崔庭瓊， 李以農(nóng)， 張運(yùn)濤， 張志達(dá)， 羅法氿， 王 成

(1. 重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400030； 2. 北方車輛研究所，北京 100072)

特種車輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性和安全性是保證車輛完成任務(wù)的重要保證，而傳動(dòng)主軸作為傳動(dòng)系統(tǒng)中傳遞動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵部件，其使用性能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的功能實(shí)現(xiàn)和可靠工作起著至關(guān)重要的作用[1-2]。但特種車輛工作環(huán)境惡劣、行駛工況復(fù)雜，傳動(dòng)主軸除了需要傳遞較大的工作載荷外，還會(huì)受到交變載荷和沖擊載荷的作用，往往是特種車輛傳動(dòng)系統(tǒng)中最易發(fā)生失效的零部件，進(jìn)而影響整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性。因此，眾多學(xué)者對(duì)特種車輛傳動(dòng)主軸失效原因開展了廣泛的研究。趙梓燁等[3]對(duì)某輕型履帶車輛傳動(dòng)軸在起步工況下主離合器接合過程進(jìn)行了疲勞分析，結(jié)果表明主離合器接合過程中從動(dòng)盤軸向移動(dòng)速率變化最大的位移點(diǎn)是傳動(dòng)軸產(chǎn)生最大疲勞損傷的危險(xiǎn)點(diǎn)，占全部接合過程總損傷的73.86%，損傷程度為接合過程中主離合器同步狀態(tài)的2.87倍。劉喆等[4]基于ADAMS.ATV軟件建立了履帶車輛行駛仿真平臺(tái)，獲得了傳動(dòng)主軸在各種不同工況下的動(dòng)態(tài)載荷，并基于MSC.Fatigue疲勞壽命分析軟件建立了傳動(dòng)軸的疲勞分析模型，獲得了傳動(dòng)軸的疲勞壽命，并仿真分析了不同結(jié)構(gòu)對(duì)傳動(dòng)軸疲勞壽命的影響規(guī)律。周杰等[5]針對(duì)某履帶車輛側(cè)減速器傳動(dòng)軸的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，結(jié)合疲勞壽命預(yù)測(cè)方法針對(duì)不同結(jié)構(gòu)尺寸的傳動(dòng)軸的壽命進(jìn)行比較，從而實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化設(shè)計(jì)。Zhao等[6]通過對(duì)某特種車輛傳動(dòng)軸斷裂部位進(jìn)行宏、微觀觀察，金相組織檢測(cè)以及力學(xué)測(cè)試等試驗(yàn)，并對(duì)傳動(dòng)軸的應(yīng)力進(jìn)行了有限元分析，結(jié)果表明，疲勞斷裂是傳動(dòng)軸失效的主要原因，應(yīng)力集中的齒根或軸肩處出現(xiàn)裂紋的概率更高，同時(shí)左右光軸的剛度不匹配導(dǎo)致的傳遞扭矩分配不均是傳動(dòng)軸失效的根本原因。

相比正常行駛工況，起步工況下特種車輛傳動(dòng)系統(tǒng)載荷變動(dòng)劇烈，存在明顯的沖擊載荷，該工況對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)主軸造成的載荷損傷最大。同時(shí)，特種車輛傳動(dòng)系統(tǒng)由于布局限制，傳動(dòng)主軸為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)剛度和阻尼等參數(shù)存在明顯差別，導(dǎo)致左右軸段抗扭振能力存在較大差別，系統(tǒng)輸入載荷分配不均。因此本文以特種車輛傳動(dòng)主軸為對(duì)象，綜合考慮傳動(dòng)主軸系統(tǒng)花鍵不對(duì)中嚙合力、軸承赫茲力等內(nèi)外多源激勵(lì)，采用集中質(zhì)量法建立系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，獲得起步工況下系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)動(dòng)載荷的時(shí)域、頻域響應(yīng)；基于NSGA-Ⅱ算法，以系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，并通過仿真驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果的有效性，為特種車輛非對(duì)稱傳動(dòng)主軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。

