涂之藝， 陳亮亮， 伍家駒， 馬 航， 熊 茹， 吳 劍， 李志農(nóng)

(1. 南昌航空大學 信息工程學院，南昌 330063； 2. 國網(wǎng)江西省電力有限公司供電服務管理中心，南昌 330077； 3. 南昌航空大學 無損檢測技術教育部重點實驗室，南昌 330063)

高速永磁電機因其體積小、結構簡單、功率密度高、效率高等優(yōu)點，在高速機床、鼓風機、透平式膨脹機等領域具有廣泛的應用前景[1-4]。在高速永磁電機中，轉(zhuǎn)子的永磁體可制成整體結構或分塊結構。在整體結構中，永磁體一般制成實心圓柱體或空心圓筒，而在分塊結構中，永磁體一般制成瓦狀片，粘貼于轉(zhuǎn)子表面，分塊永磁材料的結構提高了永磁材料的利用率，但制造工藝復雜。與分塊結構相比，整體式永磁體的利用率較低，但永磁結構具有更高的機械強度。在高速永磁電機中，可采用幾種永磁材料作磁體，如鋁鎳磁體、鐵氧體磁體和稀土磁體，其中，稀土磁體因其優(yōu)越的性能而得到了廣泛的應用[5]。然而，稀土永磁體抗拉強度太小，不能承受高轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的巨大拉應力。所以，通常會在永磁體表層套上高強度的保護套。非導磁金屬護套具有較高的抗拉強度,有利于建立轉(zhuǎn)子應力解析模型。在工程實際中，永磁電機的離心力可以通過護套和永磁體之間的過盈配合產(chǎn)生預壓力給予補償[6]。為了確保高速運行下永磁體內(nèi)的應力滿足要求，需要為永磁轉(zhuǎn)子設計合理的護套結構，求解出護套及護套與永磁體之間過盈量的最優(yōu)值[7]。

國內(nèi)外研究人員對永磁轉(zhuǎn)子強度解析解的研究已取得了一些成果。Du等[8]研究了考慮裝配間隙和溫度梯度影響的永磁電機轉(zhuǎn)子應力分布。Binder等[9]提出了碳纖維護套圓柱型永磁轉(zhuǎn)子的應力和接觸壓強的強度計算方法,并討論了其在高速機械設計中的局限性。針對不同轉(zhuǎn)子邊界約束下的轉(zhuǎn)子強度問題，高起興等[10]建立了一種滿足多邊界類型的轉(zhuǎn)子應力解析模型。王繼強等[11]研究了簡單非導磁金屬護套高速永磁電機強度解析公式，并利用數(shù)值分析有限元法加以驗證。針對含極間填充塊的高速永磁電機轉(zhuǎn)子強度計算問題，陳亮亮等[12]從極坐標應力函數(shù)法的角度推導了轉(zhuǎn)子強度解析公式。Jang等[13]研究了考慮永磁電機的鐵芯損耗情況下的高速永磁電機轉(zhuǎn)子強度分析。張超等[14]利用平面應變分析方法研究了非導磁金屬護套高速永磁電機的強度解析解。

目前，針對永磁電機轉(zhuǎn)子強度的研究主要是在已知轉(zhuǎn)子結構及參數(shù)的情況下對轉(zhuǎn)子的應力和應變進行分析，而永磁電機轉(zhuǎn)子強度的設計則需要根據(jù)工程實際中對永磁轉(zhuǎn)子強度的要求，設計出合理的轉(zhuǎn)子參數(shù)，如護套厚度、過盈量大小等。傳統(tǒng)的永磁電機轉(zhuǎn)子強度設計多采用試湊法，先根據(jù)經(jīng)驗預估護套厚度及過盈量，然后將預設的轉(zhuǎn)子結構參數(shù)代入應力和應變的計算公式中，檢驗是否滿足強度要求，若不滿足要求，則重新調(diào)整預估參數(shù)，如此循環(huán)往復，直至滿足要求。傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子強度設計方法效率較低，且難以得到護套結構的最優(yōu)值，因此，需要在已有的轉(zhuǎn)子強度分析解析模型的基礎上，進一步考慮轉(zhuǎn)子強度的優(yōu)化設計問題，得到過盈量、護套厚度等參數(shù)的取值范圍。

