趙聰聰，劉玉梅，趙穎慧，白 楊，施繼紅

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院,長春 130118；2.吉林大學(xué) 交通學(xué)院,長春 130022；3.一汽研發(fā)總院 智能網(wǎng)聯(lián)開發(fā)院,長春 130011；4.一汽大眾汽車有限公司 技術(shù)開發(fā)部,長春 130011)

軸承是機(jī)械系統(tǒng)重要的零件之一，其運(yùn)行狀態(tài)和使用壽命直接影響機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)行可靠性[1]。軸承性能退化評估與故障診斷也一直是機(jī)械故障診斷領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。軸承實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)受多種因素的影響，若能建立有效的性能退化評估模型，構(gòu)建狀態(tài)參數(shù)與軸承性能退化之間的映射關(guān)系，則可實(shí)現(xiàn)對軸承性能退化程度的實(shí)時(shí)評估。這對提高軸承的運(yùn)行安全性和機(jī)械系統(tǒng)的工作可靠性均具有重要意義[2]。

軸承性能退化評估涉及兩方面內(nèi)容，即軸承狀態(tài)參數(shù)的提取和性能退化評估模型的構(gòu)建。目前，在軸承性能退化評估和故障診斷領(lǐng)域，大多以軸承垂向振動信號為研究對象，忽略了其他方向的振動信息以及不同方向振動信息之間的關(guān)聯(lián)性，導(dǎo)致所提取的特征無法全面反應(yīng)軸承的運(yùn)行狀態(tài)。隨著非線性科學(xué)理論的發(fā)展，許多非線性動力學(xué)方法如樣本熵、近似熵、模糊熵、多尺度熵等被廣泛應(yīng)用于機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，并取得了較好效果[3]。但上述熵為單變量分析方法，不能描述不同方向振動信息之間的關(guān)聯(lián)性。Ahmed等[4]將多元樣本熵的概念拓展到多尺度，提出了多元多尺度樣本熵(Multivariate Multi-Scale Entropy，MMSE)，以從復(fù)雜性、互預(yù)測性和長時(shí)相關(guān)性的角度來描述多通道時(shí)間序列的動態(tài)相關(guān)關(guān)系[5]。MMSE自提出以來，就在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

為實(shí)現(xiàn)對軸承性能退化程度的分析，需構(gòu)建定量評估模型[6]。退化評估模型包括概率模型和距離模型，前者如高斯混合模型、隱馬爾可夫模型等，后者如支持向量機(jī)、支持向量描述及聚類算法等。k-medoids算法作為聚類分析方法的一種，改進(jìn)了k-means算法初始中心點(diǎn)可能取到非樣本點(diǎn)的缺陷，提高了k-means算法的聚類效果。Rai等[7]將EMD分解與k-medoids聚類算法相結(jié)合，利用無故障樣本和失效樣本建立聚類模型，實(shí)現(xiàn)了對軸承性能退化的有效評估。利用k-medoids算法對樣本進(jìn)行聚類可以得到聚類中心，但需進(jìn)一步根據(jù)樣本與聚類中心的距離來定量分析軸承的性能退化程度。為此，將可拓學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)的概念引入到軸承性能退化模型的構(gòu)建，使用可拓關(guān)聯(lián)度實(shí)現(xiàn)對軸承性能退化程度的定量評估。

基于上述分析，本文提出了一種結(jié)合多元多尺度熵、k-medoids算法和可拓學(xué)理論的軸承性能退化評估方法。以多尺度模糊熵為基礎(chǔ)，利用軸承多向振動信號構(gòu)建多元變量，提取多元多尺度模糊熵(multivariate multi-scale fuzzy entropy，MMFE)信息。對軸承正常狀態(tài)樣本進(jìn)行k-medoids聚類得到聚類中心，根據(jù)樣本與聚類中心之間的歐式距離確定可拓集合的經(jīng)典域和節(jié)域，同時(shí)分析可拓關(guān)聯(lián)函數(shù)的適用范圍。最后根據(jù)待測樣本到聚類中心的距離與軸承正常狀態(tài)距離區(qū)間的關(guān)聯(lián)度實(shí)現(xiàn)對其性能退化程度的定性定量評估，并利用軸承全壽命疲勞試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 MMFE算法