1 主軸-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

本文的研究對(duì)象為某特種車輛復(fù)雜綜合傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的主軸系統(tǒng)，其三維結(jié)構(gòu)如圖1所示?？紤]系統(tǒng)花鍵不對(duì)中、軸承非線性支撐和波動(dòng)負(fù)載激勵(lì)等內(nèi)外多源非線性激勵(lì)，基于集中質(zhì)量法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖1 主軸系統(tǒng)三維結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Three dimensional structure diagram of spindle system

圖2 主軸-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of spindle bearing system

圖2中：mi和Ji分別為3個(gè)轉(zhuǎn)子(包括軸承內(nèi)圈)的集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mpij為各轉(zhuǎn)子兩端軸承座(包括軸承外圈)的集中質(zhì)量；kt1,2和ct1,2為主軸兩端的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；ks1,2和cs1,2為主軸兩端的彎曲剛度和阻尼；kij為各轉(zhuǎn)子兩端軸承的接觸剛度；cij為各轉(zhuǎn)子兩端軸承的結(jié)構(gòu)阻尼；kp和cp為軸承座的支持剛度和阻尼；l1和l2分別為主軸左、右軸段長度，因主軸為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，l1明顯大于l2。本文中，i=1,2,3依次為轉(zhuǎn)子1，2，3；j=1,2依次為轉(zhuǎn)子左、右兩端。

1.1 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

通常實(shí)際工作中的轉(zhuǎn)子形狀不規(guī)則、材料不同及加工方式的差異都會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心，轉(zhuǎn)子嚴(yán)重的質(zhì)量偏心將加劇系統(tǒng)的彎扭耦合振動(dòng)。對(duì)考慮質(zhì)量偏心的轉(zhuǎn)子進(jìn)行受力分析，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子受力分析圖Fig.3 Stress analysis diagram of rotor disc

圖3中：o(x,y)為坐標(biāo)原點(diǎn)；oi(xi,yi)為轉(zhuǎn)子幾何中心；a(xa,ya)為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；e為偏心距；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；θ為轉(zhuǎn)子扭角；φ=ωt+θ為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角。根據(jù)幾何關(guān)系可以得到質(zhì)心a的坐標(biāo)

(1)

1.2 不對(duì)中花鍵嚙合力模型

主軸系統(tǒng)中，花鍵裝配不對(duì)中引起過度振動(dòng)、磨損變形等問題，嚴(yán)重影響系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，花鍵裝配不對(duì)中時(shí)的受力圖，如圖4所示。花鍵傳遞載荷使鍵齒發(fā)生變形，靜載會(huì)產(chǎn)生一個(gè)嚙合力；同時(shí)內(nèi)外花鍵隨各自連接部件振動(dòng)，振動(dòng)位移差也產(chǎn)生一個(gè)嚙合力[7]。

圖4 花鍵聯(lián)軸器受力模型Fig.4 Force model of spline coupling

為便于建模，先假設(shè)不對(duì)中存在于x軸正向，由于鍵齒變形產(chǎn)生的嚙合力為

FFi=ΦLiKFi

(2)

(3)

式中：Φ為鍵齒受載變形產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移；Li為單個(gè)鍵齒等效嚙合距離；KFi為單個(gè)鍵齒等效嚙合剛度；T為系統(tǒng)工作載荷；z為花鍵齒數(shù)；R為鍵根圓半徑。

動(dòng)態(tài)振動(dòng)所產(chǎn)生的嚙合力可表達(dá)為

FDi=(e′sinφi)KFi

(4)

βi=2π(i-1)/z

(5)

(6)

式中：βi為單個(gè)鍵齒與x軸正向夾角；e′為花鍵裝配總的不對(duì)中量；α為靜態(tài)不對(duì)中位移e0與x正向夾角，可取α=π/2。

整理上述推導(dǎo)過程，可得到花鍵受載荷存在動(dòng)態(tài)位移差時(shí)二者綜合產(chǎn)生的嚙合力之和為

FMi=(ΦLi+e′sinβi)KFi

(7)

當(dāng)花鍵鍵齒正常嚙合時(shí)，每一個(gè)鍵齒的嚙合力應(yīng)該大于零，故有

(8)

將不對(duì)中產(chǎn)生的嚙合力沿坐標(biāo)軸分解為

(9)

