雷春麗， 劉 凱， 宋瑞哲， 薛 偉， 李建華

(蘭州理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730050)

數(shù)控機床是裝備制造業(yè)的“工作母機”，其性能水平直接決定著國民經(jīng)濟工業(yè)的發(fā)展[1]。目前，我國高檔數(shù)控機床與基礎(chǔ)制造裝備已經(jīng)被列為《國家中長期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要》16個國家科技重大專項之一[2]。電主軸是數(shù)控機床的核心部件，而角接觸球軸承是決定主軸壽命和承載能力的關(guān)鍵部件，其性能直接決定著電主軸的性能、質(zhì)量和可靠性[3]。角接觸球軸承長時間工作在多場耦合作用環(huán)境中，易造成疲勞剝落、點蝕甚至膠合等故障。局部缺陷作為滾動軸承故障的主要表現(xiàn)形式，對軸承振動性能有顯著影響，在軸承高速運轉(zhuǎn)時軸承易處于“高溫”狀態(tài)下，滾動體及其內(nèi)外圈會發(fā)生熱膨脹，同時缺陷形貌也會發(fā)生熱變形，使描述二者間的接觸關(guān)系變得更為復(fù)雜。由此可見，角接觸球軸承高速運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的高速效應(yīng)、熱效應(yīng)對具有局部缺陷的角接觸球軸承的動態(tài)特性有著顯著影響，有必要針對這一問題展開全面探究。

近年來國內(nèi)外學(xué)者對具有局部缺陷的滾動軸承做了大量深入的研究。Kong等[4]提出了一種基于赫茲接觸應(yīng)力分布的球軸承振動模型，預(yù)測了滾動體與缺陷區(qū)域的接觸力變化，并分析了滾動體經(jīng)過缺陷區(qū)域的振動響應(yīng)特性。Petersen等[5]研究了具有局部缺陷的滾動軸承內(nèi)部載荷分布，但他們僅僅將缺陷等效為軸向貫穿剝落。常斌全等[6]準確地分析了滾動體進出缺陷時的多事件位移變化過程，并建立了局部缺陷軸承動力學(xué)模型。劉靜[7]分析了波紋度缺陷和局部剝落缺陷對滾動體與滾道表面之間接觸剛度的影響規(guī)律，并基于時變位移函數(shù)，考慮了不同表面形貌特征，建立了考慮滾動體與內(nèi)外滾道之間和外圈與軸承座之間相互影響的局部缺陷表面輪廓簡化模型，但沒有研究內(nèi)部載荷分布的變化。關(guān)貞珍等[8]建立了軸承內(nèi)、外圈和滾動體局部損傷故障非線性動力學(xué)模型，并進行了動力學(xué)仿真與分析。Li等[9]考慮了離心力和陀螺力矩對高速工況下滾動體受力平衡關(guān)系的影響，建立了外滾道具有局部缺陷角接觸球軸承的力學(xué)模型。Liu等[10]建立了考慮自然缺陷幾何特征的接觸模型和缺陷滾動軸承模型，模擬了不同缺陷尺寸和工況下滾動軸承的接觸載荷分布和剛度。Niu等[11]提出了一種球體含缺陷角接觸球軸承動力學(xué)模型，該模型考慮了球的三維運動。Nabhan等[12]采用三維有限元模型預(yù)測了軸承滾道上有局部故障球軸承的振動。故障邊緣輪廓定義為矩形函數(shù)，同時還討論了故障區(qū)域的接觸力。本課題組考慮熱效應(yīng)、離心效應(yīng)以及彈流潤滑的影響，分別建立了角接觸球軸承油膜剛度和綜合剛度模型，研究了不同因素對動態(tài)參數(shù)的影響規(guī)律[13-15]。但未考慮球軸承有局部缺陷的情況。本文以外圈具有局部缺陷的角接觸球軸承為研究對象，考慮離心變形、熱變形等影響因素，建立局部缺陷角接觸球軸承擬靜力學(xué)模型。研究角接觸球軸承在不同因素影響下的動態(tài)特性。為軸承的優(yōu)化設(shè)計提供必要的理論依據(jù)。

1 力學(xué)模型描述

1.1 軸承變形計算

1.1.1 軸承離心變形計算

當(dāng)軸承高速運轉(zhuǎn)時，軸承內(nèi)部包括內(nèi)外圈和球滾動體都受到離心力作用，產(chǎn)生徑向離心變形。由于軸承裝配原因，軸承外圈安裝在軸承座孔內(nèi)，因軸承外圈變形較小故將外圈離心變形忽略。內(nèi)圈因離心效應(yīng)所產(chǎn)生的徑向變形量δ1為[16]

