有規(guī)律排列的，每次通常只是改動一個位置的數(shù)。比如除法表豎著看，第4列是（ ）÷4 ＝□，除數(shù)不變，商從小到大依次排列。這時只需要想被除數(shù)即可（本來除法表就是乘法口訣表的另一種訓(xùn)練形式），即每次擦除更換一個商，然后想被除數(shù)是誰。這個活動很適合在黑板前使用黑板擦，比在練習(xí)本上用橡皮擦還方便。大家一人一組，輪流練習(xí)，很受歡迎。

游戲的作用很快顯現(xiàn)出來，兩周內(nèi)就有4 名同學(xué)完成了久拖不決的全部任務(wù)！剩下的2 個人，也都完成了一半。我還要繼續(xù)等下去，直到他們成功上岸。

俗話說藝不壓身。低年級口算基礎(chǔ)打得牢，以后做筆算、估算、簡便計算都不費(fèi)勁，也能騰出時間來思考分析其他問題。當(dāng)然也沒必要夸大游戲的價值，如果沒有前面反復(fù)記憶的基礎(chǔ)，單靠游戲也恐難奏效。

（二）我的最愛——算式謎

巧解算式謎很有趣，尤其是多位數(shù)乘除法算式謎，更是變化多端。我專門總結(jié)了算式謎的特征——千瘡百孔，能夠復(fù)原。面對二年級的有余數(shù)除法，我也想引入算式謎。雖然這是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)筆算，但有余數(shù)除法已經(jīng)具備了算式謎的基本特征。

首先是完成兩道常規(guī)題目，然后思考：哪個位置上的數(shù)擦掉后，還能通過推理恢復(fù)原數(shù)？為什么能復(fù)原？這里主要依靠兩種關(guān)系：商×除數(shù)＝分下去的積；被除數(shù)－分下去的積＝余數(shù)。豎式中被擦掉的數(shù)越來越多，最終7 個位置剩下了3 個。當(dāng)然不能只把被除數(shù)和除數(shù)剩下，那是順向計算，而非算式謎。

我在課上重點(diǎn)介紹了一種搜索乘法口訣的新方式——按積的個位搜索。其中1、3、7、9 的乘法口訣，它們口訣積的個位正好是從1 到9，不多不少，也就是說已知積的個位就完全確定了是這組口訣中的哪一句；而2、4、6、8 的乘法口訣，口訣積的個位則是2、4、6、8、0，其中積的個位是2、4、6、8的，都是兩種答案，需要認(rèn)真甄別；最特殊的是5 的乘法口訣，口訣積的個位只有5 和0。

比如左邊一題（見圖5），7 的乘法口訣中，積的個位是3 的只有七九六十三，從而確定商是9，分下去的積是63，被除數(shù)是69。右邊一題，4 的乘法口訣中，積的個位是2 的有兩種情況，三四十二、四八三十二。所以除數(shù)可以是3，也可以是8，但因為余數(shù)是3，除數(shù)必須比余數(shù)大，所以除數(shù)3 被淘汰，只能填8，分下去的積是32，被除數(shù)是35。

圖5 算式謎

循著老師編題的過程，同學(xué)們課下自己編題，每人4 道。我從中挑選了30 道最優(yōu)秀的，大家一起做。挑選標(biāo)準(zhǔn)是答案唯一、構(gòu)思巧妙、類型豐富。每一種都綴有學(xué)生的名字，大家還真是動腦筋了。

通過編題活動，我對算式謎也有了新的理解。第一，余數(shù)對除數(shù)有反制作用。即除數(shù)必須比余數(shù)大，可以利用余數(shù)的大小控制除數(shù)的可能性，使答案變得唯一，但是余數(shù)不能制約商。第二，有時單憑積的十位或個位也可以找出線索。第三，空格的位置也會說話，所以一般的算式謎都是“七露三”，但也有些“七露二”的，甚至是“露一”的絕版。

四、真實(shí)的認(rèn)數(shù)更有趣味

（一）捆住一千根小棒

第七單元《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》是對認(rèn)數(shù)范圍的一次擴(kuò)展。表面上看只是增加了千位和萬位這兩個數(shù)位，但實(shí)際上是在原來100 個數(shù)的基礎(chǔ)上增加了9900 個數(shù)。這么多的數(shù)突然來到面前，可以說是噴涌而出，學(xué)生自然應(yīng)接不暇，出現(xiàn)的問題很多。我想應(yīng)該做好兩件事，一是對計數(shù)單位的直觀認(rèn)識，二是對十進(jìn)位值制的深入理解。

