馮 謠， 武吉梅， 邵明月

(1.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 陜西 西安 710048；3.浙江交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車學(xué)院， 浙江 杭州 311112)

柔性電子薄膜因其“薄”、“柔”的優(yōu)良特性而被廣泛應(yīng)用于各類電子產(chǎn)品中，伴隨著中國經(jīng)濟的發(fā)展，柔性電子薄膜的需求量逐年加大。在柔性電子薄膜的印刷過程中，烘干機會對其進行加熱烘干，而溫度變化會影響柔性電子薄膜的振動特性，造成高速運動的柔性電子薄膜劇烈抖動，影響柔性電子薄膜的套印質(zhì)量。因此，研究熱彈耦合作用下運動柔性電子薄膜的振動特性，得到不同參數(shù)下受溫度影響的柔性電子薄膜的振動規(guī)律，對柔性電子薄膜印刷機的設(shè)計、制造以及穩(wěn)定性分析具有重要意義。

目前，很多學(xué)者研究了熱彈耦合作用下運動梁、板、扇形板的振動特性，但對熱彈耦合作用下運動薄膜的振動穩(wěn)定性研究較少。Lin等[1]采用非線性板方程，描述了橫向荷載作用下具有小彎曲剛度的寬幅軸向移動腹板的運動，該模型可以模擬紙或塑料板。Jiang等[2]使用解析解方法，研究了軸向熱應(yīng)力作用下非局部Euler梁的自由振動。Saksa等[3]采用線性Kirchhoff板理論，用復(fù)變函數(shù)法分析了正交各向異性薄板的軸向運動。Saini等[4]在經(jīng)典Kirchhoff板理論基礎(chǔ)上，利用Hamilton原理得到了熱彈性平衡和振動控制方程以及前三階模態(tài)的熱位移和頻率。Xin等[5]建立了一個考慮兩種典型梯度熱環(huán)境的簡支板，采用模態(tài)分解法求解熱聲響應(yīng)控制方程。Yang等[6]利用Hamilton原理建立了隨從力作用下扇形板熱彈耦合微分方程，使用微分求積法得到了扇形板前三階的無量綱復(fù)頻率。Wu和 Shao等[7-8]基于Von Karman大撓度理論建立了運動薄膜非線性強迫振動方程組，研究了薄膜無耦合工況的振動。Dan等[9]開發(fā)了MATLAB非線性有限元程序，用于預(yù)測柔性電子薄膜運行過程中的溫度場和應(yīng)力場。Lee等[10]通過考慮輥對輥系統(tǒng)干燥過程中溫度波動引起的熱應(yīng)變，擴展了Shin提出的運動板張力數(shù)學(xué)模型，提出了一種新的基于擴展模型的控制方案，以消除干燥過程中由于熱應(yīng)變引起的張力擾動。Li等[11]研究了功能梯度夾層板在熱載荷作用下的彎曲響應(yīng)，得到了體積分數(shù)、幾何參數(shù)和熱載荷對功能梯度夾層板的撓度的影響。文獻[12]利用微分求積法研究了梯度多孔圓板的熱振動特性，得到了空隙分布模式、空隙率系數(shù)、溫升等因素對固有頻率的影響。Mirtalaie[13]使用微分求積法研究了功能梯度扇形薄板在熱環(huán)境中的自由振動特性，得到了溫度場、體積分數(shù)、半徑比和扇形角對功能梯度扇形薄板自由振動的影響。Zhao等[14]研究了軸向運動微納梁的熱彈耦合強迫振動，發(fā)現(xiàn)軸向運動微納梁的固有頻率隨軸向速度、小尺度參數(shù)和高長比的增大而減小。

綜上，上述文獻鮮見對熱載荷作用下運動矩形薄膜橫向振動特性的研究。因此，本文將建立考慮溫度作用的運動薄膜橫向振動的動力學(xué)方程，使用微分求積法對該動力學(xué)方程進行離散化處理，并分析熱彈耦合作用下運動薄膜的振動特性。

1 振動模型的建立

圖1為對邊張力作用下熱彈耦合振動柔性電子薄膜的動力學(xué)模型。圖中v為縱向移動速度，a、b為印刷機構(gòu)導(dǎo)向輥之間柔性電子薄膜的長度和寬度，柔性電子薄膜高為h，密度為ρ，彈性模量為Ε，泊松比為μ，柔性電子薄膜線膨脹系數(shù)為αT，設(shè)橫向振動位移為w(x,y,t)，Tx與Ty為單位長度張力，T0為柔性電子薄膜的初始溫度，假設(shè)柔性電子薄膜溫度變化為T=T(x,y,z,t)。

根據(jù)Hamilton原理，熱彈耦合薄板的振動方程為：

(1)

如圖2所示，取柔性電子薄膜的一個微元體dxdy進行分析，柔性電子薄膜變形后的等效合力為：

(2)

(3)

根據(jù)D’Alembert原理，含有對邊張力作用的柔性電子薄膜的熱彈耦合振動方程為：

(4)

(5)

式(4)中變量MT含有溫度T，式(5)中含有撓度w，得到方程組：

(6)

(7)

將下列量無量綱化：

并代入式(6)、(7)得到其無量綱化的形式：

(8)

(9)

其中，

設(shè)式(8)、(9)的解為：

(10)

將式(10)代入式(8)、(9)，得到無量綱化的運動柔性電子薄膜的振動微分方程：

(11)

(12)

對式(12)進行求解，得：

(13)

其中，c1，c2為待定系數(shù)。將式(13)代入式(11)，化簡得：

(14)

