王皎悅 王垚廷 杜 雯

（西安工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院，陜西 西安 710021）

0 引言

角錐棱鏡是由3個相互垂直的平面鏡拼接而成的光學(xué)元件，它可將任意角度入射的光線沿原光路反向平行射出，且光線在棱鏡內(nèi)部的光程為一常量，通常其可作為全反鏡［1-2］。角錐棱鏡因其整體結(jié)構(gòu)特殊，且具有較強的抗失調(diào)特性，被廣泛應(yīng)用于激光通信、激光測量、光學(xué)變換等光學(xué)儀器中［3］。角錐棱鏡對光線的偏振態(tài)也有一定影響，當(dāng)偏振光垂直入射到角錐棱鏡的有效入射面時，出射光會產(chǎn)生不同于入射光的偏振態(tài)［4］。可用瓊斯矩陣來描述光線的傳播過程，進而對角錐棱鏡的偏振特性進行研究［5］。本研究成果對角錐棱鏡環(huán)形腔激光器的設(shè)計和測量工作有著十分重要的作用。

1 角錐棱鏡的光學(xué)性質(zhì)

角錐棱鏡OABC的結(jié)構(gòu)如圖1所示，等邊三角形ABC為角錐棱鏡的底面，三個等腰直角三角形AOB、BOC、AOC為角錐棱鏡的內(nèi)反射面，分別位于xoy、yoz、xoz平面內(nèi)。光線從角錐棱鏡底面ABC上的S點入射后，經(jīng)AOB、BOC、AOC上的S1、S2、S3點全反射后，從底面ABC上的S'點射出，設(shè)OA=OB=OC=a，頂點坐標(biāo)分別為A（a，0，0）、B（0，a，0）、C（0，0，a）。

圖1 角錐棱鏡內(nèi)部光線追跡矢量圖

設(shè)N1、N2、N3、N4分別為BOC平面、AOC平面、AOB平面、ABC平面的法向量，用i、j、k分別表示x、y、z軸負(fù)方向的單位向量。

BOC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（1）。

AOC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（2）。

AOB平面的平面方程及其單位法向量方程見式（3）。

ABC平面的平面方程及其單位法向量方程見式（4）和式（5）。

角錐棱鏡的空間方程，見式（6）。

設(shè)A1、A2、A3、A4分別為SS1、S1S2、S2S3、S3S'光線的方向矢量，則從底面ABC入射到AOB平面上的光矢量A1的計算公式見式（7）。

式中：l、m、n分別為SS1光線在x、y、z軸上的投影長度。入射到AOB平面上的光線反射情況如圖2所示，k為AOB平面上的法線，根據(jù)幾何關(guān)系可得式（8）。

圖2 AOB平面反射矢量圖

則從AOB平面射向BOC平面的S1S2光線矢量A2的計算公式見式（9）。

從BOC平面射向AOC平面的S2S3光線矢量A3的計算公式見式（10）。

從AOC平面射向ABC平面的S3S'光線矢量A4的計算公式見式（11）。

式（8）與式（11）點積可得式（12）。

由式（12）可知，矢量A1與矢量A4的方向相反，也就是說，入射到角錐棱鏡底面的光線與通過其內(nèi)部反射后的出射光線是反向平行的。由此可知，角錐棱鏡的位置對出入射光線的方向不會產(chǎn)生影響。

2 角錐棱鏡入射和反射光線之間的坐標(biāo)變化

以光線垂直入射到角錐棱鏡底面上的情況為例，將角錐棱鏡置于立方體中來研究光線的傳輸情況，如圖3所示，ABCDEFGH為立方體，AIJK為角錐棱鏡。光線沿GA方向入射到角錐棱鏡底面IJK上，在立方體中建立xyz坐標(biāo)系，假設(shè)光線沿GA入射的方向為z軸、BD方向為y軸，xyz軸符合右手定則。光線在角錐棱鏡的3個內(nèi)表面來回反射，為了便于研究，同時建立描述光線偏振態(tài)的spk局部坐標(biāo)系，以光線入射方向為矢量k的方向，垂直于入射面方向為矢量s的方向，spk矢量符合右手定則。