(1)

式中：ρi為軸承內(nèi)圈材料密度；Ei為軸承內(nèi)圈材料彈性模量；Di為內(nèi)溝道直徑；di為軸承內(nèi)圈直徑；νi為軸承內(nèi)圈材料泊松比。

1.1.2 軸承熱變形計算

電主軸在高速旋轉(zhuǎn)時，電機損耗發(fā)熱和軸承摩擦發(fā)熱導(dǎo)致主軸和軸承溫度升高，并通過熱傳導(dǎo)和熱對流致使軸承內(nèi)部溫度逐漸升高，所以軸承各零部件產(chǎn)生熱膨脹。根據(jù)Harris提出薄壁圓環(huán)零件熱變形計算方法可以得到軸承內(nèi)圈、外圈和滾動體的熱變形

ui=αidiΔTi

(2)

uo=αodoΔTo

(3)

ub=αbdbΔTb

(4)

式中：ui，uo，ub分別為內(nèi)圈、外圈和滾動體熱變形；αi，αo，αb分別為內(nèi)圈、外圈和滾動體材料的熱膨脹系數(shù)；ΔTi，ΔTo，ΔTb分別為內(nèi)圈、外圈和滾動體溫升；di，do，db分別為內(nèi)圈、外圈和滾動體的直徑。

由式(2)～式(4)可知，軸承在高速運轉(zhuǎn)時，由溫升引起的徑向變形量δ2為

δ2=ui-2ub-uo

(5)

軸承的軸向變形量主要與其配置方式有關(guān)，不同配置方式會產(chǎn)生不同的軸向變形量。因此，當(dāng)配置方式為面對面裝配時由溫升而引起的軸向變形量δa為

(6)

式中：αh，αs分別為球軸承軸承座和轉(zhuǎn)軸材料熱膨脹系數(shù)；Lh，Ls分別為球軸承外圈與軸承座孔、轉(zhuǎn)軸與球軸承內(nèi)圈的有效接觸長度； ΔTh，ΔTs分別為軸承座溫升和轉(zhuǎn)軸溫升。

1.2 軸承外圈局部缺陷尺寸表征與深度計算

1.2.1 軸承外圈局部故障尺寸的表征

本文在計算軸承內(nèi)部載荷分布過程中，考慮熱效應(yīng)和離心效應(yīng)的影響，對軸承外圈局部故障尺寸表征，如圖1所示。圖1中：h為給定的缺陷深度；R為熱膨脹后滾動體半徑；r0為熱膨脹后外滾道底環(huán)向半徑；φfa為缺陷所在角度； Δφfa為環(huán)向缺陷跨越的角度；rb為外溝道曲率半徑； Δφfc為軸向缺陷跨越的角度。

圖1 軸承外圈局部故障尺寸表征Fig.1 Dimension characterization of partial fault of bearing outer ring

1.2.2 滾動體與滾道接觸缺陷深度計算

建立含深度為h的矩形凹坑的缺陷模型，在實際情況中，滾動體進出缺陷區(qū)域以及滾動體-滾道接觸變形釋放和重新獲得是一個漸變的過程[17]。因此，需要計算出滾動體與滾道的接觸缺陷深度，用于描述這個漸變過程。

當(dāng)保持架位于初始X位置時，第j個球體的方位角為

(7)

式中：j為第j個滾動體；ωc為保持架轉(zhuǎn)速；N為滾動體個數(shù)。

圖1(b)中滾動體與滾道的接觸缺陷深度可以表示為

(8)

圖1(c)中滾動體與滾道的接觸缺陷深度可以表示為

(9)

當(dāng)缺陷較長且較寬滾動體可以完全接觸到缺陷底部時，滾動體與滾道的接觸缺陷深度可以表示為

d(φ)3=h

(10)

結(jié)合式(7)～式(10)可以得出滾動體與滾道的接觸缺陷深度

(11)

1.3 外圈缺陷球軸承擬靜力學(xué)模型的建立

為保證建模的合理性，作出如下假設(shè)：①忽略保持架和密封等對軸承靜力平衡的影響，軸承只受軸向力作用；②滾動體在軸承內(nèi)部均勻分布，忽略滾動體奇偶數(shù)目對軸承內(nèi)部載荷分布的影響，且滾動體在滾道上運動為純滾動；③滾動體與內(nèi)、外滾道接觸滿足Hertz接觸理論；④本文研究針對軸承運轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的早期缺陷，故障尺寸不足以導(dǎo)致軸承失效。

