張召輝, 廖群英

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 序言及主要結(jié)果

鑒于對合多項(xiàng)式的重要性,目前已經(jīng)有一部分關(guān)于對合多項(xiàng)式的研究.Charpin等[7]在討論偶特征域上的Dickson多項(xiàng)式時,開啟了關(guān)于對合多項(xiàng)式顯性表達(dá)式及其不動點(diǎn)的研究.自此,人們開始關(guān)注這個問題:Charpin等[8]討論了偶特征域上的對合單項(xiàng)式個數(shù)以及線性對合多項(xiàng)式;Castro等[9]給出Fq上的單項(xiàng)式在Fq上對合的充要條件,以及具有特定個數(shù)不動點(diǎn)的單項(xiàng)式在Fq上對合的充要條件;Fu等[10]證明了目前已知的四差分一致置換多項(xiàng)式中,大部分都不是對合多項(xiàng)式;Zheng等[11]利用分圓多項(xiàng)式的思想給出一類特殊形式的多項(xiàng)式是對合的充要條件;Niu等[12]基于AGW準(zhǔn)則給出另一類特殊形式的多項(xiàng)式是對合的充要條件;張召輝等[13]通過討論有限域上兩個對合多項(xiàng)式的不動點(diǎn)集合與非不動點(diǎn)集合之間的關(guān)系,給出了兩個對合多項(xiàng)式復(fù)合后仍然對合的充要條件等.

本文基于文獻(xiàn)[13]給出的充要條件,在給定對合多項(xiàng)式f(x)∈Fq[x]的情況下,對任意g(x)∈Fq[x],通過討論f(x)與g(x)不動點(diǎn)集合與非不動點(diǎn)集合之間的交集合,確定了使得復(fù)合函數(shù)f°g(x)和g(x)均對合的g(x)的計數(shù)公式.

為方便,記Af表示多項(xiàng)式f(x)∈Fq[x]在Fq中的不動點(diǎn)集合.

引理 1.1[12]設(shè)f(x)∈Fq[x]為Fq上的對合多項(xiàng)式,|Af|=n(n∈N),則q-n為偶數(shù).特別地,當(dāng)q為奇數(shù)時,|Af|≤1.

由引理1.1可知,如果f(x)∈Fq[x]為對合多項(xiàng)式,則|Fq-Af|為偶數(shù),不妨設(shè)為

|Fq-Af|=2h,h∈N,

而Fq-Af為f(x)在Fq上的非不動點(diǎn)集合,故可設(shè)βi=f(αi)(i=1,2,…,h),并以(αi:βi)(i=1,2,…,h)表示2-輪換(即對換).

對Fq中的對合多項(xiàng)式f(x),記

Bf={(α1:β1),…,(αh:βh)};

Mf={g(x)∈Fq[x]|g(x),f°g(x)均為Fq上的對合多項(xiàng)式,|Af∩Ag|=|Af|,Bf?Bg};

引理 1.2[13]設(shè)f1(x),f2(x)∈Fq[x]為Fq上的對合多項(xiàng)式,則f1°f2(x)為Fq上的對合多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)對任意x∈Af1,有f2(x)∈Af1,并且對(x:f1(x))∈Bf1,以下條件之一成立:

1)x,f1(x)∈Af2;

2) (x:f1(x))∈Bf2;

3) 存在(x1:x2)∈Bf1,使得(x1:x2)≠(x:f1(x)),且(x:x1),(f1(x):x2)∈Bf2.

本文利用上述充要條件,通過討論Fq上兩個對合多項(xiàng)式f(x)與g(x)的不動點(diǎn)集合與非不動點(diǎn)集合之間的交集合,確定了一類特殊的對合多項(xiàng)式的計數(shù)公式,即證明了如下主要結(jié)果.

定理 1.3設(shè)f(x)∈Fq[x]為Fq上的對合多項(xiàng)式,|Af|=n(n∈N),則:

1)Mf={f(x)},即|Mf|=1;

3)

其中

2 主要結(jié)果的證明

證明定理1.3.

任取g(x)∈Mf,由Bf?Bg可知

|Bf∩Bg|=|B

即Ag?Af.

因?yàn)間(x)∈Mf,所以|Af∩Ag|=|Af|,但是Ag?Af,從而|Af|=|Ag|=n,即Af=Ag.

所以，由Af=Ag,Bf=Bg，可知g(x)=f(x),即Mf={f(x)},|Mf|=1.

注意到Bf?Bg,所以Ag?Af,從而

m=|Af∩Ag|=|Ag|.

因?yàn)閒(x)、g(x)和f°g(x)均為Fq上的對合多項(xiàng)式,所以由引理1.2可知，對任意x∈Af,有g(shù)(x)∈Af.下面對任意x0∈Af,分以下兩種情形討論.

情形 1 當(dāng)x0∈Ag時,有g(shù)(x0)=x0∈Ag?Af.

情形 2 當(dāng)x0∈Af-Ag時,由x0?Ag可知g(x0)≠x0.

若g(x0)∈Ag,由g(x0)為Fq上的對合多項(xiàng)式及對合多項(xiàng)式的定義,易得x0∈Ag,此與x0?Ag矛盾,故g(x0)?Ag,即g(x0)∈Af-Ag-{x0}.

|Af∩Ag|=m, 0≤m≤n,

|Bf∩Bg|=j.

對于任意x0∈Ag,有情形3和4.

情形 3 當(dāng)x0∈Af時,有x0∈Af∩Ag.

