◎韓 強(qiáng)

(山東省東營(yíng)市利津縣鳳凰實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 東營(yíng) 257400)

2020年江蘇無(wú)錫中考題：二次函數(shù)=-3+3的圖像過(guò)點(diǎn)(6,0)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，若△是以為直角邊的直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______

一、基本解法展示

基本解法1：=-3+3，當(dāng)=0時(shí)，=3，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，又∠=∠=90°，

∴△∽△，

∴=6，

圖1

圖2

基本解法2：=-3+3，當(dāng)=0時(shí)，=3，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，

=+=6+3=45,

∵∠=90°，

∴=+，

=+=6+3=45,

∵∠=90°，

∴=+，

二、兩種基本解法的聯(lián)系與區(qū)別

基本解法1主要運(yùn)用的是相似三角形的知識(shí)，基本解法2則主要運(yùn)用的是勾股定理的知識(shí)兩種解法都是經(jīng)典的巧妙解法，基本解法1創(chuàng)造性水平極高，是把“直角三角形存在”的條件進(jìn)行了等價(jià)替換，使之轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)直角三角形相似，然后運(yùn)用分式方程求解，基本解法2是相對(duì)直接的思路，它直接運(yùn)用勾股定理得到關(guān)系式，設(shè)定參數(shù)，并運(yùn)用直角三角形中的勾股關(guān)系表達(dá)目標(biāo)直角三角形的三邊平方，列整式方程求解解法1構(gòu)圖精妙，解法2計(jì)算絕妙，根本區(qū)別還是思維的方向和運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的不同解法1相對(duì)來(lái)說(shuō)屬于“曲線救國(guó)”，適合思維能力較強(qiáng)的學(xué)生掌握，解法2則表現(xiàn)得比較直來(lái)直去，適合思維能力較弱的學(xué)生掌握教師在教學(xué)中兩種解法都應(yīng)教給學(xué)生，但是應(yīng)把解法2放在前面講授

其實(shí)，勾股定理何嘗不是由幾個(gè)相似直角三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系式推演得到的呢？射影定理中就包含了三個(gè)直角三角形循環(huán)相似的內(nèi)容和勾股定理的結(jié)論這是直角三角形存在性問(wèn)題能有兩種基本解法的根本原因直角三角形存在性問(wèn)題的最主要的條件就是“直角的存在”，我們將“存在直角”的條件理解成兩個(gè)銳角互余的條件，就有了尋找兩個(gè)直角三角形相似的解法1，而將“存在直角”的條件理解成三邊所滿足的勾股關(guān)系的條件，就有了直接列出整式方程的解法2解法1還有“弦外之音”，值得深究和挖掘，而解法2就顯得“孤苦伶仃”了我們不妨把解法1叫作相似轉(zhuǎn)化法，把解法2稱為勾股定理法

三、相似轉(zhuǎn)化法的構(gòu)圖策略

由解法1的構(gòu)圖思路，我們將和相似無(wú)關(guān)的條件刪除，把二次函數(shù)的背景刪除，不難發(fā)現(xiàn)，基本的圖形有下面兩種，如圖3和圖4

圖3

圖4

其實(shí)，構(gòu)造相似的直角三角形就是解法1的基本策略我們只有構(gòu)造出合適的圖形才能利用相似列出需要的比例式，并利用分式方程求出線段長(zhǎng)下面的兩道中考題就是該題型與反比例函數(shù)和矩形結(jié)合的例子

圖5

圖6

圖7

2020年山東煙臺(tái)中考題：如圖8，在矩形中，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若=3，=5，則tan∠的值為( )

圖8

(勾股定理法)∵四邊形為矩形，

∴==5，==3，

∵矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，

∴=-=5-4=1

設(shè)=，則==3-在Rt△中，

∵+=，

故選D.

試思考一下，用第一種基本解法——相似轉(zhuǎn)化法如何求解？

四、直角三角形存在性問(wèn)題的特殊解法

這類(lèi)問(wèn)題中有的加了限定條件“以某條已知線段為直角邊”，這樣直角三角形存在的可能情況就減少了，不加此條件答案一般有四種

圖9

圖10

存在如圖10所示，

(1)當(dāng)⊥時(shí)，△為直角三角形，

根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，

又∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

(2)當(dāng)′⊥時(shí)，△′為直角三角形，

又∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，0)，

五、兩種基本解法的選擇方案

盡管兩種基本解法都是萬(wàn)能的，但是不同題目的特點(diǎn)決定了我們選擇哪種方法一般情況下，如2020年江蘇省無(wú)錫市的中考題加了直角邊限定條件，構(gòu)圖比較簡(jiǎn)單，我們可以用相似轉(zhuǎn)化法，如果沒(méi)有這個(gè)條件，我們就直接用勾股定理法如下面的題目和解析，我們單純從得分和省時(shí)間的角度看，直接用勾股定理便于分類(lèi)，且不必畫(huà)太多的圖下面的中考改編題有四個(gè)答案，我們?nèi)绻没窘夥?，必須完成四個(gè)圖，非常煩瑣，若直接用勾股定理法，則后面的解析步驟整齊簡(jiǎn)潔

圖11

∵(-3，2)，(5，-2)，