角接觸球軸承內(nèi)圈相對外圈產(chǎn)生位移后，外圈滾道曲率中心、內(nèi)圈滾道曲率中心和球滾動體中心三者之間的相對位移關(guān)系，如圖2所示。從圖2幾何關(guān)系可得到

圖2 軸承內(nèi)部變形和位移Fig.2 Internal deformation and displacement of bearing

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2= [(fi-0.5)Db+δij]2

(12)

(13)

式中的各項參數(shù)的詳細計算公式見Li等的研究。

經(jīng)過對角接觸軸承球滾動體進行受力分析，可得到以下方程

(14)

式中：Qij，Qoj分別為軸承內(nèi)、外圈接觸載荷；Fcj為球滾動體所受離心力；Mgj為陀螺力矩，其具體表達式為

(15)

(16)

為求得整個軸承軸向、徑向和角變形量還需要聯(lián)立求解以下方程

(17)

(18)

(19)

根據(jù)上述軸承內(nèi)部受力變形以及非線性方程組，編寫計算程序，采用Newton-Raphson迭代求解軸承動態(tài)特性參數(shù)，計算流程圖，如圖3所示。

圖3 動態(tài)特性參數(shù)求解流程圖Fig.3 Solution flow chart of dynamic characteristic parameters

2 考慮熱效應(yīng)的局部缺陷球軸承時變接觸剛度計算

當(dāng)滾動體經(jīng)過缺陷區(qū)域時，滾動體與滾道的接觸剛度發(fā)生了變化。滾動體和滾道的接觸形式由滾動體與曲面的點接觸，變化成為球與線的點線接觸，因此滾動體與局部缺陷邊緣之間的接觸點數(shù)目隨滾動體的角位置變化而變化[18]?？紤]到實際情況下，點線接觸會承受較高的接觸力，使得缺陷邊緣會變得較為平滑，因此接觸剛度的過渡也是平滑過渡。對于正常的滾道與滾動體點接觸，其載荷位移關(guān)系式為[19]

(20)

式中：Qc為接觸載荷；Kp為載荷變形系數(shù)；δ為彈性變形量。

本文所計算的接觸載荷均是由1.3節(jié)計算所得，對于局部缺陷處的滾動體與滾道的接觸，在產(chǎn)生相同位移的條件下，缺陷區(qū)域的接觸載荷等于滾動體與無損滾道的接觸載荷減去缺陷部分所卸載的載荷。因此，缺陷區(qū)域處的接觸載荷可表示為

(21)

式中的二重積分區(qū)域為缺陷部分所承受的載荷，積分區(qū)域D為

(22)

通過公式推導(dǎo)可得出缺陷處的接觸剛度為

(23)

式中，a，b，δ分別為正常載荷Qi在無缺陷滾道上所引起的正常接觸橢圓的半長、半寬和接觸變形。

滾動體與外圈和內(nèi)圈的接觸剛度串聯(lián)組成的等效接觸剛度Kn，其公式表示如下

(24)

式中：Kn為等效接觸剛度；Ki為滾動體與內(nèi)滾道接觸剛度；Kd為滾動體與具有缺陷的外滾道接觸剛度。

3 結(jié)果分析

3.1 模型驗證

為了驗證本文擬靜力學(xué)模型的準確性，開展軸承動態(tài)參數(shù)的對比驗證，包括接觸角以及接觸載荷。軸承參數(shù)，如表1所示。軸承外載荷為Fx=889.84 N，軸承轉(zhuǎn)速為15 000 r/min。對比結(jié)果，如表2所示。

表1 7011C軸承參數(shù)Tab.1 7011C bearing parameters

表2 動態(tài)參數(shù)對比驗證Tab.2 Comparison and verification of dynamic parameters

由表2可知，采用本文模型得到的軸承參數(shù)與李震等的研究中的結(jié)果對比十分吻合，且誤差的絕對值不超過7.6%。根據(jù)上述動態(tài)參數(shù)的對比驗證，表明了本文模型的準確性。

同時，為驗證本文時變剛度模型的正確性，根據(jù)文獻[21]中球軸承的參數(shù)，計算當(dāng)轉(zhuǎn)速為1 000 r/min時的剛度值，計算所得結(jié)果與文獻試驗測得值進行對比，如圖4所示。