柔性電子薄膜在運動的過程中，四周有滾軸和毛刷的支撐，因此其邊界條件可簡化為四邊簡支：

(15)

2 方程求解

使用微分求積法對式(14)進行離散，得到復(fù)特征值方程：

(16)

運動薄膜的邊界條件為：

(17)

將式(16)、(17)合并成矩陣形式，得到運動柔性薄膜熱彈耦合振動的特征方程：

|ω2R+ωG+K|=0

(18)

式中：R為單位矩陣；G、K為包含長寬比的熱彈耦合系數(shù)的矩陣。

3 數(shù)值分析

以陜西北人FR400ELS精密涂布機為例，分析不同熱彈耦合系數(shù)?、張力比k對運動薄膜振動特性的影響。凹版印刷機的基本參數(shù)如表1所示。

表1 陜西北人FR400ELS凹版印刷機的基本參數(shù)

為驗證微分求積法應(yīng)用于本例的有效性，令?=0，此時式(14)退化為無熱風(fēng)作用的薄膜橫向振動方程，設(shè)節(jié)點數(shù)N=11，分別求出長寬比r0=1.0、r0=2.0時的運動薄膜的復(fù)模態(tài)，并將此復(fù)模態(tài)與文獻[15]進行對比，結(jié)果如表2所示。

表2 本文解與文獻[15]解析解的對比(?=0,k=0.2,c=0.164)

由表2可知，微分求積法得到的結(jié)果與文獻[15]解析解得到的結(jié)果有很好的一致性，說明可以使用此方法研究運動薄膜的熱彈耦合振動特性。

3.1 熱彈耦合系數(shù)對柔性電子薄膜振動的影響

圖3給出了r0=1.0，k=1.0，?=0.1時，柔性電子薄膜運動的復(fù)模態(tài)隨無量綱速度c的關(guān)系曲線。當(dāng)c<2.505時，前三階復(fù)模態(tài)的實部為實數(shù)，虛部為0；當(dāng)2.505≤c≤2.705時，第一階模態(tài)的實部為0，虛部向兩邊發(fā)散，說明運動柔性電子薄膜此時發(fā)散失穩(wěn)，這時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)c=2.904時，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)發(fā)生耦合，此時柔性電子薄膜運動系統(tǒng)發(fā)生耦合顫振。

圖4給出了r0=1.0，k=1.0，?=0.3時，柔性電子薄膜運動的復(fù)模態(tài)隨無量綱速度c的關(guān)系曲線。與圖3相比，當(dāng)c<3.802時，運動薄膜前三階復(fù)模態(tài)的實部增大，說明隨著熱彈耦合系數(shù)的增加，運動薄膜處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的區(qū)間增大；當(dāng)3.802≤c≤4.401時，運動薄膜處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)4.401≤c時，系統(tǒng)重新恢復(fù)穩(wěn)定；當(dāng)c=4.706時，前兩階模態(tài)發(fā)生耦合，此時運動柔性電子薄膜發(fā)生耦合顫振。比較圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著熱彈耦合系數(shù)的增加，運動薄膜的前三階復(fù)頻率增大，且第一階復(fù)頻率的臨界速度同時增加。

3.2 張力比對柔性電子薄膜振動的影響

圖5和圖6給出了r0=1.0，?=0.3，k分別取0.5和1.0時，運動薄膜前三階復(fù)模態(tài)與無量綱速度c之間的關(guān)系曲線。由圖5可以看出，當(dāng)c<3.702時，第一階模態(tài)的實部為實數(shù)，運動薄膜處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)；當(dāng)3.702≤c≤4.401時，第一階模態(tài)的實部為0，虛部向兩邊發(fā)散；當(dāng)c=4.700時，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)耦合。

圖6給出了張力比k增加到1.0時，運動薄膜前三階復(fù)模態(tài)與無量綱速度c之間的關(guān)系曲線。當(dāng)張力比k增加時，第一階模態(tài)的實部處于穩(wěn)定工作狀態(tài)的區(qū)間增大。當(dāng)3.802≤c≤4.401時，運動薄膜處于不穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)c=4.700時，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)耦合?？梢?，張力比的增加會使薄膜穩(wěn)定工作的區(qū)間增加。

4 結(jié) 論

本文研究了運動柔性電子薄膜熱彈耦合振動下的振動特性?；贒’Alembert原理構(gòu)造了熱風(fēng)作用下的運動薄膜振動方程，使用微分求積法進行求解，并分析了運動薄膜前三階復(fù)模態(tài)與各參數(shù)之間的關(guān)系曲線。

1) 當(dāng)熱彈耦合系數(shù)?=0時，動力學(xué)模型退化為不含熱風(fēng)作用的振動方程，將本文解的前三階復(fù)頻率與文獻解析解的前三階復(fù)頻率進行對比，驗證了微分求積法的有效性。

2) 運動薄膜在烘干機的熱風(fēng)作用下會產(chǎn)生耦合振動，當(dāng)其他參數(shù)不變時，增大熱彈耦合系數(shù)，運動薄膜的前三階復(fù)頻率會增大，同時，第一階模態(tài)與第二階模態(tài)將產(chǎn)生耦合共振，此時運動薄膜會發(fā)生褶皺、裂紋甚至斷裂，因此，需要控制精密涂布機的烘箱溫度，以避免耦合顫振的發(fā)生。

3) 當(dāng)其他參數(shù)不變，張力比k由0.5增大到1.0時，運動薄膜第一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)時的臨界速度增大，表明適當(dāng)增加運動薄膜的張力比，能使運動薄膜穩(wěn)定工作的區(qū)間增大。