李海虹，王 昊，郭山國(guó)，劉志奇，李王鐸

(1.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024；2.河北機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系，河北 邢臺(tái) 054000)

電主軸是數(shù)控機(jī)床和某些工業(yè)機(jī)器人的核心功能部件，建立主軸單元橫向、縱向以及扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)模型對(duì)加工精度的量化分析具有重要意義。振動(dòng)特性研究中，主軸單元多簡(jiǎn)化為彈性梁模型，并通過有限元方法求解。有限元方法是一種純數(shù)值方法，當(dāng)模型邊界條件和幾何參數(shù)發(fā)生改變，需要對(duì)模型進(jìn)行重構(gòu)[1]，所以在振動(dòng)機(jī)理及參數(shù)特性分析等方面，理論建模對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)及優(yōu)化是必要的。

理論建模中，不同的位移函數(shù)的構(gòu)造推導(dǎo)出不同的分析模型。Zemskov等[2]基于傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)形式的解研究了Euler-Bernoulli梁的非定常振動(dòng)。Motaghian等[3]基于正弦和余弦傅里葉級(jí)數(shù)形式的解研究了變截面梁的自由振動(dòng)。Yayli[4]基于傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)形式的解研究了具有旋轉(zhuǎn)約束邊界條件的納米梁的自由振動(dòng)。Li[5]提出了一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法(improved Fourier series method)分析任意邊界支撐下梁結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)特性，通過引入輔助函數(shù)解決傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)周期展開時(shí)在邊界上存在的不連續(xù)現(xiàn)象。Lü等[6]引入能量原理，將改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法應(yīng)用于任意彈性邊界條件下梁結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)分析。杜敬濤等[7-9]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法研究了任意邊界條件下彈性桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)以及非局部彈性桿和變截面彈性桿的縱向振動(dòng)。Chen等[10]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法研究了具有彈性邊界支撐的旋轉(zhuǎn)梁的橫向振動(dòng)。趙雨皓等[1]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法對(duì)軸向載荷條件下彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)進(jìn)行了研究。Zhang等[11]采用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法研究了三維耦合梁的自由振動(dòng)特性。Nie等[12]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法研究了不同邊界條件下彎曲梁的平面內(nèi)和平面外自由和受迫振動(dòng)。Mahapatra等[13-14]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法研究了彈性邊界下有阻尼和無阻尼Euler-Bernoulli梁的受迫振動(dòng)響應(yīng)以及矩形板的面內(nèi)振動(dòng)特性。

Shi等[15]基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法進(jìn)一步提出了譜幾何方法(spectro-geometric method)。該方法構(gòu)造的位移函數(shù)的輔助函數(shù)采用三角級(jí)數(shù)形式，在滿足收斂性要求的同時(shí)使得方程積分和微分運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。Shi等[16]采用譜幾何法研究了T形板的面內(nèi)自由和受迫振動(dòng)。Wang等[17-18]采用譜幾何法研究了彈性板浸入水中以及與聲腔耦合振動(dòng)的聲輻射特性。鮑四元等[19-20]采用譜幾何法研究了彈性邊界下非局部梁的橫向振動(dòng)和納米桿的縱向振動(dòng)。但是現(xiàn)有文獻(xiàn)尚且沒有對(duì)梁結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，及其橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)采用譜幾何法進(jìn)行分析。

本文將譜幾何法擴(kuò)展到彈性梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)建模，統(tǒng)一彈性梁橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移函數(shù)表示形式，建立了任意邊界條件下彈性梁橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)特性的統(tǒng)一參數(shù)化求解模型，完成模型驗(yàn)證，并研究邊界約束彈簧剛度對(duì)彈性梁橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性的影響。