圖4 軸向剛度對比Fig.4 Comparison of axial stiffness

由圖4可知，采用本文模型計算所得的軸承軸向剛度與Kraus等的研究中的結(jié)果相差較小，最大誤差的絕對值小于9.82%，驗證了本文模型的正確性。

3.2 各參數(shù)的計算分析

本節(jié)對具有局部缺陷角接觸球軸承的動態(tài)特性進行研究，選取型號為H7013C作為研究對象，軸承的具體參數(shù)如表3所示。

表3 H7013C軸承參數(shù)Tab.3 H7013C bearing parameters

滾動體陷入缺陷區(qū)域的最大接觸深度，如圖5所示。

圖5 滾動體陷入局部缺陷深度Fig.5 Depth of roller falling into local defect

由圖5可知，滾動體滾入缺陷的邊緣是平滑的曲線而不是直角。因此，滾動體不是直接落入缺陷底部，滾動體經(jīng)過缺陷區(qū)域過程中，其接觸變形的獲得與釋放是一個漸變的過程。當(dāng)固定軸向角度為30°，改變環(huán)向角度分別為1°，2°，4°。從圖5可知，滾動體進入和退出缺陷的位置角在逐漸增大，滾動體陷入缺陷的深度逐漸增大。當(dāng)固定環(huán)向角度為4°，改變軸向角度為10°，20°，30°。從圖5可知，滾動體陷入缺陷深度在不斷增大。此外，經(jīng)過對比固定軸向角度和固定環(huán)向角度所得的曲線，可得缺陷的軸向跨度角在很大程度上決定了滾動體與滾道的接觸缺陷深度。

本課題組建立了電主軸熱態(tài)特性仿真模型，得到軸承溫升的變化規(guī)律，并通過試驗驗證了模型的正確性[22]。本文通過仿真模型計算得到軸承在24 000 r/min內(nèi)各零件溫升，進而求得軸承徑向和軸向熱變形量分別如圖6和圖7所示。

圖6 球軸承各部件溫升Fig.6 Temperature rise of various parts of ball bearing

圖7 球軸承熱變形量Fig.7 Thermal deformation of ball bearing

由圖6可知，隨著球軸承轉(zhuǎn)速的增大，球軸承各部件的溫升逐漸升高，在相同轉(zhuǎn)速下外圈、滾動體和內(nèi)圈溫升量依次增高。

由圖7可知，隨著轉(zhuǎn)速增大，滾動體和內(nèi)、外圈的熱變形量均呈增大趨勢。這主要是因為隨著轉(zhuǎn)速增大，內(nèi)圈、外圈和滾動體溫升都在升高，這使其產(chǎn)熱量增大，熱膨脹使得球軸承部件變形量逐漸增大。其中外圈變化大于滾動體和內(nèi)圈，這是因為外圈直徑大于滾動體和內(nèi)圈。

3.3 多因素對軸承動態(tài)特性參數(shù)的影響規(guī)律

3.3.1 不同因素對局部缺陷軸承內(nèi)部載荷的影響

將表1數(shù)據(jù)代入求解流程圖中，研究軸向、環(huán)向角度對軸承接觸載荷的影響。取Fa=600 N計算出單個滾動體最大的接觸載荷，如圖8所示。

圖8 熱變形對局部缺陷軸承載荷分布的影響Fig.8 Effect of thermal deformation on load distribution of locally defective bearing

由圖8可知，隨著轉(zhuǎn)速的增大單個滾動體所承受的最大載荷逐漸增大，考慮熱變形后滾動體所受載荷大于未考慮熱變形時所受載荷。因此在計算局部缺陷軸承動態(tài)參數(shù)時考慮熱變形是非常有必要的。

固定環(huán)向角度改變軸向角度的單個滾動體所受最大載荷圖，如圖9所示。當(dāng)固定環(huán)向角度為5°，軸向角度分別取10°，90°時，隨著軸向角度的增大載荷都有所增大，這是因為當(dāng)滾動體陷入缺陷后其所受載荷部分卸載，其他滾動體加載單個滾動體所受的最大接觸載荷增大。固定環(huán)向角度為5°時，因陷入缺陷而卸載的滾動體只有一個；當(dāng)軸向角度為10°時，滾動體未完全卸載還具有承載能力；當(dāng)軸向角度為90°時滾動體完全卸載，失去承載能力。由此可以得出軸向角度決定滾動體陷入缺陷的深度從而影響軸承內(nèi)部載荷。

圖9 固定缺陷區(qū)域環(huán)向角度改變軸向角度Fig.9 Fixing the circumferential angle of defect area and changing the axial angle

固定軸向角度改變環(huán)向角度后單個滾動體所受最大載荷，如圖10所示。由圖10可知，隨著轉(zhuǎn)速的逐漸增大，當(dāng)固定軸向角度為90°，環(huán)向角度分別取5°，45°時，隨著環(huán)向角度的增大載荷都有所增大。這是因為當(dāng)滾動體陷入缺陷后其所受載荷卸載，滾動體完全空載，其他滾動體所受的接觸載荷就增大。當(dāng)缺陷環(huán)向角度只有5°時，缺陷處可容納的滾動體至多一個，而隨著缺陷處環(huán)向角度的增大其可容納的滾動體數(shù)量也在增加。當(dāng)缺陷的環(huán)向角度為45°時，缺陷處可容納的滾動體至少有一個至多有兩個。由此可以得出環(huán)向角度因決定陷入缺陷的滾動體數(shù)量從而影響軸承內(nèi)部的接觸載荷。