1.1 多元模糊熵

為計(jì)算多元模糊熵，首先需根據(jù)Takens嵌入理論生成多元嵌入向量。

Xm(i)=[x1,i,x1,i+λ1,…,x1,i+(m1-1)λ1,x2,i,

x2,i+λ2,…,x2,i+(m2-1)λ2,…,xp,i,

xp,i+λp,…,xp,i+(mp-1)λp]=

[zi,zi+1,…,zi+m-1](i=1,2,…,N-n)

(1)

經(jīng)過多元嵌入重構(gòu)后，得到N-n個(gè)復(fù)合延時(shí)向量Xm(i)。

max{|zi+l-1-zj+l-1|,l=1,2,…,m}

(2)

定義模糊隸屬度函數(shù)。

(3)

式中，n1和r分別為模糊隸屬度函數(shù)的邊界梯度和寬度。

(4)

(5)

對所有i求平均值，即得到嵌入維度m時(shí)的條件概率Bm(r)。

(6)

保持其他變量不變，將多元復(fù)合延遲向量由m維嵌入到m+1維。對于一個(gè)嵌入向量M=[m1,m2,…,mp]，系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換成嵌入向量為M=[m1,m2,…,mk+1,…,mp]的任意空間。由于包含p個(gè)時(shí)間序列，通過分別拓展mk+1(k=1,2,…,p)，可獲得p×(N-n)個(gè)重構(gòu)向量Xm+1(i)。

(7)

(8)

多元模糊熵定義如下。

(9)

1.2 多元多尺度模糊熵MMFE

MMFE考慮了多通道時(shí)間序列中各序列的自相似性和序列之間的互預(yù)測性[8]，計(jì)算過程如下。

(10)

式中，τ=1,2,…為尺度因子。

2 可拓k-mediods軸承性能評估模型

2.1 k-mediods算法

為實(shí)現(xiàn)上述過程，在使用k-medoids算法進(jìn)行聚類時(shí)，首先在數(shù)據(jù)集A中隨機(jī)選擇k個(gè)點(diǎn)作為初始中心，即初始代表點(diǎn)，將剩余數(shù)據(jù)點(diǎn)依據(jù)就近原則分配到各類中；然后在各類中按順序遍歷選取非代表點(diǎn)代替初始代表點(diǎn)，重新計(jì)算聚類效果；通過反復(fù)迭代改進(jìn)聚類質(zhì)量，直至獲得穩(wěn)定的聚類中心[10]。

2.2 可拓距及關(guān)聯(lián)函數(shù)

可拓學(xué)是我國學(xué)者蔡文教授創(chuàng)立的一門新興學(xué)科，主要研究事物拓展的可能性，為解決矛盾問題和不相容問題提供了新的方法和途徑[11]?？赏鼐嘧鳛榭赏?cái)?shù)學(xué)的基本概念，是計(jì)算可拓關(guān)聯(lián)函數(shù)的基礎(chǔ)。對于區(qū)間X0=[a,b]內(nèi)的任一點(diǎn)x，經(jīng)典數(shù)學(xué)認(rèn)為x與X0的距離為0，而可拓學(xué)利用距描述x與X0的相對位置關(guān)系，將經(jīng)典數(shù)學(xué)“類內(nèi)即同”的思想拓展到“類內(nèi)尚可分為不同層次”。設(shè)實(shí)軸上任意點(diǎn)x，其與區(qū)間X0的可拓距表示如下。

(11)