光線反射到每個面上都會產(chǎn)生一個新的spk坐標(biāo)系，新的坐標(biāo)系是經(jīng)舊的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)得到的。當(dāng)迎著光線傳播方向繞k軸順時針旋轉(zhuǎn)時，角度為負(fù)值；繞k軸逆時針旋轉(zhuǎn)時，角度為正值。

光線沿GA方向入射到IJK平面時（見圖3），立方體A（Cube A）表示光線第一次入射，令局部坐標(biāo)系的矢量k為入射光線GA的方向、矢量s為BD的方向。

圖3 立方體光線入射圖

當(dāng)光線通過IJK平面折射后，傳播方向不變，此時仍沿GA方向入射到ABCD平面上，AE為ABCD平面的法線，因此AEGC為第一入射面，局部坐標(biāo)系沒有發(fā)生變化，令k1、s1為光線第一次入射時在spk坐標(biāo)系中的矢量方向，矢量k1為入射光線GA的方向，矢量s1為BD方向，因此局部坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度為0°。設(shè)正立方體ABCDEFGH每個邊的長度為單位長度，如圖4所示，對角邊AC、EG長度為2，入射角∠GAE=α，二者的關(guān)系見式（13）。

圖4 AEGC平面上的入射角

入射到ABCD平面上的光被反射后，沿C'E'方向繼續(xù)傳播，立方體B（Cube B）表示第一次反射，此時令k2、s2為光線第二次入射時spk坐標(biāo)系的矢量方向，矢量k2為光線入射到第二個平面C'E'的方向，矢量s2為F'A'方向，如圖5所示。此時，出射光線C'E'的瓊斯矢量為JR(0°)Ein。

圖5 第一次反射的坐標(biāo)變換圖

沿C'E'方向的光線入射到A'B'F'E'平面上，E'H'為A'B'F'E'平面的法線，因此第二入射平面為E'H'C'B'。此時，局部坐標(biāo)系的矢量k2仍為C'E'的方向、矢量s2變?yōu)镕'A'的方向。A'B'F'E'平面入射光線局部坐標(biāo)矢量是由ABCD平面出射光線局部坐標(biāo)矢量逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的。入射到A'B'F'E'平面的光線被反射后，沿B''H''方向繼續(xù)傳播，立方體C（Cube C）表示第二次反射，此時令k3、s3為光線第三次入射時spk坐標(biāo)系中的矢量方向，k3變?yōu)楣饩€入射到第三個平面的B''H''方向，矢量s2仍為F'A'方向，如圖6所示。此時，出射光線B''H''的瓊斯矢量為JR(60°)JR(0°)Ein。

圖6 第二次反射的坐標(biāo)變換圖

從A'B'F'E'平面反射后的光線沿B''H''方向再射入A''D''H''E''平面上，與光線入射到前兩個平面上的傳播情況相同。立方體D（Cube D）表示第三次反射，如圖7所示，此時出射光線A'''G'''的瓊斯矢量為JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

圖7 第三次反射的坐標(biāo)變換圖

從A''D''H''E''平面反射后的光線沿A'''G'''方向再入射到IJK平面上，此時要將A''D''H''E''平面出射光的局部坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)60°才能與原坐標(biāo)系重合，如圖8所示。此時，通過角錐棱鏡3個內(nèi)表面反射后出射光線瓊斯矢量為R(60°)JR(-60°)JR(60°)JR(0°)Ein。

圖8 出入射光線局部坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)圖

光線進入角錐棱鏡后的整個反射過程可用4個連續(xù)的立方體來表示，如圖9所示。

圖9 立方體內(nèi)光線完整傳播路徑圖

由圖9可以看出，出射光線與入射光線是反向平行的，并且其偏振狀態(tài)發(fā)生改變。

3 角錐棱鏡的偏振特性

光線在角錐棱鏡中按照AIJ-AIK-AJK的順序依次反射，用1、2、3分別表示這三個平面，則經(jīng)過此過程出射光線的瓊斯矩陣見式（14）。

由于光線可從任何一個平面開始反射，且反射順序可按照順時針和逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，因此按照上述過程，從角錐棱鏡底面入射的光線共有6種傳播路徑，可將角錐棱鏡底面劃分為6個區(qū)域，如圖10所示。每個區(qū)域的入射光線代表一種傳播路徑，則每條傳播路徑所對應(yīng)的瓊斯矩陣見式（15）。