本文研究針對非導磁金屬護套保護的實心圓柱永磁轉(zhuǎn)子，將轉(zhuǎn)子應力簡化為平面應力問題，推導了轉(zhuǎn)子強度的解析公式，并且運用多維可視化算法分析護套厚度、過盈量及轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子應力的影響，借助多維可視化圖形的交集運算，找出實際工程中滿足要求的永磁體與護套之間的過盈量、護套厚度的可行域，在可行域中選擇參數(shù)最優(yōu)值，最后采用有限元結果驗證了解析解的正確性。

1 永磁體轉(zhuǎn)子強度解析公式

本文研究的高速永磁電機的永磁體轉(zhuǎn)子護套為非導磁金屬材料，永磁體結構為圓柱形，如圖1所示。永磁體外半徑為Rom；非導磁金屬護套內(nèi)半徑為Ris，外半徑為Ros，轉(zhuǎn)子尺寸見標注如圖2所示。永磁體和非導磁金屬護套接觸方式為過盈配合，即

圖1 非導磁金屬護套圓柱永磁體轉(zhuǎn)子結構Fig.1 Rotor structure of cylindrical permanent magnet with non-magnetic metal sheath

圖2 非導磁金屬護套圓柱永磁體轉(zhuǎn)子尺寸標注Fig.2 Dimensions of cylindrical permanent magnet rotor with non-magnetic metal sheath

δ=Rom-Ris

(1)

式中，δ為過盈量。

將轉(zhuǎn)子應力條件簡化為平面應力問題。首先，假設永磁體與非導磁金屬護套壓強為P，通過求解永磁轉(zhuǎn)子與非導磁金屬護套的應力方程，得到轉(zhuǎn)子的應力和位移的解析公式，最后通過永磁體和非導磁金屬護套接觸表面的徑向位移的過盈配合關系，導出接觸壓強P。

非導磁金屬護套為其內(nèi)表面受到一個均勻接觸壓強P，方向呈發(fā)散趨勢，其外表面受力為零，如圖3所示。反之，永磁體外表面受到一個均勻壓強的力，方向呈收縮趨勢，如圖4所示。

圖3 非導磁金屬護套受力圖Fig.3 Force diagram of non-magnetic metal sheath

圖4 永磁體受力圖Fig.4 Force diagram of permanent magnet

在轉(zhuǎn)動離心力作用下，永磁體的極坐標平衡方程

(2)

式中:σrm為永磁體距離圓心r時的徑向正應力；σθm為永磁體距離圓心r時的環(huán)向正應力;ρm為永磁體密度;ω為轉(zhuǎn)子角速度。

永磁體的幾何方程

(3)

式中:εrm和分εθm為永磁體距離圓心r的徑向正應變和環(huán)向正應變;urm為永磁體距離圓心r的徑向位移。

永磁體的物理方程

(4)

式中:Em為永磁體的彈性模量;μm為永磁體的泊松系數(shù)。

將永磁體幾何方程和物理方程聯(lián)立，得出

(5)

將式(5)與式(2)聯(lián)立，得出

(6)

求解歐拉微分方程式(6)得到

(7)

式中，C1和C2為常數(shù)。

永磁體軸心徑向位移為0，即表達式(7)存在特解

urm|r=0=0

(8)

得出

C2=0

(9)

將方程式(7)化簡，得出

(10)

將方程式(10)代入方程式(4)中，得

(11)

永磁體外表面受到均勻壓強P,所以方程式(11)存在特解

σrm|r=Rom=-P

(12)

代入方程式(10)得出

(13)

將C1代入式(10)、式(11)，得出永磁體在距離圓心r的徑向位移urm、徑向正應力σrm以及環(huán)向正應力σθm的最終表達式

(14)

(15)

(16)

永磁體的等效Mises應力為

(17)