情形 4 當(dāng)x0∈Fq-Af時,有(x0:f(x0))∈Bf.又x0∈Ag,故由引理1.2中1)可知f(x0)∈Ag.

又Bf中有i個2-輪換滿足引理1.2中的1),|Af|=n,且|Af∩Ag|=m(0≤m≤n),故

|Ag|=m+2i.

再由引理1.1可知q-m-2i和q-n均為偶數(shù),從而n、m與q同奇偶.

對于x0∈Fq-Ag,可知g(x0)≠x0,(x0:g(x0))∈Bg.有情形5和6.

情形 5 當(dāng)f(x0)=x0時,有x0∈Af,因?yàn)閤0∈Fq-Ag,所以x0∈Af-Ag,又因?yàn)閒°g(x)為Fq上的對合多項(xiàng)式,所以由引理1.2可知g(x0)∈Af,而g(x0)≠x0,故g(x0)∈Af-Ag-{x0}.

情形 6 當(dāng)f(x0)≠x0時,有(x0:f(x0))∈Bf.

(Ⅰ) 若(x0:f(x0))=(x0:g(x0)),則f(x0)=g(x0),從而(x0:f(x0))∈Bf∩Bg.

(Ⅱ) 若(x0:f(x0))≠(x0:g(x0)),因?yàn)閒°g(x)為Fq上的對合多項(xiàng)式,所以,由引理1.2可知,存在(x1:x2)∈Bf,使得(x1:x2)≠(x0:f(x0)),且(x0:x1),(f(x0):x2)∈Bg.

又Bf中有2k個2-輪換滿足引理1.2中的條件3),故

|B

|Af|=n,n∈N, |Af∩Ag|=m,

0≤m≤n, |Bf∩Bg|=j,

且Bf中有i個2-輪換滿足引理1.2中1),2k個2-輪換滿足3),則滿足條件的g(x)的個數(shù)為:

事實(shí)上,不妨設(shè)

Af={al1,al2,…,alm,alm+1,…aln},

B1={(b1:f(b1)),(b2:f(b2)),…,(bi:f(bi))},

B2={(d1,1:f(d1,1),(d2,1,f(d2,1),…,

(dk,1:f(dk,1)}(當(dāng)k=0時,B2=?),

B3={(d1,2:f(d1,2)),(d2,2:f(d2,2)),…,

(dk,2:f(dk,2))}(當(dāng)k=0時,B3=?),

B4={(c1:f(c1)),(c2:f(c2)),…,(cj:f(cj))},

B當(dāng)k=0時,B

B5={(alm+e:aln+1-e)|1≤e≤n-m-1}

(當(dāng)n=m時,B5=?).

由拉格朗日插值公式可知,存在Fq上的對合多項(xiàng)式g(x),使得

Ag={al1,al2,…,alm,b1,f(b1),b2,f(b2),…,bi,f(bi)},

B

且

|Af∩Ag|=m, 0≤m≤n,

|Bf∩Bg|=j.

于是,對任意x∈Af,有g(shù)(x)∈Af,并且對(x:f(x))∈Bf,以下條件之一成立:

1)x,f(x)∈Ag;

2) (x:f(x))∈Bg;

3) 存在(x1:x2)∈Bf,使得(x1:x2)≠(x:f(x)),滿足(x:x1),(f(x):x2)∈Bg.

從而,由引理1.2可知f°g(x)為對合多項(xiàng)式.所以,若f(x)∈Fq[x]為Fq上的對合多項(xiàng)式,|Af|=n,n∈N,則

其中

3 應(yīng)用舉例

本節(jié)通過實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證定理1.3.例3.1是對應(yīng)于定理1.3中2)的例子,例3.2是對應(yīng)于定理1.3中3)的例子.首先通過枚舉法得出F7上的所有對合多項(xiàng)式的真值表,然后通過MATLAB利用拉格朗日插值公式得出每個真值表對應(yīng)的多項(xiàng)式形式,其結(jié)果如附錄表1～8所示.

例 3.1取f(x)=x5-x4+x3-x2+2x-1∈F7[x],則f(x)的真值表如下.

x0123-3-2-1f(x)-1123-3-20

由真值表可知:f(x)為F7上的對合多項(xiàng)式,且

Af={1,2,3,-3,-2},

Bf={(0:-1)}.

一方面,若g(x)為F7上的對合多項(xiàng)式,由定理1.3的2)可知

通過枚舉法將所有結(jié)果羅列出來后,再利用拉格朗日插值公式得到這些g(x),如附錄表9所示,共25個.

另一方面,F7上的所有對合多項(xiàng)式如附錄表1～8所示.經(jīng)一一驗(yàn)證可知,僅有表9中的對合多項(xiàng)式與f(x)復(fù)合后仍為對合多項(xiàng)式.

例 3.2取f(x)=x5∈F7[x],則f(x)的真值表如下.

x0123-3-2-1f(x)01-3-223-1

由真值表可知:f(x)為F7上的對合多項(xiàng)式,且

Af={0,1,-1},

Bf={(2:-3),(3:-2)}.

一方面,若g(x)為F7上的對合多項(xiàng)式,則由定理1.3中的3)可知

通過枚舉法將所有結(jié)果羅列出來后,再利用拉格朗日插值公式得到這些g(x),如附錄表10所示,共24個.

另一方面,F7上的所有對合多項(xiàng)式如附錄表1～8所示.經(jīng)一一驗(yàn)證可知,僅有表10中的對合多項(xiàng)式與f(x)復(fù)合后仍為對合多項(xiàng)式.