聶勇冰，侯 強(qiáng)

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]利用函數(shù)h(I)=cI/(b+I)反映疾病治療的情況，提出以下傳染病模型：

(1)

作者利用穩(wěn)定性和分支理論，研究了平衡點(diǎn)的存在性、 穩(wěn)定性、 后向分支和Hopf分支等[1]. 文獻(xiàn)[2-12]深入研究了具有飽和治療函數(shù)的傳染病模型. 這些模型的人口輸入均是常數(shù)輸入，這與實(shí)際情況不是很吻合. 因此，本文基于Logistic出生和飽和治療項(xiàng)提出以下模型：

(2)

式中：S(t)，I(t)分別為t時(shí)刻的易感者和染病者數(shù)量；r為內(nèi)稟增長率；k為環(huán)境容納量；β為有效接觸率；μ為自然恢復(fù)率；c為單位時(shí)間內(nèi)的最大治療量；b用來衡量飽和發(fā)生的時(shí)間，滿足h(b)=c/2；d為染病者的死亡率； 所有參數(shù)都是正的.

本文主要研究模型(2)的可行域和平衡點(diǎn)的存在性、 穩(wěn)定性，以及模型的Hopf分支和B-T分支，并通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證理論結(jié)果.

1 模型的基本結(jié)果

根據(jù)模型(2)的第1個方程，可以得到

對上述不等式積分，并代入初始條件，得

類似地，根據(jù)模型(2)的第2個方程，可以得到

因此，模型的解都是正的. 接下來考慮模型解的有界性，首先把模型(2)的兩個方程相加得到

對于任意的實(shí)數(shù)λ，有

其中，N=S+I.選擇一個正數(shù)λ，使得d-λ>0. 然后有

(3)

定理1模型(2)的正不變集為

模型(2)有一個無病平衡點(diǎn)E0=(S0,0)=(k,0). 根據(jù)下一代生成矩陣[13]，模型的基本再生數(shù)為

(4)

正平衡點(diǎn)滿足下列方程

(5)

令A(yù)1=B2-3AC，B1=BC-9AD，C1=C2-3BD，定義Δ是g(I)關(guān)于I的判別式.

引理1當(dāng)R0≥1時(shí)，如果C>0那么B>0.

d+μ)cr+4(μ+d)(-βk+d+μ)r≥

B=2bβ2dk+(μ+d)(-βk+d+μ)r≥mC.

根據(jù)引理1可以得到：

1) 當(dāng)R0>1，C>0，B>0；C<0，B>0或C<0，B<0時(shí)，模型存在一個正平衡點(diǎn).

2) 當(dāng)R0=1，C>0，B>0時(shí)，模型不存在正平衡點(diǎn)；C<0時(shí)，模型存在一個正平衡點(diǎn).

3) 當(dāng)R0<1，C>0，B>0時(shí)，模型不存在正平衡點(diǎn)；C<0時(shí)，有下列幾種情況：

a) 當(dāng)Δ>0時(shí)，模型不存在正平衡點(diǎn).

b) 當(dāng)Δ<0時(shí)，模型存在兩個正平衡點(diǎn).

c) 當(dāng)Δ=0時(shí)，模型存在一個正平衡點(diǎn).

根據(jù)以上分析，有以下定理：

定理2對于模型(2)而言，無病平衡點(diǎn)E0始終存在.當(dāng)R0>1時(shí)，模型存在唯一的正平衡點(diǎn)E1(S1,I1)； 當(dāng)R0=1，C<0時(shí)，模型存在唯一的正平衡點(diǎn)E2(S2,I2)； 當(dāng)R0<1，C<0，Δ<0時(shí)，模型存在兩個正平衡點(diǎn)E3(S3,I3)，E4(S4,I4)，且當(dāng)Δ=0時(shí)，兩個正平衡點(diǎn)重合為一個正平衡點(diǎn)E*.