1 理論模型

1.1 模型描述

本文使用彈性梁模型模擬主軸單元模型，采用邊界約束彈簧組模擬任意邊界條件，相應(yīng)的全局坐標(biāo)系如圖1所示。在直角坐標(biāo)系的梁模型兩端使用6組連續(xù)的邊界約束彈簧，包括3組線性約束彈簧，分別沿x-、y-、z-方向，3組旋轉(zhuǎn)約束彈簧，分別繞x-、y-、z-方向。通過將相應(yīng)的邊界約束彈簧剛度值設(shè)定為0到無窮大數(shù)可以模擬任意邊界條件。彈簧形式見表1。

圖1 任意邊界條件下彈性梁耦合振動(dòng)分析模型Fig.1 Coupling vibration analysis model of the elastic beam with arbitrary boundary conditions

表1 彈簧組剛度變量定義表Tab.1 Definition table of spring group stiffness variable

1.2 位移函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

假設(shè)彈性梁模型為Euler-Bernoulli梁。以往研究中采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法構(gòu)造的位移函數(shù)多使用多項(xiàng)式或者多項(xiàng)式與三角級(jí)數(shù)相乘的形式作為傅里葉級(jí)數(shù)的輔助函數(shù)。此方法所構(gòu)造的位移函數(shù)會(huì)使得結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的求解運(yùn)算過程相對(duì)復(fù)雜，不利于提高計(jì)算效率。本文采用譜幾何法描述彈性梁耦合振動(dòng)的位移函數(shù)。位移函數(shù)的主函數(shù)和輔助函數(shù)都表示為三角級(jí)數(shù)形式，三角級(jí)數(shù)在微分和積分操作中的“偶不變性”使得整個(gè)計(jì)算更加簡(jiǎn)便。

本文將彈性梁耦合振動(dòng)離散為沿x-縱向振動(dòng)、沿y-、z-橫向振動(dòng)和繞x-軸線扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。將彈性梁沿x-、y-、z-方向的位移函數(shù)和繞x-軸線的轉(zhuǎn)角函數(shù)分別表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：An，Bn，Cn和Dn分別代表位移函數(shù)的未知傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù);ω為圓頻率;eiωt為簡(jiǎn)諧時(shí)間因子;在后續(xù)推導(dǎo)中為了簡(jiǎn)化將忽略該時(shí)間因子。

由Euler-Bernoulli梁理論可知，梁模型沿x-縱向振動(dòng)控制微分方程和繞x-軸線扭轉(zhuǎn)振動(dòng)控制微分方程都是二階偏微分方程。當(dāng)位移函數(shù)采用傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)形式表示時(shí)，在梁兩端會(huì)出現(xiàn)位移函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)和二階導(dǎo)數(shù)跳躍現(xiàn)象，對(duì)任意邊界條件并不適用。因此，每個(gè)位移函數(shù)在沿x-縱向和繞x-軸線扭轉(zhuǎn)方向的分量除了無窮項(xiàng)余弦級(jí)數(shù)外還需要增加兩項(xiàng)正弦級(jí)數(shù)(對(duì)應(yīng)于式(1)和(4)中的n=-2)作為輔助函數(shù)。Li[21]從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證可知，位移函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式對(duì)于?(x)∈R:(0,L)能夠展開并且一致收斂于任意函數(shù)f(x)∈C1。因此可以實(shí)現(xiàn)在任意邊界條件下位移函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)和二階導(dǎo)數(shù)各點(diǎn)存在。

同理，梁模型沿y-橫向振動(dòng)控制微分方程和沿z-橫向振動(dòng)控制微分方程都是四階偏微分方程。通過在每個(gè)方向上增加四項(xiàng)正弦函數(shù)(對(duì)應(yīng)于式(2)和(3)中的n=-4)作為輔助函數(shù)，從數(shù)學(xué)上可知，位移函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式對(duì)于?(x)∈R:(0,L)能夠展開并且一致收斂于任意函數(shù)f(x)∈C3。因此可以實(shí)現(xiàn)在任意邊界條件下位移函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)和四階導(dǎo)數(shù)各點(diǎn)存在。