圖10 固定軸向角度改變環(huán)向角度Fig.10 Fixed axial angle changing circumferential angle

3.3.2 熱變形對缺陷區(qū)域接觸剛度的影響

取轉(zhuǎn)速n=16 000 r/min，軸向力Fa=600 N，將考慮熱變形和不考慮熱變形的內(nèi)、外圈接觸載荷代入，計算出缺陷環(huán)向角度為1°和2°時，缺陷處等效接觸剛度如圖11(a)所示，局部放大圖如圖11(b)所示。

圖11 熱變形對缺陷處接觸剛度影響Fig.11 Effect of thermal deformation on contact stiffness at defects

由圖11(a)和圖11(b)可知，考慮熱變形的缺陷處剛度的初始值更高且在不同的角位置處考慮熱變形的等效接觸剛度都較大，當(dāng)滾動體進入缺陷后考慮熱變后的等效接觸剛度下降速率更快。因此在計算缺陷處等效接觸剛度時考慮熱變形是非常有必要的。

3.3.3 缺陷尺寸對接觸剛度的影響

為研究軸向、環(huán)向角度對軸承等效接觸剛度的影響，考慮熱變形后，分別取軸向固定、環(huán)向改變和環(huán)向固定、軸向改變兩種情況計算得出如圖12所示缺陷區(qū)域的等效接觸剛度。

圖12 缺陷區(qū)域等效接觸剛度Fig.12 Equivalent contact stiffness of defect area

從圖12可知，當(dāng)滾動體進入缺陷區(qū)域時其等效接觸剛度降低而后滾出缺陷區(qū)域時逐漸恢復(fù)。當(dāng)固定環(huán)向角度為1°改變軸向角度為10°，20°，30°時，可看出隨著軸向角度的增大，當(dāng)滾動體滾入缺陷后其等效接觸剛度逐漸減小。這是因為當(dāng)缺陷區(qū)域軸向角度為10°和20°時滾動體未接觸到缺陷底部，軸承仍具備承載能力，當(dāng)軸向角度為30°時滾動體陷入缺陷底部，等效接觸剛度降為零。當(dāng)固定軸向角度為30°時，改變環(huán)向角度為1°，2°，3°，可看出隨著缺陷區(qū)域環(huán)向角度的改變，軸承等效接觸剛度變化趨勢并未改變，只是隨著環(huán)向角度的增大，滾動體滾入缺陷的位置角發(fā)生改變。因此通過對比可以得出：滾動體軸向接觸角度相比于環(huán)向角度而言很大程度上決定了滾動體在缺陷處的等效接觸剛度。此外，本文計算所得缺陷區(qū)域等效剛度變化趨勢與文獻[23]中變化趨勢一致，再次驗證了本文時變剛度模型的正確性。

4 結(jié) 論

本文建立了考慮熱效應(yīng)且外滾道具有局部缺陷的角接觸球軸承的擬靜力學(xué)模型和接觸剛度模型，研究了熱效應(yīng)、高速效應(yīng)、缺陷輪廓對角接觸球軸承動態(tài)特性的影響得到如下結(jié)論：

(1) 滾動體滾入缺陷的邊緣是平滑的曲線而不是直角。因此，滾動體不是直接落入缺陷底部，滾動體經(jīng)過缺陷區(qū)域過程中，其接觸變形的獲得與釋放是一個漸變的過程。同時可以看出，缺陷的環(huán)向跨度角與軸向跨度角相比，缺陷的軸向跨度角在很大程度上決定了滾動體與滾道的接觸缺陷深度。

(2) 考慮熱變形后局部缺陷對軸承內(nèi)部載荷分布的影響大于未考慮熱變形的影響。軸向角度決定滾動體陷入缺陷的深度、等效接觸剛度從而影響軸承內(nèi)部載荷。環(huán)向角度決定陷入缺陷的滾動體數(shù)量從而影響軸承內(nèi)部的接觸載荷。

(3) 考慮熱變形后缺陷處剛度的初始值更高，進入缺陷后等效接觸剛度下降速率更快。將熱變形代入等效接觸剛度計算可以得出軸向接觸角度很大程度決定了滾動體在缺陷處的等效接觸剛度。