由式(11)知，x?X0時(shí)，ρ(x,X0)>0；x=a或b時(shí)，ρ(x,X0)=0；x∈X0時(shí)，ρ(x,X0)<0。

可拓距的概念說明了點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，而關(guān)聯(lián)函數(shù)k(x)能夠描述點(diǎn)與區(qū)間的隸屬關(guān)系，且關(guān)聯(lián)函數(shù)以可拓距為基礎(chǔ)。設(shè)x0表示關(guān)聯(lián)函數(shù)取最大值時(shí)的點(diǎn)，即最優(yōu)值點(diǎn)；x為實(shí)域上的任意元素，區(qū)間X0=〈a,b〉，X=〈c,d〉，X0?X，且X0、X無公共端點(diǎn)，則元素x關(guān)于區(qū)間X0的關(guān)聯(lián)函數(shù)與最優(yōu)值點(diǎn)x0的位置有關(guān)。當(dāng)x0在X0中點(diǎn)處取得時(shí)，初等關(guān)聯(lián)函數(shù)k(x)表示如下。

(12)

當(dāng)x0不在X0中點(diǎn)時(shí)，關(guān)聯(lián)函數(shù)k(x)表示如下。

(13)

式(12)～(13)中，X0=〈a,b〉和X=〈c,d〉分別代表可拓集的經(jīng)典域和節(jié)域；k(x)的正負(fù)和大小表明了x屬于或不屬于X0的程度；ρ(x,x0,X0)稱為側(cè)距。若最優(yōu)值點(diǎn)x0∈[a,(a+b)/2]，則ρ(x,x0,X0)稱為左側(cè)距，記為ρl(x,x0,X0)；若x0∈[(a+b)/2,b]，則ρ(x,x0,X0)稱為右側(cè)距，記為ρr(x,x0,X0)。

(14)

(15)

關(guān)聯(lián)度k(x)描述了事物具有某種屬性的程度，能夠?qū)κ挛飳傩赃M(jìn)行定性定量評價(jià)。由式(12)～(15)知，k(x)∈(-∞,+∞)，k(x)>0表示事物具有某種特征或滿足某種屬性；k(x)<0表示事物不具有該特征或不滿足該屬性；k(x)=0表示事物即具有該性質(zhì)，又不具有該性質(zhì)，屬于性質(zhì)變化的中間階段。

2.3 軸承性能退化評估模型

由于可拓學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)能定量描述點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)聯(lián)程度，故將其與k-mediods算法相結(jié)合構(gòu)建軸承性能退化評估模型。具體思想如下：利用k-mediods算法對軸承正常狀態(tài)樣本進(jìn)行聚類，獲得聚類中心Cnormal；通過軸承狀態(tài)樣本與Cnormal之間的距離確定經(jīng)典域X0和節(jié)域X；對軸承任一狀態(tài)樣本而言，計(jì)算該樣本到Cnormal的歐氏距離與經(jīng)典域X0之間的關(guān)聯(lián)度，根據(jù)關(guān)聯(lián)度完成軸承性能退化程度的定性定量評估。具體流程如圖1所示。

