巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校 723102)

顧沛教授說數(shù)學文化包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系以及數(shù)學與各種文化的關(guān)系等.新課標中多次指出要將數(shù)學文化融入課程內(nèi)容、融入數(shù)學教學活動中和滲透在日常教學中，體現(xiàn)出時代性，特別是如何將數(shù)學史和數(shù)學美融入數(shù)學課堂教學是數(shù)學教育領(lǐng)域的一個重要課題，通過讓學生了解數(shù)學概念的發(fā)生過程和思想方法的形成過程，一方面可以使學生感受豐富多彩的數(shù)學文化底蘊，做好文化傳承，激發(fā)數(shù)學學習的興趣，另一方面也有助于學生對數(shù)學概念本質(zhì)的理解和其思想方法的掌握.

1 數(shù)學文化命題統(tǒng)計以及特點分析

1.1 近五年數(shù)學文化命題統(tǒng)計

表1 2017-2021年高考卷中數(shù)學文化命題特點統(tǒng)計

1.2 數(shù)學文化命題特點分析

從以上統(tǒng)計我們可以看到：(1)數(shù)學文化背景題理科考查比文科多.全國卷基本每年都有涉及，已經(jīng)成為常態(tài)，通過對比，每年題量相當；(2)可以看出題型以選擇填空題呈現(xiàn)，并且以中國古代文化瑰寶文獻摘取居多，國外文化藝術(shù)也有涉及，比例不大.全國卷以外的浙江卷除了2020年每年都會涉及數(shù)學文化題，都是關(guān)于中國古代文化；(3)從考查知識點內(nèi)容可以看出有解三角形、幾何體體積、圖形面積、數(shù)列以及求和、幾何概型、古典概型、曲線與方程以及不等式等；(4)數(shù)學文化為背景的考查最終落腳點還是數(shù)學基礎知識的考查，由于閱讀量較大和語境陌生等原因，題的難度才會加大，只有在平時加強閱讀量，才能夠很快進入題意語境，理解題意，分析題意，然后通過學過的數(shù)學工具去解決問題.

2 命題趨勢與經(jīng)典例題賞析

2.1 以中國文化瑰寶為背景

我國歷史源遠流長，燦爛文化更是民族的驕傲，由于語言的障礙，今天的我們對老祖宗留下的財富知之甚少，對其研究者更是寥寥無幾.盡管古代研究沒有像西方那樣形成研究風尚，讓更多的國人通曉其精妙之理，但我們的研究功不可沒，造詣更是非凡，比如《數(shù)書九章》《周易》《數(shù)術(shù)記遺》《四元玉鑒》《算經(jīng)十部》等很多成果領(lǐng)先其他國家很多年之久.借助今日體系之研究，理解古人博大的文化底蘊，增強民族自豪感，以此激勵更多的人在學術(shù)無國界的知識海洋里探索、追求尋找更加奇妙的萬物之規(guī)律，為人類造福祉，為求真理孜孜不倦.

圖1

故選B.

評注《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十部》中最重要的一部，總結(jié)了戰(zhàn)國秦漢時期的數(shù)學成就，最早提到分數(shù)問題、盈不足問題、負數(shù)和加減運算法則問題等，分別囊括“方田”(平面幾何圖形面積計算包括長方形、三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形和圓環(huán)以及分數(shù)四則運算)、“粟米”(谷物糧食比例折換和比例分配法則)、“衰分”(比例分配問題)、“少廣”(已知面積和體積求邊長、開平方和開立方)、“商功”(土石工程、體積計算和工程分配方法)、“均輸”(正反比例、比例分配、復比例和連鎖比例等)、“盈不足”(雙設法問題、盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足等問題)、“方程”(一次方程組、分離系數(shù)表示線性方程組即矩陣、矩陣初等變換、負數(shù)、正負數(shù)加減法則和正負數(shù)乘除法)、“勾股”(勾股數(shù)問題)等九個方面.

例2(2021屆西安中學模擬)《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法.某研究性學習小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有( ).

評注此題主要考查排列組合計算，考查平均分組是需要注意的地方，考查本身與書中算法沒有關(guān)系，從表面形式讓學生了解古代文化經(jīng)典的大概內(nèi)容.

2.2 以外國數(shù)學文化為背景

柏拉圖說，打開宇宙之謎的鑰匙是數(shù)學和幾何圖形.外國數(shù)學發(fā)展以追求理性為動力，特別是早期古希臘哲學家以畢達哥拉斯最為出名，開始了研究數(shù)學的傳統(tǒng)，還有亞里士多德對于理論科學特別是數(shù)學的研究，被他稱為形而上學的第一哲學，學問之起點.當然還有泰勒斯、歐幾里得、阿基米德、高斯、牛頓、笛卡爾、柯西和泰勒等數(shù)學家的研究，讓數(shù)學的皇冠耀眼輝煌，充滿真理光輝，照耀著萬物生靈，啟迪著未來智慧.