圖10 角錐棱鏡底面入射區(qū)域圖

在角錐棱鏡中，內(nèi)表面的反射瓊斯矩陣可以寫成式（16）。

式中：RP、RS為對角線反射系數(shù)，在全內(nèi)反射情況下||RP= ||RS=1，δp、δS為反射的相位躍遷函數(shù)，僅由折射率n與入射角α決定，i為3個反射面。為了便于計算，可將式（16）用復(fù)反射系數(shù)rp和rs來表示，見式（17）。

以光線在角錐棱鏡中按AIK-AIJ-AJK的傳播路徑為例，整個過程中的瓊斯矩陣見式（20）。

將反射矩陣與旋轉(zhuǎn)矩陣帶入（20）式，可得式（22）。

為了簡單描述，式（22）可表示為式（23）。

由于角錐棱鏡內(nèi)部的光學(xué)表面性質(zhì)相同，且光線由棱鏡底面IJK垂直入射，因此棱鏡三個內(nèi)表面反射系數(shù)rp1=rp2=rp3=rp、rs1=rs2=rs3=rs，則可計算出式（23）瓊斯矩陣中的各個元素，見式（24）。

同理，可計算出其余5種傳播路徑瓊斯矩陣中的各個元素，結(jié)果如表1所示。

當(dāng)光線以54.736°的角度入射到折射率為1.515的角錐棱鏡中，光線在3個內(nèi)表面發(fā)生全反射?？捎嬎愠鰎p和rs，見式（25）（26）。

將式（25）（26）帶入式（24）中，再利用方程組可計算出瓊斯矩陣中的元素，見式（27）。

由此可得，光線以AIK-AIJ-AJK路徑傳播時的瓊斯矩陣見式（28）。

按照同樣的方法計算出其余五種傳播路徑的瓊斯矩陣，結(jié)果如表2所示。

通過分析式（24）和表1可知，瓊斯矩陣J213和J312中的元素J11、J12、J21、J22同時存在rp3和rs3項，此時入射光經(jīng)角錐棱鏡反射后的偏振狀態(tài)沒有發(fā)生變化，而其余4種路徑瓊斯矩陣中的元素缺少rp3或任意一項，此時入射光經(jīng)角錐棱鏡反射后的偏振狀態(tài)發(fā)生變化。通過分析式（28）與表2可得，線偏振光沿AJK-AIJ-AIK和AIK-AIJ-AJK這兩條路徑在角錐棱鏡內(nèi)表面反射后，出射光仍為線偏振光。當(dāng)線偏振光沿其余4種路徑在角錐棱鏡內(nèi)表面反射后，入射光的偏振狀態(tài)發(fā)生變化，此時出射光為橢圓偏振光。

表1 其余五種傳播路徑瓊斯矩陣中各元素

表2 其余五種傳播路徑的瓊斯矩陣

4 結(jié)語

筆者通過對角錐棱鏡光學(xué)特性和偏振特性進行研究，得出角錐棱鏡中出入射光線反向平行這一光學(xué)特性。通過立方體光線追跡法得到6種描述光線偏振特性的瓊斯矩陣。通過計算6種路徑的瓊斯矩陣得出角錐棱鏡內(nèi)部存在2條特殊的傳播路徑，當(dāng)線偏振光沿此路徑傳播后，出射光仍為線偏振光，沿其他路徑傳播后，出射光變?yōu)闄E圓偏振光。由于角錐棱鏡具有良好的光學(xué)特性和豐富的偏振特性，其對環(huán)形腔乃至激光器的設(shè)計具有很大的幫助。