圖1 軸承性能退化評估流程Fig.1 Assessment process of bearing performance degradation

在利用上述方法構(gòu)建軸承性能退化評估模型時(shí)，應(yīng)明確兩點(diǎn)問題：①可拓集合經(jīng)典域X0和節(jié)域X的確定；②關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式選擇?？赏丶系拇_定過程如圖2所示：首先利用k-mediods算法對軸承正常狀態(tài)樣本進(jìn)行聚類，得到聚類中心Cnormal。設(shè)n1和n2是正常樣本中與Cnormal之間歐式距離的最小值點(diǎn)和最大值點(diǎn)，將歐式距離記為d(Cnormal,n1)和d(Cnormal,n2)，以此作為經(jīng)典域邊界值的近似參考，即令a=d(Cnormal,n1)，b=d(Cnormal,n2)。為確定節(jié)域的邊界值，計(jì)算全部樣本到Cnormal的歐式距離，并以最近點(diǎn)n3和最遠(yuǎn)點(diǎn)n4與Cnormal之間的距離d(Cnormal,n3)和d(Cnormal,n4)作為節(jié)域的近似參考，即令c=d(Cnormal,n3)，d=d(Cnormal,n4)。本文中，樣本與Cnormal之間的距離(記為dis)越趨于a，則樣本越靠近聚類中心，表明其所代表的軸承運(yùn)行狀態(tài)屬于正常的程度越大；反之，dis越趨于b，樣本越遠(yuǎn)離Cnormal，其所代表的軸承運(yùn)行狀態(tài)屬于正常的程度越弱。因此，最優(yōu)點(diǎn)在區(qū)間X0的左端點(diǎn)處取得，故采用式(13)和式(14)進(jìn)行關(guān)聯(lián)度的計(jì)算。

圖2 可拓集合參考點(diǎn)的選取Fig.2 Selection of reference points to extension sets

3 MMFE對軸承運(yùn)行狀態(tài)的表征能力分析

3.1 試驗(yàn)裝置

為說明MMFE在表征軸承運(yùn)行狀態(tài)方面的優(yōu)越性，現(xiàn)利用美國辛辛那提大學(xué)智能維護(hù)中心提供的滾動軸承全壽命疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[12]。試驗(yàn)臺結(jié)構(gòu)如圖3所示，主軸裝有四個(gè)Rexnord ZA-2115雙列滾柱軸承。軸承節(jié)圓直徑7.15 cm，滾動體直徑0.84 cm，接觸角15.17°，利用杠桿機(jī)構(gòu)通過軸承座2和3向主軸施加2 721.6 kg的徑向載荷。

圖3 滾動軸承全壽命疲勞試驗(yàn)臺Fig.3 Test bench for rolling bearing run-to-failure

交流電機(jī)通過皮帶耦合驅(qū)動主軸，電機(jī)轉(zhuǎn)速2 000 r/min。每個(gè)軸承座的水平和垂直方向裝有PCB353B33壓電式加速度傳感器，采集8通道時(shí)間序列。軸承疲勞試驗(yàn)全過程共采集2 156個(gè)數(shù)據(jù)文件，采樣頻率20 kHz。前43個(gè)文件的采樣時(shí)間間隔為5 min，剩余文件采樣間隔為10 min。試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，軸承3發(fā)生內(nèi)圈故障，軸承4發(fā)生滾動體故障。本文以軸承3為分析對象，利用垂向和橫向的振動加速度信號構(gòu)建二元多尺度模糊熵。

由于所獲得的樣本文件較多，為便于分析，每半小時(shí)提取一次軸承振動數(shù)據(jù)作為樣本，共獲得690個(gè)樣本。軸承在試驗(yàn)初期處于磨合狀態(tài)，振動幅值較大，會影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，本文剔除前40組樣本，利用剩余的650組樣本進(jìn)行分析。