本節(jié)采用基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的譜幾何法建立了彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的位移函數(shù)，在滿足邊界連續(xù)性的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移函數(shù)表示形式的統(tǒng)一。

1.3 模型求解

在采用譜幾何法建立彈性梁模型縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的位移函數(shù)之后，需要求解相應(yīng)位移函數(shù)的未知級(jí)數(shù)展開系數(shù)。本文基于Hamilton原理從能量角度建立包含彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)，采用Ritz方法對(duì)未知系數(shù)取駐值，再通過求解即可分別獲得彈性梁結(jié)構(gòu)縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的模態(tài)特性參數(shù)。在求解過程中，4個(gè)位移函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式需要按照n=N進(jìn)行截?cái)唷?/p>

Hamilton原理的表達(dá)式為

(6)

式中：V為彈性梁的總勢(shì)能；T為彈性梁的總動(dòng)能。

對(duì)于圖1所示的彈性梁模型，總勢(shì)能的表達(dá)式為

V=Vp+Vs

(7)

式中：Vp為彈性梁自身的應(yīng)變勢(shì)能；Vs為兩端約束彈簧的彈性勢(shì)能；表達(dá)式分別為

(8)

(9)

式中：E為彈性模量；S為橫截面面積；Iy、Iz分別為對(duì)y軸、對(duì)z軸的慣性矩；G為切變模量；J為極慣性矩。

彈性梁模型的總動(dòng)能表達(dá)式為

(10)

式中：ρ為材料密度；S為橫截面面積；J為極慣性矩。

彈性梁模型的拉格朗日函數(shù)可以表示為

L=Vp+Vs-T

(11)

將位移函數(shù)式(1)～(4)代入到函數(shù)式(11)中，采用Ritz方法使式(11)對(duì)其中的傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)An，Bn，Cn和Dn求極值

(12)

求解式(12)得到4個(gè)方程的線性方程組，將方程組寫為矩陣表達(dá)形式

(K-ω2M)X=0

(13)

式中：K為系統(tǒng)的剛度矩陣；M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；X為包括所有未知傅里葉級(jí)數(shù)展開系數(shù)的向量，可表示為

(14)

通過求解式(13)所示的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題就可以得到彈性梁模型縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的模態(tài)特性(固有頻率及其對(duì)應(yīng)的特征向量)。將每階固有頻率所對(duì)應(yīng)的特征向量系數(shù)代入至位移函數(shù)式(1)～(4)即可得到相應(yīng)的物理模態(tài)振型。由建立的理論模型可知，本文統(tǒng)一了彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性計(jì)算模型，即統(tǒng)一了彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)特性求解方程。

2 模型驗(yàn)證與分析

在本章中，對(duì)不同邊界條件下彈性梁結(jié)構(gòu)橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算分析，通過將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建立的理論模型和運(yùn)算程序的正確性。隨后分析邊界約束彈簧剛度值對(duì)彈性梁耦合振動(dòng)固有頻率的影響。表2給出了彈性梁模型的材料和幾何參數(shù)。

表2 梁模型的材料和幾何參數(shù)值Tab.2 Material and geometric parameters of beams

2.1 收斂性研究

在計(jì)算過程中,需要首先驗(yàn)證構(gòu)造的位移函數(shù)及確定的級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)的收斂性和計(jì)算精度。本小節(jié)首先對(duì)彈性梁結(jié)構(gòu)采用本文方法得到的扭轉(zhuǎn)和縱向振動(dòng)的固有頻率收斂性進(jìn)行分析，然后對(duì)其橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型特性進(jìn)行分析。