式中，θi為單個(gè)鍵齒的作用力方向與x軸正向夾角，θi=βi+π/2。

當(dāng)動(dòng)態(tài)位移發(fā)生在任意角度?時(shí)，將嚙合力沿坐標(biāo)軸方向分解

(10)

1.3 軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

主軸系統(tǒng)中的軸承均為深溝球軸承，考慮軸承內(nèi)外圈水平和豎直方向振動(dòng)，建立4自由度動(dòng)力學(xué)模型[8-9]，如圖5所示。圖5中：xi,o和yi,o為軸承內(nèi)、外圈在軸承橫截面內(nèi)水平和豎直方向的振動(dòng)位移；mi為內(nèi)圈質(zhì)量；mo為外圈質(zhì)量；kc為Hertz接觸剛度；ko為外圈剛度；ci為內(nèi)圈阻尼；co為外圈阻尼。

圖5 深溝球軸承動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Dynamic model of deep groove ball bearing

根據(jù)牛頓第二定律得到軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(11)

式中：fx，y分別為x，y向接觸力；Fr為施加在軸承內(nèi)圈的y向載荷。

假設(shè)軸承外圈固定在軸承座上，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滾珠在滾道上作純滾動(dòng)。設(shè)滾珠個(gè)數(shù)為No，則第n個(gè)滾珠經(jīng)過時(shí)間t后轉(zhuǎn)過的角度θn為

(12)

式中：ωc=ωind/(Dzc+dzc)為保持架角速度；ωin為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；dzc為軸承內(nèi)徑；Dzc為軸承外徑。

軸承第n個(gè)滾珠在角位移θn處與滾道的徑向接觸變形量為

δn=(xin-xo)cosθn+(yin-yo)sinθn-s

(13)

式中，s為徑向游隙。

根據(jù)Hertz接觸理論可得滾珠與滾道之間的非線性接觸力為

(14)

式中：Hn為接觸系數(shù)，表征非線性接觸力是否存在； 當(dāng)δn>0時(shí)，Hn=1，否則Hn=0；m為常數(shù)，對(duì)于球軸承m=3/2； Hertz接觸剛度kc的計(jì)算參考文獻(xiàn)[10]。

綜上得軸承在x，y向非線性Hertz接觸力分別為

(15)

1.4 主軸-軸承系統(tǒng)彎扭耦合動(dòng)力學(xué)模型

考慮3個(gè)轉(zhuǎn)子集中質(zhì)量點(diǎn)在自身平面內(nèi)水平和豎直方向上的自由度x和y以及隨主軸軸線扭轉(zhuǎn)的自由度θ，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)量矩定理，建立主軸-軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，以輸入轉(zhuǎn)子2為例對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行說明

(16)

轉(zhuǎn)子2處軸承座的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(17)

式中：T2為系統(tǒng)輸入扭矩；Tjl4和Tjl8分別為4倍和8倍發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)頻正弦激勵(lì)扭矩；fxij/fyij，fcxij/fcyij分別為軸承處的x/y向接觸力和x/y向結(jié)構(gòu)阻尼力，結(jié)構(gòu)阻尼力表達(dá)式如下

(18)

式中，cij為各軸承的結(jié)構(gòu)阻尼。

2 主軸-軸承系統(tǒng)起步?jīng)_擊特性分析

本文針對(duì)某特種車輛傳動(dòng)主軸在起步工況下右端斷裂失效問題，如圖6所示。開展起步工況下系統(tǒng)沖擊載荷分析，采用Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，仿真時(shí)間為10 s，仿真步長2×10-6s，在1 s時(shí)刻，傳動(dòng)系統(tǒng)由空擋掛至一擋，一擋工況參數(shù)如表1所示，主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。選取軸承61818作為系統(tǒng)支撐軸承，依據(jù)鄧四二等的研究計(jì)算可得軸承系統(tǒng)各仿真參數(shù)。

圖6 主軸斷裂故障件外觀Fig.6 Appearance of failure parts of spindle fracture

表1 系統(tǒng)一擋工況參數(shù)表Tab.1 Table of system parameter under working condition

表2 主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)表Tab.2 Table of structural parameters of spindle system