3.2 MMFE參數(shù)選擇

由MMFE定義知，嵌入維數(shù)向量M、多維時(shí)延向量λ、時(shí)間序列長度N、模糊隸屬度函數(shù)的梯度n1和寬度r都會影響MMFE的計(jì)算結(jié)果。一般嵌入維數(shù)mk=2或3、λk=1(k=1,2,…,p)時(shí)，對MMFE的影響較小。樣本長度N與嵌入維數(shù)m滿足N=10m～30m。由于采樣頻率為20 kHz，為保證頻率分辨率和信息的完備性，樣本長度N應(yīng)大于1 000點(diǎn)，故嵌入維數(shù)mk=3。依據(jù)文獻(xiàn)[13]，設(shè)定n1=2，r=0.15SD(SD為多通道數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)?，F(xiàn)利用試驗(yàn)分析的方法確定樣本長度N。首先利用db3小波分解方法對軸承振動信號進(jìn)行降噪，而后在軸承全壽命疲勞試驗(yàn)的初期、中期和末期各取10組數(shù)據(jù)(初期選擇第21～30組，中期為331～340組，末期為651～660組)，以代表軸承性能退化的不同階段。分別計(jì)算樣本長度N=1 000、2 000、3 000、5 000和7 000時(shí)的MMFE均值，其中尺度因子τ=20，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，隨著樣本長度的增加，各尺度下MMFE波動減小，趨于平穩(wěn)。這說明樣本長度越大，MMFE對軸承運(yùn)行狀態(tài)的表征能力越穩(wěn)定。但應(yīng)注意，樣本長度增加，計(jì)算量隨之增加。當(dāng)樣本長度N=1 000時(shí)，滾動軸承任一運(yùn)行狀態(tài)下振動信號的二元MMFE波動較大，此時(shí)MMFE對軸承運(yùn)行狀態(tài)的表征能力較差。軸承二元振動信號各尺度下的MMFE在N=5 000和7 000時(shí)相差不大，幾近相等。當(dāng)N=3 000時(shí)，各尺度下MMFE波動較小，且與N=5 000或7 000時(shí)的MMFE計(jì)算結(jié)果相差較小，特別是在疲勞試驗(yàn)?zāi)┢?。綜合上述分析，本文取樣本長度N=3 000，得到滾動軸承在不同運(yùn)行狀態(tài)下的MMFE變化情況，如圖5所示。

(a) 滾動軸承初期振動信號的MMFE

圖5 N=3 000時(shí)MMFE變化Fig.5 The change curve of MMFE with N=3 000

由圖5知，在軸承性能退化的不同階段，各尺度下的MMFE不同，說明MMFE可作為表征軸承運(yùn)行狀態(tài)的特征參數(shù)。隨著疲勞試驗(yàn)的進(jìn)行，軸承從正常狀態(tài)經(jīng)一系列性能退化過程到最終失效，振動信號的隨機(jī)性減弱，確定性增強(qiáng)，信號構(gòu)成由復(fù)雜逐漸變得簡單，故MMFE逐漸減小，與圖5結(jié)果相符。

3.3 MMFE與MFE性能對比

為說明軸承垂向振動信號與橫向振動信號之間的關(guān)聯(lián)性，表明MMFE比多尺度模糊熵(MFE)能更有效地表征軸承運(yùn)行狀態(tài)，現(xiàn)分別對前文滾動軸承三種狀態(tài)下的30組垂向和橫向樣本進(jìn)行分析，計(jì)算每種狀態(tài)下10組樣本的MFE均值。參數(shù)設(shè)置同MMFE算法，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N=3 000，結(jié)果如圖6所示。

(a) 滾動軸承橫向振動信號MFE

由圖6可以看出，單向振動信號的MFE對軸承運(yùn)行狀態(tài)的區(qū)分能力弱于MMFE，尤其在小尺度和高尺度因子的情況下。此外，對比圖5和圖6可知，MFE難以區(qū)分軸承的初期和中期狀態(tài)，而MMFE在小尺度因子下能有效區(qū)分這兩種狀態(tài)，說明MMFE比MFE能更有效地識別軸承早期性能退化。為進(jìn)一步說明軸承橫向與垂向振動信息之間的相關(guān)性，現(xiàn)以滾動軸承運(yùn)行中期的10組樣本為例，分析兩向振動信號MMFE和單向振動信號MFE的均值，結(jié)果如圖7所示。

圖7 MMFE與MFE特征對比Fig.7 Comparison of MMFE and MFE

根據(jù)相關(guān)性理論知，兩組數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性越高，復(fù)雜度越低，熵值越?。环粗嗳?。由于MMFE均值在整個(gè)尺度因子上小于MFE，表明MMFE考慮了軸承兩向振動信息之間的相關(guān)性。相比于軸承單向振動信號的MFE特征，各尺度下MMFE變化更為平穩(wěn)，且在較高尺度下MMFE趨于平穩(wěn)。因此，利用軸承兩向振動信號所構(gòu)建的MMFE特征能更準(zhǔn)確的描述軸承運(yùn)行狀態(tài)。