將本文彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率求解結(jié)果與文獻(xiàn)[7]計(jì)算結(jié)果和有限元求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算中梁模型參數(shù)都按文獻(xiàn)選取如表2所示。選擇固支-固支邊界條件，選取邊界約束彈簧剛度值如表3所示，通過將邊界約束彈簧剛度值設(shè)定為0模擬自由邊界，設(shè)定為無窮大數(shù)模擬固支邊界。通過預(yù)計(jì)算，當(dāng)相應(yīng)邊界旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度值設(shè)定為1010時(shí)，彈性梁固支-固支邊界下扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率趨于定值，滿足相應(yīng)固支邊界模擬。同理，當(dāng)相應(yīng)邊界約束彈簧剛度值設(shè)定為1015時(shí)，滿足彈性梁縱向振動(dòng)和橫向振動(dòng)固支邊界模擬。表4為彈性梁的位移函數(shù)取不同級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)時(shí)得到的前6階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。

表3 不同邊界條件和振動(dòng)類型對(duì)應(yīng)約束彈簧的剛度值Tab.3 Stiffness values of restraint springs under different boundary conditions and model types

表4 固支-固支彈性梁在不同截?cái)鄶?shù)下前6階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率Tab.4 The first 6 torsional vibration natural frequencies of the clamped-clamped elastic beam with different truncation numbers

由表4可以看出當(dāng)截?cái)鄶?shù)取N=12時(shí)，彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]解最大偏差為-0.007%，與ANSYS解最大偏差為-0.018%，驗(yàn)證了本文方法的正確性。同時(shí)，隨著截?cái)鄶?shù)的增大，計(jì)算精度逐漸提高，文獻(xiàn)中取N=35，而本文較小的截?cái)鄶?shù)即可得到較高的計(jì)算精度，表明本文方法具有較快的收斂性。后面的計(jì)算中，本文截?cái)鄶?shù)均取N=12。

將本文彈性梁縱向振動(dòng)固有頻率求解結(jié)果與文獻(xiàn)[22]中經(jīng)典解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。選擇固支-固支邊界條件，計(jì)算中彈性梁參數(shù)按主軸簡(jiǎn)化模型參數(shù)選取如表2所示，邊界約束彈簧剛度值選取如表3所示，得到彈性梁前6階縱向振動(dòng)的固有頻率如表5所示。

由表5可以看出本文彈性梁縱向振動(dòng)的固有頻率計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[22]經(jīng)典解最大偏差為0.02%，驗(yàn)證了本文方法求解彈性梁縱向振動(dòng)固有頻率的正確性。應(yīng)用譜幾何法求解梁模型橫向振動(dòng)固有頻率的收斂性已在文獻(xiàn)[19]中研究，本文將不再單獨(dú)分析。

表5 固支-固支彈性梁前6階縱向振動(dòng)固有頻率Tab.5 The first 6 longitudinal vibration natural frequencies of the clamped-clamped elastic beam

由上述分析可知，當(dāng)梁模型的材料和幾何形狀改變時(shí)，無需重新進(jìn)行理論推導(dǎo)和建模，僅需要改變相應(yīng)參數(shù)值，可以實(shí)現(xiàn)彈性梁結(jié)構(gòu)參數(shù)化研究，方便結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

通過將特征方程(13)求解所得到的彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的每階固有頻率對(duì)應(yīng)的無量綱化特征向量系數(shù)代入位移函數(shù)式(1)～(4)便可得到相應(yīng)階次的無量綱化模態(tài)振型圖。彈性梁參數(shù)按主軸簡(jiǎn)化模型參數(shù)選取如表2所示，邊界約束彈簧剛度值選取如表3所示，得到固支-自由邊界條件下彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的前4階無量綱模態(tài)振型如圖2所示。

(a) 第一階

由圖2可以看出彈性梁縱向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)振型左端位移為0，右端存在位移，符合固支-自由邊界條件。從彈性梁前4階模態(tài)振型圖可以看出，彈性梁每一階振動(dòng)中存在縱向模態(tài)、橫向模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)，說明彈性梁的振動(dòng)是由3種振動(dòng)耦合而成。此外，根據(jù)彈性梁結(jié)構(gòu)特性，在低階模態(tài)中，橫向模態(tài)(彎曲模態(tài))為主導(dǎo)模態(tài)。