2.1 主軸-軸承系統(tǒng)沖擊動(dòng)載荷分析

求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程得到的是集中質(zhì)量點(diǎn)處的位移、速度和加速度，為更準(zhǔn)確評(píng)價(jià)起步工況下主軸的沖擊振動(dòng)響應(yīng)，引入軸段的定義為[11]

(19)

(20)

式中：Tb1，Tb3分別為左、右軸段的波動(dòng)扭矩；fx,y1，fx,y3分別為左、右軸段x，y方向彎曲動(dòng)載荷。

由于重力作用，y向彎曲動(dòng)載荷要大于x向彎曲動(dòng)載荷，彎曲動(dòng)載荷僅以y向?yàn)槔右苑治?。起步工況下，主軸左右兩端的彎曲動(dòng)載荷和扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷響應(yīng)，分別如圖7和圖8所示。

由圖7可以看出：當(dāng)主軸剛開始工作時(shí)，彎曲動(dòng)載荷需要一定時(shí)間才能穩(wěn)定，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后掛一擋起步，主軸左右端的彎曲動(dòng)載荷都明顯增加，且右端彎曲動(dòng)載荷要遠(yuǎn)大于左端彎曲動(dòng)載荷。由圖8可以看出：主軸剛開始工作時(shí)，扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷比較穩(wěn)定，掛一擋起步后，起步瞬間產(chǎn)生明顯的沖擊載荷，之后扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷緩慢收斂，長時(shí)間處于震蕩衰減的非穩(wěn)定狀態(tài)，且右端軸段扭動(dòng)載荷的均方根值為左端軸段的1.42倍，即主軸右端的扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷起步時(shí)更易受到?jīng)_擊的影響，主要原因在于起步工況下主軸兩側(cè)輸出為固定約束，屬于扭轉(zhuǎn)靜不定，主軸兩側(cè)承受扭矩的比值為扭轉(zhuǎn)剛度之比，由于主軸兩側(cè)為長短不同的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，當(dāng)主軸兩側(cè)的內(nèi)外徑相等，則長度短的一側(cè)(右側(cè))承擔(dān)的扭矩大，因而起步時(shí)更容易受到?jīng)_擊影響。

圖7 主軸左、右軸段彎曲動(dòng)載荷Fig.7 Bending dynamic load of left and right of main shaft

圖8 主軸左、右軸段扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷Fig.8 Torsional rotation load of left and right of main shaft

從主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷時(shí)域圖可以看出，時(shí)域響應(yīng)曲線包含不同的頻率成分，為準(zhǔn)確得到系統(tǒng)時(shí)域信號(hào)的頻率組成，判斷系統(tǒng)振動(dòng)原因，采用快速Fourier變換得到主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷頻譜圖，如圖9所示。

圖9 主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷頻譜圖Fig.9 Spectrum of torsional rotation load of spindle

由圖9可以看出：主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的頻率存在11.2 Hz，153.3 Hz和306.7 Hz 3個(gè)主峰，經(jīng)過分析可知，其分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的一階固有頻率、4倍發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)頻和8倍發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)頻。由此可見，主軸的扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷主要受到系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)固有頻率(由主軸結(jié)構(gòu)決定)和發(fā)動(dòng)機(jī)波動(dòng)扭矩的影響。同時(shí)起步工況下的主軸轉(zhuǎn)速接近系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)一階固有頻率，主軸可能會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。

2.2 主軸斷裂故障分析與驗(yàn)證

經(jīng)2.1節(jié)起步工況沖擊載荷分析可知，起步工況下，主軸系統(tǒng)受到?jīng)_擊載荷的影響，且右端軸段的影響顯著大于左端，這是主軸斷裂的主要原因之一。同時(shí)，在一擋工況下，分析主軸兩端輸出轉(zhuǎn)子處花鍵在微小不對(duì)中裝配下各鍵齒所受的力，如圖10所示。

圖10 兩側(cè)輸出花鍵處鍵齒受力圖Fig.10 Stress diagram of key teeth at output splines on both sides