4 軸承全壽命疲勞試驗(yàn)分析

4.1 最優(yōu)尺度MMFE選取

在利用20個(gè)尺度下的MMFE構(gòu)建高維特征向量進(jìn)行聚類時(shí)，會導(dǎo)致計(jì)算量過大，聚類精度降低。此外，由圖5知，不同尺度下的MMFE所包含的信息量不同：1≤τ≤9時(shí)，MMFE能較好地區(qū)分滾動軸承的不同運(yùn)行狀態(tài)；10≤τ≤20時(shí)，MMFE的區(qū)分能力減弱。因此，需選取最優(yōu)尺度下的MMFE來構(gòu)建軸承運(yùn)行狀態(tài)特征向量。主成分分析(principal component analysis，PCA)具有去除冗余信息、降低特征向量維數(shù)、提高識別率、保留主要特征的特點(diǎn)[14]。因此，本文利用PCA方法對20維MMFE特征向量進(jìn)行降維。前10個(gè)尺度的MMFE累計(jì)貢獻(xiàn)率見表1。

表1 MMFE特征主成分分析Tab.1 Principal component analysis of MMFE

由表1知，前7個(gè)尺度下的MMFE累計(jì)貢獻(xiàn)率大于90%，涵蓋了絕大部分的有用信息。由圖4和圖5知，軸承不同運(yùn)行狀態(tài)的MMFE在第8個(gè)尺度取得最大值。故為保證有用信息的完備性，利用前8個(gè)尺度下的MMFE構(gòu)建滾動軸承的運(yùn)行狀態(tài)特征向量。

4.2 可拓k-medoids聚類分析

在利用k-medoids算法獲得表征軸承正常運(yùn)行狀態(tài)的聚類中心Cnormal時(shí)，所采用的樣本全部來自于軸承正常運(yùn)行狀態(tài)，故樣本類別k=1。軸承正常狀態(tài)樣本數(shù)量Num的多少會影響Cnormal的準(zhǔn)確性。樣本量過少，無法覆蓋軸承正常運(yùn)行狀態(tài)的可能范圍，Cnormal與實(shí)際值存在較大偏差。由于無法確定軸承性能退化的初始時(shí)刻，若樣本量過大，部分樣本可能來源于軸承早期性退化或故障狀態(tài)，導(dǎo)致樣本分布變得分散，同樣會使Cnormal偏離實(shí)際值。本文采用不同的樣本數(shù)量進(jìn)行分析。令樣本量Num=20～440，每次分析時(shí)使樣本量增加20，計(jì)算不同樣本數(shù)量下各樣本點(diǎn)與Cnormal之間歐式距離的平均值，記為Dis，結(jié)果如圖8所示。

由圖8知，當(dāng)樣本量Num=20時(shí)，平均距離Dis取得最小值。但由于樣本量過小，所獲得的Cnormal為局部中心，不能代表軸承全部正常狀態(tài)樣本的聚類中心。隨著Num的增加，樣本分布先分散后集中，Dis先增大后減小。當(dāng)Num=180時(shí)，Dis取得極小值。隨著樣本量的進(jìn)一步增加，樣本的聚類性減弱，平均距離再次增大，表明樣本分布變得分散。故利用k-dedoids聚類方法確定Cnormal時(shí)，樣本數(shù)Num=180，由此得到Cnormal=[0.371 6,0.415 4,0.478 2,0.496 2,0.541 0,0.572 7,0.559 6,0.615 2]。

