廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

空間距離是立體幾何的重要內(nèi)容，是高考熱點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)，它包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、平行線間的距離、異面直線間的距離、直線到平面的距離、平行平面間的距離等.

1 兩點(diǎn)間的距離

即空間任意兩點(diǎn)間的距離等于從其中一點(diǎn)指向另一點(diǎn)的向量的長度.

例1 (2013年北京卷文8)如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P為對角線BD1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有( ).

圖1

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)

分析建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為3，可得各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論.

解析以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為3，則A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(3,3,3),C1(0,3,3),D1(0,0,3).

圖2

所以P(2,2,1).

點(diǎn)評本題主要考查空間中兩點(diǎn)間的距離的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等核心素養(yǎng).選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

圖3

(1)求MN的長.

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最??？

2 點(diǎn)到直線的距離

圖4

即直線外一點(diǎn)到直線的距離等于從直線上某定點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量與其在直線上的投影向量的平方差的算術(shù)平方根.

求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求直線上某定點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量和直線的方向向量；

(3)代入公式計(jì)算.

平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

例2(2010年全國Ⅱ卷理11)與正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)( ).

A.有且只有1個(gè) B.有且只有2個(gè)

C.有且只有3個(gè) D.有無數(shù)個(gè)

解析點(diǎn)D,B1顯然滿足條件，下面證明直線DB1上的點(diǎn)都滿足條件.

圖5

點(diǎn)P到AB的距離

同理可得點(diǎn)P到CC1的距離

點(diǎn)P到D1A1的距離

所以d1=d2=d3，故選D.

點(diǎn)評本題主要考查空間中點(diǎn)到直線的距離的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系，正確運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

變式2(2009年湖南卷理7)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

3 點(diǎn)到平面的距離

圖6

即平面外一點(diǎn)到平面的距離等于從平面內(nèi)某定點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量在平面法向量方向的投影向量的長度.

求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求平面內(nèi)某定點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量和平面的法向量；

(3)代入公式計(jì)算.

直線到平面的距離、兩平行平面間的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

例3 (2019年上海卷17)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1上一點(diǎn)，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5,求點(diǎn)A到平面A1MC的距離.

圖7

取z=2，得n=(2,1,2).

所以點(diǎn)A到平面A1MC的距離

點(diǎn)評本題主要考查點(diǎn)到平面的距離的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是正確求出平面的法向量，準(zhǔn)確運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離公式，屬于中檔題.

圖8

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

分析(1)先證PO⊥AD，再利用面面垂直的性質(zhì)定理，就能證明PO⊥平面ABCD.

解析(1)在△PAD中，因?yàn)镻A=PD，O為AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD.

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.

因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，所以O(shè)C⊥AD.

又由(1)知OC,OD,OP共點(diǎn)且兩兩垂直.

以O(shè)為原點(diǎn)，OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖9所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).

圖9

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

解得x=y=z.

取x=1，得n=(1,1,1).

設(shè)Q(0,y,0)(-1≤y≤1)，

點(diǎn)評本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查與空間距離有關(guān)的探索性問題的解法等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系，建立方程模型進(jìn)行求解，屬于中檔題.

變式3(2013年上海卷理19)在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1.證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離.

四、異面直線間的距離

圖10

即異面直線間的距離等于從其中一條直線上的某定點(diǎn)指向另一條直線上的某定點(diǎn)的向量在公垂線上的投影向量的長度.

求異面直線間的距離的一般步驟是：

(1)選擇適當(dāng)?shù)奈恢媒⒖臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求一條直線上的某定點(diǎn)指向另一條直線上的某定點(diǎn)的向量和公垂線的方向向量；

(3)代入公式計(jì)算.

例5(2013年北京卷理14)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為____.

分析點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值就是異面直線D1E與CC1間的距離.

圖11

取x=2，則y=-1，所以n=(2,-1,0).

故點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值

點(diǎn)評本題主要考查異面直線間的距離的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是把求點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值問題轉(zhuǎn)化為異面直線D1E與CC1間的距離問題，屬于中檔題.

變式4(1989年全國卷理18)已知圓柱的底面半徑是3，高是4，A,B兩點(diǎn)分別在兩底面的圓周上，并且AB=5，那么直線AB與軸OO′之間的距離等于____.