2.2 邊界約束彈簧剛度對(duì)彈性梁耦合振動(dòng)特性影響

本節(jié)對(duì)彈性梁在不同邊界約束彈簧剛度下的橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的第一階模態(tài)特性進(jìn)行研究，以實(shí)現(xiàn)本文方法對(duì)任意邊界條件下的彈性梁耦合振動(dòng)特性進(jìn)行分析。計(jì)算中彈性梁參數(shù)按主軸簡(jiǎn)化模型參數(shù)選取如表2所示。

(1)邊界約束彈簧剛度對(duì)彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響

為模擬彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)從兩端自由到兩端固支的邊界條件，將兩端約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度Kθθ，Kθ1從0.000 1 N·m/rad增加到1010N·m/rad，其它邊界約束彈簧剛度設(shè)置為0。圖3是彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)第一階固有頻率隨邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度變化的三維圖，其中坐標(biāo)軸取邊界約束彈簧剛度值的對(duì)數(shù)，以下小節(jié)坐標(biāo)軸設(shè)置同理。

圖3 邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度對(duì)彈性梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響Fig.3 Influence of boundary restraining rotational stiffness on the torsional vibration of elastic beam

由圖3可知，隨著邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度的增大，彈性梁第一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率逐漸增大。當(dāng)約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度在0～105N·m/rad范圍內(nèi)變化時(shí)，彈性梁固有頻率變化明顯，當(dāng)約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度增大至105N·m/rad以上時(shí)，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個(gè)定值。因此可知彈性梁第一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率隨旋轉(zhuǎn)剛度值變化存在敏感區(qū)間，該區(qū)間為0～105N·m/rad。

(2)邊界約束彈簧剛度對(duì)彈性梁縱向振動(dòng)影響

為模擬彈性梁縱向振動(dòng)從兩端自由到兩端固支的邊界條件，將兩端約束彈簧平動(dòng)剛度kx0，kx1從0.000 1 N/m增加到1015N/m，其它邊界約束彈簧剛度設(shè)置為0。圖4是彈性梁縱向振動(dòng)第一階固有頻率隨邊界約束彈簧平動(dòng)剛度變化的三維圖。

圖4 邊界約束彈簧平動(dòng)剛度對(duì)彈性梁縱向振動(dòng)的影響Fig.4 Influence of boundary restraining translational stiffness on the longitudinal vibration of elastic beam

由圖4可知，彈性梁第一階縱向振動(dòng)固有頻率隨約束彈簧平動(dòng)剛度的增大而增大。當(dāng)約束彈簧平動(dòng)剛度在105～1011N/m范圍內(nèi)變化時(shí)，彈性梁固有頻率變化明顯，當(dāng)約束彈簧平動(dòng)剛度增大至1011N/m以上時(shí)，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個(gè)定值。因此可知彈性梁第一階縱向振動(dòng)固有頻率隨平動(dòng)剛度值變化存在敏感區(qū)間，該區(qū)間為105～1011N/m。

(3)邊界約束彈簧剛度對(duì)彈性梁橫向振動(dòng)影響

本小節(jié)首先研究邊界約束彈簧平動(dòng)剛度對(duì)彈性梁y-向橫向振動(dòng)的影響，對(duì)彈性梁z-向橫向振動(dòng)的影響同理。將約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度設(shè)置為Ky0=0 N·m/rad，Ky1=0 N·m/rad，將約束彈簧平動(dòng)剛度ky0，ky1從0.000 1 N/m增加到1015N/m，其它邊界約束彈簧剛度設(shè)置為0，模擬彈性梁y-向橫向振動(dòng)從兩端自由到兩端簡(jiǎn)支的邊界條件。圖5是彈性梁y-向橫向振動(dòng)第一階固有頻率隨邊界約束彈簧平動(dòng)剛度變化的三維圖。

圖5 邊界約束彈簧平動(dòng)剛度對(duì)彈性梁橫向振動(dòng)的影響Fig.5 Influence of boundary restraining translational stiffness on the transverse vibration of elastic beam