護套應力分析與位移求解類似于永磁體求解過程，其徑向位移urs，徑向正應力σrs，環(huán)向正應力σθs分別為

(19)

護套等效Mises應力

(21)

根據(jù)永磁體和非導磁金屬護套的徑向位移配合關系，靜態(tài)過盈量等于非導磁金屬護套內(nèi)表面的徑向位移與永磁體外表面徑向位移之差

δ=urs(Ris)-urm(Rom)

(22)

式中，urm(Rom)和urs(Ris)為永磁體外表面的徑向位移和護套內(nèi)表面的徑向位移，可通過式(14)和式(18)得到。

根據(jù)式(22)可得出永磁體與非導磁金屬護套壓強P

(23)

其中

2 可視化分析設計

2.1 多維可視化簡介

要通過可視化的方法表達3個自變量和一個因變量，就需要在可視化的圖像中建立4個維度的變量[15]。3個自變量可通過空間立體坐標的數(shù)軸來表示，因此四維可視化的關鍵在于如何實現(xiàn)第4個變量即因變量的可視化表達。

圖5 四維可視化流程圖Fig.5 Four-dimensional visualization flow chart

通過色度圖中有序變化的色彩來表達具體數(shù)值，將因變量的取值范圍映射到與色彩對應的顏色上，即可實現(xiàn)第4個變量的可視化表達[16]。

2.2 轉(zhuǎn)子強度的四維可視化分析

本文中高速電機的具體參數(shù)：額定功率75 kW，額定電壓380 V。轉(zhuǎn)子的基本參數(shù)，如表1所示。

表1 非導磁金屬護套圓柱永磁體轉(zhuǎn)子基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of cylindrical permanent magnet rotor with non-magnetic conducting metal sheath

以過盈量δ、護套厚度d和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n分別作為四維可視化的x，y，z軸變量，永磁體外表面接觸強P為四維可視化第4個變量，接觸壓強P反映永磁體承受壓力狀態(tài)，接觸壓強P變化規(guī)律，如圖6所示。

圖6 非導磁金屬護套永磁體轉(zhuǎn)子的永磁體壓強可視化Fig.6 Visualization of the permanent magnet pressure of a permanent magnet rotor with a non-magnetic conducting metal sheath

圖6表明，永磁體接觸壓強P隨護套厚度d的增加而增加，隨過盈量δ的增加而增加，但隨著轉(zhuǎn)速n的增加而減小。

以過盈量δ、護套厚度d和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n分別作為四維可視化的x，y，z軸變量，護套的最大Mises等效應力發(fā)生在內(nèi)表面[17]，故護套內(nèi)表面等效Mises應力為四維可視化第4個變量，護套內(nèi)表面等效Mises應力，如圖7所示。

圖7 非導磁金屬護套永磁體轉(zhuǎn)子的護套Mises可視化Fig.7 Visualization of Mises sheath of permanent magnet rotor with non-magnetic metal sheath

圖7表明，護套內(nèi)表面等效Mises應力隨護套厚度d的增加而略有減小，隨過盈量δ的增加而增加，隨著轉(zhuǎn)速n的增加而略有增加。

由于非導磁金屬護套(鈦合金)的抗拉強度約為800～1 200 MPa，永磁體的抗壓強度約為100 MPa。保留一定裕度，設計過程中非導磁金屬護套范圍為0～800 MPa，永磁體壓強為0～80 MPa，并將它們?nèi)〗患?，得出滿足條件的自變量范圍，即護套和永磁體內(nèi)的應力均滿足要求的過盈量及護套厚度可行域。

由于圖6和圖7的取值范圍不同，在取交集之前，先要進行歸一化處理。將護套內(nèi)表面等效Mises應力除以800 MPa，永磁體壓強P除以80 MPa，取兩個因變量均為0～1的自變量取值范圍，得出符合強度保護要求的過盈量δ、護套厚度d和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n的范圍，如圖8所示。

圖8 永磁體壓強P和護套等效Mises應力的交可視化交集Fig.8 Visual intersection of permanent magnet pressure P and sheath equivalent Mises stress