由圖10分析可知：花鍵裝配存在微小不對(duì)中量時(shí)，各鍵齒受力不同，當(dāng)不對(duì)中量增大時(shí)，各鍵齒所受的力也將呈現(xiàn)較大的差別，那么花鍵傳載過程中各鍵齒所受的應(yīng)力差值也將增大，少數(shù)鍵齒存在應(yīng)力集中。承受應(yīng)力較大的鍵齒更加容易從齒根處發(fā)生剪切斷裂，如圖11(a)所示。所以，花鍵裝配不對(duì)中裝配造成的應(yīng)力集中也是造成主軸右端斷裂的原因之一，實(shí)際的主軸端口也很好的驗(yàn)證了上述觀點(diǎn)，如圖11(b)所示。

圖11 主軸斷口宏微觀圖Fig.11 Macro and micro view of spindle fracture

為驗(yàn)證主軸斷裂原因，利用有限元軟件HyperWorks對(duì)主軸進(jìn)行了整體應(yīng)力分布和局部應(yīng)力狀態(tài)分析，扭矩施加在輸入花鍵上，軸的旋轉(zhuǎn)通過內(nèi)外花鍵嚙合受到約束，施加在輸入花鍵上的輸入扭矩為4 210 N·m，得到的傳動(dòng)主軸應(yīng)力分布輪廓圖如圖12所示。

圖12 主軸應(yīng)力分布圖Fig.12 Stress distribution of main shaft

仿真結(jié)果表明，主軸右側(cè)花鍵齒根處存在臨界區(qū)，最大應(yīng)力值達(dá)到127.3 MPa，與主軸的斷裂位置一致；主軸左側(cè)的最大局部應(yīng)力也發(fā)生在花鍵齒根根部，達(dá)到28.9 MPa。右側(cè)軸段上的應(yīng)力達(dá)到62.7 MPa，是左側(cè)軸段應(yīng)力25.6 MPa的2.45倍，與本節(jié)數(shù)值仿真所得結(jié)果基本一致。

此外，對(duì)斷裂主軸還進(jìn)行了斷裂分析試驗(yàn)研究，得出主軸斷裂過程為：主軸右端輸出花鍵齒根部均勻萌生疲勞裂紋并呈弧形向軸心部擴(kuò)展，當(dāng)各條裂紋交匯之后，斷裂成三大部分，見圖11(b)。其中，裂紋萌生的位置，通過模擬計(jì)算，在距右端面約50 mm的位置，即為主軸受到扭矩作用時(shí)的最大應(yīng)力點(diǎn)。主軸的斷裂模式為扭轉(zhuǎn)疲勞斷裂，裂紋起源于距端面約50 mm處的花鍵底部，周向多源萌生向心部拓展，并最終斷裂，試驗(yàn)結(jié)果表明主軸的斷裂是由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)所致，亦驗(yàn)證了之前仿真所得結(jié)論。

3 基于NSGA-Ⅱ的主軸多目標(biāo)優(yōu)化

特種車輛傳動(dòng)主軸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)直接影響主軸起步工況下的工作載荷分配。本文從主軸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，采用NSGA-Ⅱ算法對(duì)傳動(dòng)主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。將主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化看作為一個(gè)具有n個(gè)優(yōu)化目標(biāo)和u個(gè)約束條件的多目標(biāo)非線性優(yōu)化問題，則多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化問題描述為[12]

Ffitness(x)=best{f1(x),f2(x),…,fn(x)},x∈T

(21)

T={x∈Rm,G:gi,min≤gi(x)≤gi,max,i=1,…,u}

(22)

式中：f1(x),f2(x),fn(x)分別為第1～第n個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)；T為約束條件；Rm為設(shè)計(jì)變量域；G為變量約束；gi為單個(gè)約束條件；n為設(shè)計(jì)目標(biāo)維數(shù)；m為設(shè)計(jì)變量維數(shù)；u為約束個(gè)數(shù)。

3.1 設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)

傳動(dòng)主軸斷裂的主要原因?yàn)椋孩傧噍^于穩(wěn)態(tài)工作時(shí),起步工況下，主軸系統(tǒng)存在沖擊載荷，動(dòng)載荷幅值為穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的兩倍左右； ②主軸結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，導(dǎo)致主軸右側(cè)軸段的動(dòng)載荷幅值大于左側(cè)軸段動(dòng)載荷幅值； ③花鍵裝配不對(duì)中使得右端鍵齒存在應(yīng)力集中。上述原因中，沖擊載荷須通過協(xié)調(diào)發(fā)動(dòng)機(jī)控制以適應(yīng)傳動(dòng)比的突變[13]，而花鍵的應(yīng)力集中主要取決于系統(tǒng)的裝配精度，結(jié)構(gòu)不對(duì)稱導(dǎo)致的載荷分配不均問題則可以通過優(yōu)化解決。因此，選取起步工況下主軸左右軸段沖擊扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷差值和總和作為優(yōu)化目標(biāo)