圖8 樣本與Cnormal之間的平均距離Fig.8 The average distance between the samples and Cnormal

為表明Cnormal與軸承全部運(yùn)行狀態(tài)下聚類中心Call的位置區(qū)別，現(xiàn)利用k-dedoids方法對代表軸承全部狀態(tài)的650組樣本進(jìn)行聚類。此時(shí)不需要劃分軸承的性能退化階段，樣本代表了軸承運(yùn)行中的任一狀態(tài)，故樣本類別k=1。聚類結(jié)果如圖9所示，聚類中心Call=[0.350 0,0.400 5,0.473 8,0.485 4,0.542 7,0.566 3,0.546 8,0.603 5]。

(a) 尺度因子τ=1 ～3

在獲得聚類中心Cnormal后，結(jié)合圖2利用樣本點(diǎn)與Cnormal之間的歐式距離來確定經(jīng)典域X0和節(jié)域X。經(jīng)典域X0代表了軸承正常狀態(tài)樣本與Cnormal之間歐式距離的可能范圍，故計(jì)算軸承180組正常狀態(tài)樣本與Cnormal之間的歐式距離，并以其最小值和最大值作為X0的下限和上限。節(jié)域代表了軸承任一狀態(tài)樣本與Cnormal之間歐氏距離的可能范圍。同理，根據(jù)軸承全部的650組樣本與Cnormal之間的歐式距離來確定節(jié)域X。通過計(jì)算，180組正常狀態(tài)樣本與Cnormal之間歐式距離的最小值和最大值分別為0.030 5和0.090 6，650組樣本與Cnormal之間歐式距離的最小值和最大值分別為0.029 1和0.162 4。因此，a=0.030 5，b=0.090 6，c=0.029 1，d=0.162 4，即X0=〈0.030 5,0.090 6〉，X=〈0.029 1,0.162 4〉。

在確定經(jīng)典域X0和節(jié)域X后，進(jìn)一步根據(jù)式(13)和式(14)計(jì)算待測樣本到Cnormal的歐氏距離與軸承正常狀態(tài)距離區(qū)間的關(guān)聯(lián)度，由此獲得軸承性能退化曲線。由于軸承兩向振動信號的獲取不可避免的受環(huán)境影響，其二元MMFE變化不平穩(wěn)，導(dǎo)致關(guān)聯(lián)度的計(jì)算存在波動，如圖10中實(shí)線所示。為減小關(guān)聯(lián)度波動對軸承性能退化分析的影響，現(xiàn)利用四次多項(xiàng)式對關(guān)聯(lián)度曲線進(jìn)行擬合，獲得關(guān)聯(lián)度的變化趨勢。擬合關(guān)系見式(16)，擬合結(jié)果如圖10中虛線所示。

圖10 軸承性能退化曲線Fig.10 The curve of bearing performance degradation

f(k)=-0.064 91×k4-0.194 9×k3-

0.113 5×k2-0.002 5×k+0.551 5

(16)

式中，k為關(guān)聯(lián)度的計(jì)算值。

結(jié)合關(guān)聯(lián)度定義和圖10關(guān)聯(lián)度擬合曲線知，從試驗(yàn)開始到第440個(gè)樣本時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.5且其擬合曲線變化平穩(wěn)，表明待測樣本與Cnormal之間的歐式距離較小，待測樣本較靠近Cnormal，其所代表的軸承運(yùn)行狀態(tài)良好。第440個(gè)樣本到第540個(gè)樣本時(shí)，關(guān)聯(lián)度擬合曲線出現(xiàn)下降趨勢，表明待測樣本與Cnormal之間的歐式距離增大，樣本逐漸遠(yuǎn)離Cnormal，軸承開始出現(xiàn)早期性能退化。由于關(guān)聯(lián)度大于0，軸承仍處于正常運(yùn)行狀態(tài)。試驗(yàn)進(jìn)行到第540個(gè)樣本時(shí)，關(guān)聯(lián)度為0，說明待測樣本與Cnormal之間的歐式距離達(dá)到經(jīng)典域的上限，即達(dá)到正常樣本與Cnormal之間歐式距離的最大值。第540個(gè)樣本后，擬合曲線的關(guān)聯(lián)度值小于0，說明待測樣本與Cnormal之間的歐式距離已超出其正常運(yùn)行范圍，軸承性能出現(xiàn)惡化。