課本上認(rèn)識“一千”使用的是小正方體，其中也有體積的滲透，但操作不方便，必須使用多媒體課件。而課件畢竟是抽象的，演示的速度很快，缺少了過程的價值，也沒有實(shí)物帶給學(xué)生的沖擊力。最終我選擇了雙頭棉簽上的小棒。要求每位同學(xué)帶30 根，每10 根捆一小捆。而我則拿來女兒用的小皮筋，還有一根捆青菜的塑料繩。

上課伊始，先數(shù)好10 個十，用一根皮筋捆起來，成為一個中捆，這樣10 個十就看成了1 個百。繼續(xù)邊拿邊數(shù)，從110 數(shù)到200，再捆出一個中捆，又出現(xiàn)一個百，一共是兩百了。接著從210 數(shù)到300，再捆出一個中捆……就這樣一邊收小棒，一邊十個十個地數(shù)，一直數(shù)到960，全班所有小捆的小棒都用完了（班上總有學(xué)生只拿小棒但不捆起來的，所以我才把“每人帶2 小捆”調(diào)整為“每人帶3 小捆”）。這時有些學(xué)生手里還有單根的，正好可以拿來一根一根地數(shù)，又從960 數(shù)到了1000。面對來之不易的10 個“百”，我拿出塑料繩認(rèn)真地捆起來，就是想給學(xué)生一個深刻印象，強(qiáng)調(diào)10 個百是一千。

雖然講1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，但不能局限于此。只要有小棒就可以接著數(shù)。就這樣一直數(shù)到1249 根。我把這些小棒用膠帶貼到教室里（見圖6），這樣的直觀刺激，展示一星期，回味好幾年。

圖6 計數(shù)小棒

在認(rèn)識一千的過程中，我?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們經(jīng)歷了10次十位的“滿十進(jìn)一”、1 次百位的“滿十進(jìn)一”，這些有意放慢的瞬間使他們記憶牢固。而最后那一千根的大捆更是讓大家驚奇。一下課，就有很多同學(xué)圍過來又看又摸。宋怡然說：“我還從沒見過這么多小棒在一起呢！”

（二）關(guān)于敲門的故事

雖然學(xué)生有學(xué)習(xí)兩位數(shù)的基礎(chǔ)，但數(shù)四位數(shù)還是很難的，數(shù)到拐彎的地方容易迷糊，而且這時的彎拐的還有大有小，更易混淆。我的想法是：觀察數(shù)數(shù)中的變與不變，只要掌握了這個規(guī)律，基于十進(jìn)位值制的數(shù)數(shù)就會變得簡單。

課堂上我從6772 開始數(shù)數(shù)（因為正好學(xué)到南京長江大橋的鐵路橋長6772 米），并把數(shù)數(shù)的過程編成了故事。

個位、十位、百位、千位是兄弟四人，他們住在并排的四間房里，平時主要的工作就是一起表示一串串?dāng)?shù)。住在右邊的個位最勤勞，每次數(shù)數(shù)他都變，但越往左，房間里的人越懶。

有一次，他們接到一個任務(wù)，要從6772 開始數(shù)數(shù)。于是個位開始忙碌起來……直到變成6779 后，個位去敲十位的門。個位說：“注意啦，十位醒醒，我這馬上就滿十了，要向你進(jìn)一，準(zhǔn)備開門吧?！?/p>

到6789 時也是如此。但到6799 時，不僅個位敲了十位的門，十位也緊接著去敲了百位的門，因為十位也即將攢夠10 個十，也要“滿十進(jìn)一”了。接下來就變成了6800。

然后，百位繼續(xù)睡大覺，十位又變成每隔10 個數(shù)醒一回，一直到了6900，后來又到了6999。這時候更熱鬧：個位敲完十位的門，十位就去敲百位的門，最后百位又去敲了千位的門，總共要敲三次！因為下一個數(shù)是7000！

等到數(shù)過7000 之后，千位沉睡，百位熟睡，十位打盹，勤勞的個位繼續(xù)每次都變化……

故事中的“逢9 敲門”，預(yù)示即將“滿十進(jìn)一”。拐小彎敲一次門，拐大彎就要敲2 次門，甚至3 次門。數(shù)數(shù)的這種左慢右快的特點(diǎn)像極了鐘表上的時針、分針和秒針（但時間不是“滿十進(jìn)一”）。實(shí)際上，也不能怪左邊懶，而是因為規(guī)則所限。假如左邊的高位數(shù)字一直變的話，右邊的低位數(shù)字早就轉(zhuǎn)暈了。

我以為，這些真實(shí)的片段就是小學(xué)教育里應(yīng)該有的樣子。這種狀態(tài)大概就是“福流”。我深知萬萬不可滿足于此，要繼續(xù)向著教育的更高境界出發(fā)，一路匯集更多的探尋者。