圖2

B．記第n個圖形的邊數(shù)為an，則an+1=4an；

D．記第n個圖形的面積為Sn，則對任意的n∈N+，存在正實數(shù)M，使得Sn

由各個圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列且q=4，所以an=3·4n-1，所以B正確；

當n→∞時，圖形無限接近于圓，可得Sn

故選BCD.

評注“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺”，北京奧運會的火炬在一朵巨大的雪花中閃爍升騰，張藝謀用“一朵雪花的故事”講述國人奧運精神，科赫探尋雪花的奧秘后提出了著名的“雪花”曲線.

例4(2021屆衡水中學模擬)卡西尼卵形線是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的．在數(shù)學史上，同一平面內(nèi)到兩個定點(叫做焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線．已知卡西尼卵形線是中心對稱圖形且有唯一的對稱中心．若某卡西尼卵形線C兩焦點間的距離為2，且C上的點到兩焦點的距離之積為1，則C上的點到其對稱中心距離的最大值為( ).

解析設左、右焦點F1，F(xiàn)2的中點為坐標原點，F(xiàn)1,F2所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則F1(-1,0),F2(1,0)．

設曲線上任意一點P(x,y)，則

化簡得該卡西尼卵形線的方程為(x2+y2)2=2(x2-y2)，顯然其對稱中心為(0,0)．

故(x2+y2)2=2(x2-y2)=-4y2≤0.

所以(x2+y2)2≤2(x2-y2).

所以0≤x2+y2≤2.

故選B.

評注卡西尼卵形線是天文學家喬凡尼·卡西尼對卵形線的研究結(jié)果，他還是第一個發(fā)現(xiàn)土星的四個衛(wèi)星的人，發(fā)現(xiàn)了土星光環(huán)間的暗縫即卡西尼縫，有個以他命名的土星探測器“卡尼西號”.

2.3 以科技成果和生活日常為背景

日新月異的今天，現(xiàn)代科技的發(fā)展使得數(shù)學發(fā)展顯得尤為重要.懷特說工匠后面是化學家，化學家后面是物理學家，物理學家后面是數(shù)學家.數(shù)學是一切科學的起點，數(shù)學也造就了今日科技發(fā)展，借助新的科技成果，讓學生走近科學和了解科學，解開科技神秘面紗，讓學生知道平時所學即是現(xiàn)代科技的基礎，從而坦步走進科學殿堂，追尋真理智慧之光.

例51970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開啟了人造衛(wèi)星的新篇章，人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.如圖3，設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論不正確的是( ).

圖3

A．衛(wèi)星向徑的最小值為a-c

B．衛(wèi)星向徑的最大值為a+c

C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁

D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大

解析根據(jù)題意，向徑為衛(wèi)星與地球的連線，即橢圓上的點與焦點連線的距離.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)有：衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，衛(wèi)星向徑的最大值為a+c，所以A,B正確.

衛(wèi)星運行速度在近地點時,其向徑最小，由衛(wèi)星的向徑在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，則衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，同理在遠地點時最小，所以D不正確.

例6(2022屆合肥市聯(lián)考)如圖4，奧運五環(huán)由5個奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個造形為一個底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機構(gòu)定制一批奧運五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為( ).

圖4

解析如圖5所示，由題意可知|AB|=2.6.

圖5

在△ABC中，取AB的中點D，連接CD，所以|BD|=1.3，|CD|=1.1.

又因為AC=BC，所以AB⊥CD.

除了以上介紹的數(shù)學文化命題，還有很多，比如南宋楊輝的《日用算法》中有度量衡換算、土地丈量、倉窖容積、建筑工程、商品交換以及日常生活中與數(shù)學有關(guān)的問題，《楊輝算法》中記錄了世界上第一個排列縱橫圖(即幻方)，并且從中總結(jié)出構(gòu)成規(guī)律的理論知識，改進乘除計算算法；垛積術(shù)即高級等差數(shù)列的研究以及等差數(shù)列求和公式；楊輝三角(準確說是賈憲三角)是二項式系數(shù)在三角形中的幾何排列.我國古代樂理、圍棋、中藥和建筑等方面都有很深的造詣.外國數(shù)學文化題也有很多，比如歐拉線、斐波那契數(shù)列和高斯函數(shù)等.教學過程中應該關(guān)注數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，關(guān)注時政與數(shù)學的應用，關(guān)注數(shù)學與科技的融合，更應該關(guān)注新教材和新課標下的數(shù)學文化滲透和教學，重視課本閱讀材料和例題應用，以此內(nèi)化數(shù)學核心素養(yǎng)，落實立德樹人的任務.