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

在無病平衡點(diǎn)E0(k,0)處，模型(2)的Jacobian矩陣為

特征方程為

(6)

通過分析，可以得到以下定理：

定理3當(dāng)R0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)R0>1時(shí)，無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

2.2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

模型(2)在正平衡點(diǎn)E(S,I)的Jacobian矩陣為

特征方程為

λ2-tr(JE)λ+det(JE)=0.

(7)

根據(jù)模型(2)的第2個方程，得

((βb2-2rb-c)k+4rbS)I-b2r(k-2S))，

Idkβ(b+I)2+(-2βS+2d+2μ)Ib)+

I2(-βS+d+μ)(k-2S)r)=βIg′(I),

其中,g′(I)=3AI2+2BI+C，A>0.因此，有以下幾種情況：

1) 當(dāng)R0>1時(shí)，存在一個正平衡點(diǎn)E1，當(dāng)R0=1時(shí)，存在一個正平衡點(diǎn)E2.在Ei(i=1,2)處，g′(Ii)>0，det(JEi)>0，當(dāng)tr(JEi)<0時(shí)，Ei是局部漸近穩(wěn)定的； tr(JEi)>0時(shí)，Ei是不穩(wěn)定的.

2) 當(dāng)R0<1時(shí)，在E3處，g′(I3)<0，det(JE3)<0，則E3是一個鞍點(diǎn).在E4處，g′(I4)>0，det(JE4)>0，當(dāng)tr(JE4)<0時(shí)，E4是局部漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)tr(JE4)>0時(shí)，E4是不穩(wěn)定的.于是，可得下面的定理：

定理4當(dāng)R0>1時(shí)，存在一個正平衡點(diǎn)E1； 當(dāng)R0=1時(shí)，存在一個正平衡點(diǎn)E2； 當(dāng)tr(JEi)<0(i=1,2)時(shí)，Ei是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)； 當(dāng)tr(JEi)>0時(shí)，Ei是不穩(wěn)定的.當(dāng)R0<1時(shí)，存在兩個正平衡點(diǎn)E3和E4；E3是一個鞍點(diǎn)； 當(dāng)tr(JE4)<0時(shí)，E4是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)； 當(dāng)tr(JE4)>0時(shí)，E4是不穩(wěn)定的.

3 分支分析

根據(jù)Sotomayor’s定理[14]，當(dāng)R0=1時(shí)，如果cr≠βb2d，模型會發(fā)生跨臨界分支； 如果cr=βb2d，模型會發(fā)生叉形分支.根據(jù)文獻(xiàn)[15]的方法，當(dāng)R0=1時(shí)，如果cr>βb2d，模型會發(fā)生后向分支. 接下來研究Hopf分支以及尖點(diǎn)分支.

3.1 Hopf分支

在正平衡點(diǎn)Ei(i=1,2,4)處，當(dāng)tr(JEi)=0時(shí)，模型可能會發(fā)生Hopf分支，令x=S-S*，y=I-I*，將模型(2)在原點(diǎn)泰勒展開可得

(8)

其中

其中，Δ=a0d0-b0c0=det(JE2)>0，可以得到下面的定理：

定理5對于模型(2)，當(dāng)σ<0時(shí)，模型發(fā)生超臨界Hopf分支； 當(dāng)σ>0時(shí)，模型發(fā)生亞臨界Hopf分支； 當(dāng)σ=0時(shí)，模型發(fā)生Bautin分支.

3.2 尖點(diǎn)分支

由定理2的分析可知，當(dāng)Δ=0時(shí)，兩個正平衡點(diǎn)E3和E4合并為一個正平衡點(diǎn)E*，此時(shí)det(E*)=0.如果tr(E*)=0，正平衡點(diǎn)的特征方程有兩個零特征值，模型(2)會發(fā)生B-T分支.

定理6正平衡點(diǎn)E*是一個余維2的尖點(diǎn)，也是一個B-T分支點(diǎn).