4.3 時(shí)域特征對比分析

為說明本文所提方法對軸承性能退化程度的表征能力，提取軸承3兩向振動信號的典型有量綱和無量綱時(shí)域特征，結(jié)果如圖11所示。

(a) 峭度指標(biāo)

由圖11知，隨著疲勞試驗(yàn)的進(jìn)行，軸承故障程度逐漸加重，時(shí)域指標(biāo)隨之發(fā)生變化。峭度在第540個(gè)樣本處發(fā)生明顯波動，說明軸承發(fā)生故障，與圖10所示結(jié)果一致，但峭度無法有效檢測軸承的早期性能退化。平均值在軸承疲勞試驗(yàn)中變化較為平緩，僅在試驗(yàn)結(jié)束時(shí)才出現(xiàn)明顯波動，說明平均值不能有效表征軸承的性能退化過程。波形因子的變化趨勢與軸承性能退化趨勢相一致，但也僅在試驗(yàn)?zāi)┢诓懦霈F(xiàn)較大波動，無法檢測軸承的早期性能退化。

綜上分析，以上時(shí)域指標(biāo)不能有效檢測軸承的早期性能退化，且無法定量表述軸承的性能退化程度。相比而言，本文所提方法可以描述軸承的性能退化趨勢，并能夠定量表示其性能退化程度。由圖11還可看出，上述時(shí)域指標(biāo)在垂向和橫向存在明顯的相關(guān)關(guān)系，說明軸承兩向振動信號之間存在較大的相關(guān)性，進(jìn)行兩向振動信號的綜合分析能獲得更準(zhǔn)確的特征參數(shù)。

4.4 軸承早期性能退化分析

由前文分析知，軸承在第440個(gè)樣本處開始出現(xiàn)早期性能退化，在第540個(gè)樣本處發(fā)生內(nèi)圈故障。通過計(jì)算得到軸承內(nèi)圈故障的特征頻率理論值為296.9 Hz，利用頻譜分析法對以上兩個(gè)樣本的垂向振動信號進(jìn)行功率譜分析，結(jié)果如圖12所示。

(a) 第440個(gè)樣本的降噪信號

由圖12可知，第440個(gè)樣本的特征頻率為271 Hz，表明軸承開始出現(xiàn)早期性能退化。第540個(gè)樣本的功率譜中出現(xiàn)了與軸承內(nèi)圈故障頻率相近的291 Hz及其倍頻成分，說明軸承發(fā)生內(nèi)圈故障，與本文分析結(jié)果相符。

5 結(jié) 論

(1) 將MMFE引入到軸承運(yùn)行狀態(tài)的特征提取。利用軸承垂向和橫向振動信號構(gòu)建了二元變量，并提取二元多尺度模糊熵。與軸承單向振動信號的MFE特征相比，二元MMFE能更有效的表征軸承運(yùn)行狀態(tài)。

(2)將可拓學(xué)關(guān)聯(lián)函數(shù)與k-medoids聚類算法相結(jié)合構(gòu)建了軸承性能退化評估模型。在對可拓集合和關(guān)聯(lián)函數(shù)形式進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，利用待測樣本到Cnormal的歐式距離與軸承正常狀態(tài)距離區(qū)間之間的關(guān)聯(lián)度實(shí)現(xiàn)了軸承性能退化的定量評估。與常用的時(shí)域指標(biāo)相比，本文所提方法能有效檢測軸承的早期性能退化，并能實(shí)現(xiàn)對軸承性能退化程度的定量表述。