圖8表明，當轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n增大時，同時滿足非導磁金屬護套小于抗壓強度和永磁體小于極限壓強的可行域會相應減小。

2.3 轉(zhuǎn)子強度的可視化降維分析

本設計中，電機的額定轉(zhuǎn)速為24 000 r/min，為了得到該轉(zhuǎn)速下護套厚度及過盈量的可行域，將自變量的第3個變量轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速n固定下來分別取0和24 000 r/min。在靜止和額定轉(zhuǎn)速運行狀態(tài)下，分別以過盈量δ和護套厚度d分別作為三維可視化的x,y軸自變量。永磁體接觸壓強反應了永磁體內(nèi)部的徑向和切向應力，護套的最大Mises等效應力發(fā)生在內(nèi)表面，故永磁體接觸壓強P和護套內(nèi)表面等效Mises應力作為因變量。得出符合強度保護要求的過盈量δ和護套厚度d的可行域，如圖9和圖10所示。

圖9 靜態(tài)下滿足強度要求的過盈量和護套厚度的可行域Fig.9 Feasible region of interference and sheath thickness to meet strength requirements under static conditions

本質(zhì)上，四維可視化可以認為是將三維可視化以矩陣的形式排列，即多個三維可視化圖像集合可等效于四維可視化。

將靜態(tài)下滿足強度要求和額定轉(zhuǎn)速下滿足強度要求的過盈量和護套厚度的可行域取交集，得出最終的高速永磁電機轉(zhuǎn)子護套厚度及過盈量的可行域，如圖10所示。

圖10 24 000 r/min下滿足強度要求的 過盈量和護套厚度的可行域Fig.10 Feasible region of interference and sheath thickness to meet strength requirements under 24 000 r/min

工程實際中，可以在已知轉(zhuǎn)子設計轉(zhuǎn)速ω=24 000 r/min的情況下取過盈量δ為0.08～0.25 mm、護套厚度d取1～6 mm，即在圖11的圖形區(qū)域內(nèi)，可確保高速運行狀態(tài)下電機轉(zhuǎn)子的永磁體和護套內(nèi)的應力滿足要求。當轉(zhuǎn)子自變量取圖11中左下角區(qū)域時，靜態(tài)過盈量δ及護套厚度d較小，導致永磁體與護套之間的預壓力小，轉(zhuǎn)子脫落轉(zhuǎn)速小，工程實際中有一定脫落風險。當轉(zhuǎn)子自變量取圖11中的中間區(qū)域時，永磁體過盈量δ和護套厚度d適中，為工程實際中設計參數(shù)的優(yōu)解區(qū)域。當轉(zhuǎn)子自變量取圖11中的右上角區(qū)域時，永磁體過盈量δ及護套厚度d偏大，永磁體與護套之間的預壓力大，工程實際中永磁體與護套之間裝配相對困難，護套材料也存在一定的浪費。

圖11 滿足強度要求的過盈量和護套厚度的可行域Fig.11 Feasible region of interference and sheath thickness to meet strength requirements

根據(jù)前面的分析，這里護套厚度選擇4 mm，過盈量選擇0.15 mm，護套參數(shù)取值在較為理想的中間區(qū)域，屬于優(yōu)解范圍。電機的設計、制作和裝配難免會存在誤差，電機隨著工作時間的增長，參數(shù)也會有一定變化，所以考慮最優(yōu)解的魯棒性具有工程實際意義。

3 有限元驗證

利用有限元分析軟件ABAQUS對高速永磁電機進行二維應力分析。分析過程中把面對面之間的配合簡化為線對線之間的接觸，故解析法中推導的條件與ABAQUS有限元分析條件一致。本文中高速電機的具體參數(shù):額定轉(zhuǎn)速24 000 r/min，護套厚度為4 mm,過盈量為0.15 mm，其他參數(shù)與表1相同。

分別計算電機在如下兩種運行狀態(tài)下護套的應力：①電機靜態(tài)狀態(tài)下運行；②電機在額定轉(zhuǎn)速n=24 000 r/min下運行。