由圖5可知，彈性梁第一階y-向橫向振動(dòng)固有頻率隨約束彈簧平動(dòng)剛度的增大而增大。當(dāng)約束彈簧平動(dòng)剛度在102～109N/m范圍內(nèi)變化時(shí)，彈性梁固有頻率變化明顯，當(dāng)約束彈簧平動(dòng)剛度增大至109N/m以上時(shí)，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個(gè)定值。因此可知彈性梁第一階y-向橫向振動(dòng)固有頻率隨平動(dòng)剛度變化存在敏感區(qū)間，該區(qū)間為102～109N/m。

其次研究邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度對(duì)彈性梁y-向橫向振動(dòng)的影響。通過將約束彈簧平動(dòng)剛度設(shè)置為ky0=1015N/m，ky1=1015N/m，將約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度Ky0，Ky1從0.000 1 N·m/rad增加到1015N·m/rad，其它邊界約束彈簧剛度設(shè)置為0，模擬彈性梁y-向橫向振動(dòng)從兩端簡(jiǎn)支到兩端固支的邊界條件。圖6是彈性梁y-向橫向振動(dòng)第一階固有頻率隨邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度變化的三維圖。

由圖6可知，彈性梁第一階y-向橫向振動(dòng)固有頻率隨約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度的增大而增大。當(dāng)約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度在102～107N·m/rad范圍內(nèi)變化時(shí)，彈性梁第一階固有頻率變化明顯，約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度增大至107N·m/rad以上時(shí)，彈性梁固有頻率變化微弱且趨于一個(gè)定值。因此可知彈性梁第一階y-向橫向振動(dòng)固有頻率隨旋轉(zhuǎn)剛度變化存在敏感區(qū)間，該區(qū)間為102～107N·m/rad。

圖6 邊界約束彈簧旋轉(zhuǎn)剛度對(duì)彈性梁橫向振動(dòng)的影響Fig.6 Influence of boundary restraining rotational stiffness on the transverse vibration of elastic beam

綜上所述，通過更改彈性梁兩端相應(yīng)邊界約束彈簧的平動(dòng)剛度、旋轉(zhuǎn)剛度值即可實(shí)現(xiàn)模型在任意邊界約束條件下的橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性分析。同時(shí)由上文分析可知，彈性梁耦合振動(dòng)固有頻率隨邊界約束彈簧剛度變化都存在剛度影響敏感區(qū)域，當(dāng)剛度值在此范圍內(nèi)變化時(shí)可以調(diào)整彈性梁耦合振動(dòng)特性。

3 結(jié) 論

本文將基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法的譜幾何法應(yīng)用到彈性梁的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析并建立了任意邊界條件下彈性梁的橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)特性統(tǒng)一計(jì)算模型。結(jié)論如下：

(1)彈性梁模型的橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移函數(shù)都表示為一種譜幾何形式的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)，統(tǒng)一了彈性梁橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移函數(shù)的表示形式和模態(tài)特性的求解方程。

(2)在數(shù)值計(jì)算中，較小的位移函數(shù)級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)即可得到較高的計(jì)算精度，表現(xiàn)出較快的收斂性。

(3)在彈性梁結(jié)構(gòu)兩端引入邊界約束彈簧組，當(dāng)邊界條件改變時(shí)，通過改變其剛度值大小從0到無窮大模擬。通過改變彈性梁幾何參數(shù)和材料參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)相應(yīng)參數(shù)化研究，不需要重新進(jìn)行理論建模和更改程序，方便對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(4)計(jì)算出彈性梁橫向、縱向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性隨兩端邊界約束彈簧剛度變化的敏感區(qū)間。結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)特性可以通過在此區(qū)間內(nèi)改變彈簧剛度值進(jìn)行調(diào)整。為實(shí)際工程中改變結(jié)構(gòu)邊界約束剛度以避免在外部激勵(lì)下發(fā)生共振提供參考。