證明令x=S-S*，y=I-I*，然后將模型(2) 在原點(diǎn)泰勒展開成式(8)，同時(shí)作變換X=x，Y=a0x+b0y，可以得到

(9)

其中

作近似恒等變換

v=Y+α20X2-β02XY.

可以得到

(10)

因此，當(dāng)β11+2α20≠0時(shí)，E*是一個余維2尖點(diǎn)，當(dāng)β11+2α20=0時(shí)，至少是余維3的.

4 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證正平衡點(diǎn)的存在性，取r=0.05，k=20，β=0.033，μ=0.001，c=0.027，b=0.1，繪制I隨R0變化的曲線.由圖 1 可以看出，正平衡點(diǎn)的個數(shù)隨著R0的變化而變化.當(dāng)R0較小時(shí)，模型不存在正平衡點(diǎn)； 當(dāng)R0=0.858時(shí)，模型存在一個正平衡點(diǎn)； 當(dāng)R0取值在0.858～1之間時(shí)，模型存在兩個正平衡點(diǎn)； 當(dāng)R0≥1時(shí)，模型存在一個正平衡點(diǎn).

圖 1 模型(2)平衡點(diǎn)個數(shù)隨R0變化的分支圖

下面驗(yàn)證Hopf分支以及極限環(huán)的存在性，選擇第1個Hopf分支點(diǎn)作為初始點(diǎn)，以R0為分支參數(shù)，繪制極限環(huán)曲線，如圖 2 所示.

圖 2 以第1個Hopf分支點(diǎn)為初始點(diǎn)的分支圖

由圖 2 可以看出，在第1個Hopf分支點(diǎn)附近形成一個不穩(wěn)定的極限環(huán)且在第2個Hopf分支點(diǎn)附近消失.

然后，以第3個Hopf分支點(diǎn)為初始點(diǎn)，以R0作為分支參數(shù)，繪制極限環(huán)曲線，如圖 3 所示. 由圖 3 可以看出，在第3個Hopf分支點(diǎn)附近形成一個不穩(wěn)定極限環(huán)后趨于穩(wěn)定，最后消失.

圖 3 以第3個Hopf分支點(diǎn)為初始點(diǎn)的分支圖

固定參數(shù)r=0.027 412 217，k=20，μ=0.001，c=0.5，b=0.2，d=0.027，隨著參數(shù)β的變化模型會發(fā)生倍周期分支，如圖 4 所示.

圖 4 模型(2)的倍周期分支曲線圖

選擇r，c作為分支參數(shù)，固定參數(shù)k=20，μ=0.001，b=2，d=0.027，模型會隨著分支參數(shù)的變化出現(xiàn)Bautin分支GH點(diǎn)、 B-T分支點(diǎn)以及尖分支CP點(diǎn)，如圖 5 和圖 6 所示.

圖 5 模型(2)的Bautin分支及B-T分支曲線圖

圖 6 圖5中BT點(diǎn)以及CP點(diǎn)的局部放大圖

以上數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果，變化的人口模型具有更加復(fù)雜的分支現(xiàn)象.

5 結(jié) 論

基于文獻(xiàn)[1]中的傳染病動力學(xué)模型，本文考慮logistic增長率和飽和治療項(xiàng)，建立了一個新的SIS傳染病模型. 首先確定了模型的可行域和基本再生數(shù)，分析發(fā)現(xiàn)模型正平衡點(diǎn)的個數(shù)會隨著R0的變化發(fā)生改變； 其次，分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，利用規(guī)范型理論，研究模型出現(xiàn)的分支現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)模型不僅出現(xiàn)余維1的跨臨界、 叉形、 后向和Hopf分支，還會出現(xiàn)Bautin分支和至少余維2的尖點(diǎn). 通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，模型經(jīng)歷了倍周期分支和B-T分支. 分析結(jié)果拓展了人們對疾病控制影響因素的認(rèn)識，在控制長期傳播的傳染病時(shí)，不僅要考慮到醫(yī)療資源的限制，而且要充分考慮人口增長的影響.