目標(biāo)函數(shù)1

f1(x)=min(Tb3-Tb1)

(23)

目標(biāo)函數(shù)2

f2(x)=min(Tb3+Tb1)

(24)

3.2 設(shè)計(jì)優(yōu)化變量

基于靈敏度分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)沖擊載荷最為敏感的參數(shù)為扭轉(zhuǎn)剛度。扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算公式為[14]

(25)

(26)

由式(25)、式(26)可知，扭轉(zhuǎn)剛度K與材料的剪切彈性模量G、軸段橫截面對(duì)圓心的極慣性矩Ip和軸段長度l有關(guān)。主軸材料已選用綜合性能最好的300M鋼，而軸段長度受到結(jié)構(gòu)限制不可變動(dòng)，因此只能夠通過改變主軸內(nèi)外徑改變Ip來實(shí)現(xiàn)主軸的扭轉(zhuǎn)剛度優(yōu)化。同時(shí)為了改變主軸兩端的非等強(qiáng)度設(shè)計(jì)，應(yīng)考慮將主軸兩側(cè)設(shè)計(jì)成不同的內(nèi)外徑。綜合考慮，設(shè)計(jì)優(yōu)化變量為

x=[dldrDlDr]

(27)

式中，dl,r和Dl,r分別為主軸左、右軸段的內(nèi)徑和外徑。

3.3 設(shè)計(jì)變量約束

優(yōu)化變量的基準(zhǔn)值為原始主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)，由減少起步工況下主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷為要求，確定變量dl，dr，Dl，Dr的取值范圍，約束條件為

dl,dr∈[0,20]，Dl,Dr∈[50,70]

(28)

3.4 多目標(biāo)優(yōu)化框架

本文研究的某特種車輛傳動(dòng)主軸系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量多，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法易發(fā)生陷入局部最優(yōu)問題，多目標(biāo)智能算法能較好的處理這類問題[15]。NSGA-Ⅱ算法是基于遺傳算法改進(jìn)的，通過提出快速非支配排序、采用擁擠度和擁擠度比較算子、引入精英策略等提高了算法的尋優(yōu)能力。利用MATLAB軟件編寫主軸模型和NSGA-Ⅱ算法，在NSGA-Ⅱ算法中嵌入主軸模型進(jìn)行求解，計(jì)算主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。本文多目標(biāo)優(yōu)化流程，如圖13所示。

圖13 基于NSGA-Ⅱ算法的多目標(biāo)優(yōu)化流程Fig.13 Multi objective optimization process based on NSGA-Ⅱ algorithm

3.5 Pareto解集選優(yōu)

優(yōu)化所得結(jié)果Pareto解集包含眾多非支配解，為排除選取最優(yōu)解時(shí)人為因素的干擾，本文采用基于模糊集合理論對(duì)Pareto解進(jìn)行選優(yōu)[16]。定義隸屬函數(shù)Si,j

(29)

式中：fi,max，fi,min分別為Pareto解集中第i個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的最大值和最小值；fi,j，Si,j為第j個(gè)解的第i個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的當(dāng)前值與隸屬度值。

定義支配函數(shù)φk，第k個(gè)解的支配值為

(30)

式中：l為Pareto解集中非支配解的數(shù)目，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果可得；n為優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)。

由支配函數(shù)φk計(jì)算可得Pareto解集中每個(gè)非劣解的支配值，支配值反映了該解的綜合性能，選擇具有較大支配值的解為最優(yōu)解。

3.6 優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化所得Pareto解集采用支配值計(jì)算公式計(jì)算得到的支配值，如圖14所示。第7號(hào)粒子具有最大支配值，對(duì)應(yīng)主軸設(shè)計(jì)變量及其優(yōu)化前后數(shù)值，如表3所示。