由于轉(zhuǎn)子結構及其應力均上下左右對稱，本文只給出了1/4的應力云圖。本文將利用極坐標不同方向及等效Mises應力來說明非導磁金屬護套的受力情況。

圖12(a)為電機在靜止情況下護套徑向正應力云圖，圖12(b)為電機在額定轉(zhuǎn)速情況下護套徑向正應力云圖。

圖12 非導磁金屬護套圓柱永磁體 轉(zhuǎn)子護套徑向正應力云圖Fig.12 Radial positive stress nephogram of cylindrical permanent magnet of permanent magnet rotor with non-magnetic conductive metal sheath

圖13(a)為電機在靜止情況下護套環(huán)向正應力云圖，圖13(b)為電機在額定轉(zhuǎn)速情況下護套環(huán)向正應力云圖。

圖13 非導磁金屬護套圓柱永磁體轉(zhuǎn)子 護套環(huán)向正應力云圖Fig.13 Circumferential positive stress nephogram of cylindrical permanent magnet of permanent magnet rotor with non-magnetic conductive metal sheath

圖14(a)為電機在靜止情況下護套等效Mises應力云圖，圖14(b)為電機在額定轉(zhuǎn)速情況下永磁體等效Mises應力云圖。

圖14 非導磁金屬護套圓柱永磁體轉(zhuǎn)子護套 等效Mises應力云圖Fig.14 Equivalent Mises stress nephogram of cylindrical permanent magnet of permanent magnet rotor with non-magnetic conductive metal sheath

解析法和有限元法得到的護套徑向正應力、環(huán)向正應力、等效Mises應力分布比較圖分別如圖15(a)、圖15(b)、圖15(c)所示。

通過比較，解析法和有限元法得到的護套徑向正應力、環(huán)向正應力、等效Mises應力分布相吻合，本文的理論設計正確，能夠準確分析護套內(nèi)部的應力分布。圖15(a)表明，靜態(tài)時護套徑向正壓力為負值，即應力性質(zhì)為壓力，24 000 r/min額定轉(zhuǎn)速運行下由于離心力的作用護套的徑向正壓力會有一定減小。圖15(b)表明，靜態(tài)時護套環(huán)向正壓力為正值，即應力性質(zhì)為拉力，24 000 r/min額定轉(zhuǎn)速運行下由于離心力的作用護套的徑向正壓力會有一定增大。圖15(c)表明，護套最大等效Mises應力發(fā)生在護套內(nèi)表面，靜止和24 000 r/min狀態(tài)下護套最大等效Mises應力在310～340 MPa內(nèi)，遠遠小于護套抗拉強度800～1 200 MPa，符合轉(zhuǎn)子強度保護要求。

圖15 解析解和有限元結果比較Fig.15 Comparison of analytical solution and finite element results

本稿討論的基于多維可視化的高速永磁電機轉(zhuǎn)子強度優(yōu)化設計尚未考慮轉(zhuǎn)子溫升的影響，今后將進一步討論考慮轉(zhuǎn)子溫升影響的轉(zhuǎn)子強度可視化設計問題。

4 結 論

通過本文的轉(zhuǎn)子強度可視化優(yōu)化設計及有限元法驗證，可得到以下結論：

(1)本文推導的轉(zhuǎn)子強度解析公式能夠準確計算考慮過盈配合、轉(zhuǎn)速、護套厚度因素永磁體的永磁體轉(zhuǎn)子應力，為非導磁金屬護套高速永磁電機設計提供理論依據(jù)。

(2)過盈量是影響永磁體壓強P、護套最大等效Mises應力的決定性因素。永磁體接觸壓強及護套最大等效Mises應力均隨著過盈量的增加而大幅增加。

(3)采用多維可視化算法能夠得到護套厚度及過盈量的可行域，便于實現(xiàn)永磁轉(zhuǎn)子強度的優(yōu)化設計，且無需復雜的數(shù)學求解過程，簡單、直觀。

致謝

本項目由南昌航空大學研究生創(chuàng)新專項資金項目資助(校級項目YC2021-033)。