圖14 Pareto最優(yōu)解集的支配函數(shù)值Fig.14 The dominating function value of Pareto optimal solution

根據(jù)表3所得主軸優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)優(yōu)化前后主軸左右軸段扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果分別如圖15和表4所示。

圖15 主軸波動(dòng)扭矩優(yōu)化前后對(duì)比Fig.15 Comparison of spindle fluctuating torque before and after optimization

表4 優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization results

由圖15和表4可以看出：主軸經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后，起步工況下左右兩端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間明顯提前，0.05 s即已完全收斂；左右兩端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的均方根值明顯減小，分別減小了34.49%和53.81%；主軸左端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的絕對(duì)峰值未發(fā)生改變，而右端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的絕對(duì)峰值減小了28.56%，右端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷優(yōu)化效果明顯，同時(shí)由于結(jié)構(gòu)不對(duì)稱帶來的主軸左右扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷差異過大得到明顯改善。

優(yōu)化前后主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷頻域?qū)Ρ?，如圖16所示。由圖16分析可知，主軸經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化后，左右兩端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的頻率成分僅存在153.3 Hz和306.7 Hz兩個(gè)主峰。優(yōu)化后主軸的扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷主要受發(fā)動(dòng)機(jī)波動(dòng)扭矩影響，而扭轉(zhuǎn)一階固有頻率經(jīng)過結(jié)構(gòu)優(yōu)化后已被避免，主軸在起步工況下將不會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。

圖16 主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷頻域優(yōu)化前后對(duì)比Fig.16 Comparison before and after frequency domain optimization of spindle torsion load

4 結(jié) 論

綜合考慮特種車輛傳動(dòng)主軸系統(tǒng)內(nèi)外多源非線性激勵(lì)，采用集中質(zhì)量法建立了系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，通過Runge-Kutta法得到了系統(tǒng)在起步工況下的彎扭耦合振動(dòng)載荷的時(shí)域和頻域響應(yīng)，基于此分析得到了主軸斷裂失效的主要原因。利用NSGA-Ⅱ算法對(duì)主軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了以下結(jié)論：

(1) 傳動(dòng)主軸-軸承系統(tǒng)在起步工況下主要承受的載荷為扭矩，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)中出現(xiàn)了明顯的沖擊載荷，其幅值為穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的兩倍左右。雖然系統(tǒng)存在由轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心引起的彎扭耦合效應(yīng)，但主軸彎曲動(dòng)載荷受扭轉(zhuǎn)影響較小，主要受到重力及軸承赫茲力的影響。

(2) 現(xiàn)有傳動(dòng)主軸受到布局限制呈現(xiàn)非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致主軸兩側(cè)為非等強(qiáng)度設(shè)計(jì)，右端在起步工況下要承受更大的扭轉(zhuǎn)沖擊載荷，其傳遞載荷幅值為左側(cè)的1.42倍左右，這是主軸右側(cè)斷裂的主要原因；同時(shí)，花鍵裝配不對(duì)中導(dǎo)致部分鍵齒的應(yīng)力集中是主軸斷裂的另一個(gè)重要誘因。

(3) 針對(duì)主軸右側(cè)斷裂失效，利用NSGA-Ⅱ算法對(duì)主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化結(jié)果表明，當(dāng)Dl=68.6 mm，Dr=55.2 mm時(shí)，主軸左右兩側(cè)趨近等強(qiáng)度設(shè)計(jì)，起步工況下主軸系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)能很快收斂，左右兩端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷均方根值分別減小了34.49%和53.81%，右端扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷的絕對(duì)峰值減小了28.56%，優(yōu)化后主軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)載荷僅受到發(fā)動(dòng)機(jī)波動(dòng)扭矩的影響，避免了起步工況下工作轉(zhuǎn)頻接近系統(tǒng)一階固有頻率而發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。

(4) 本文研究工作揭示了某特種車輛傳動(dòng)主軸在起步工況下發(fā)生右端斷裂失效的根本原因，針對(duì)斷裂原因基于NSGA-Ⅱ算法對(duì)主軸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化效果明顯，對(duì)于類似非對(duì)稱非等強(qiáng)度設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。