屈建龍，徐成輝，王 偉，周震寰，徐新生

（1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，遼寧 大連 116024；2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072）

0 引言

自然纖維增強復(fù)合材料因其重量輕、生物降解性好、比強度高等優(yōu)點，被用于制造梁、板、殼等基本構(gòu)件，廣泛應(yīng)用于航空航天、建筑、核工業(yè)等領(lǐng)域[1]，針對這種材料也產(chǎn)生了許多強度理論[2].通常情況下，結(jié)構(gòu)中的裂紋會引起強度和剛度的損失，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有振動頻率和模態(tài)振型發(fā)生變化.因此可以根據(jù)損傷前后振動參數(shù)的變化來進行結(jié)構(gòu)的裂紋損傷檢測[3].對于結(jié)構(gòu)損傷識別問題，可通過分析含裂紋結(jié)構(gòu)的頻移，檢測出裂紋的幾何尺寸和位置等[4].采用固有頻率頻移原理，對梁裂紋參數(shù)識別問題的研究已經(jīng)比較成熟，但對于板類結(jié)構(gòu)的損傷識別研究[5]尚待深入.由于纖維增強復(fù)合材料板的廣泛應(yīng)用，建立其損傷或裂紋識別方法越來越重要.針對含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板結(jié)構(gòu)，采用線彈簧模型理論和哈密頓體系相結(jié)合的方法，獲得薄板結(jié)構(gòu)自由振動頻率和模態(tài)函數(shù)的解析解，并根據(jù)頻移可對裂紋的位置和長度進行識別.

1 基本問題

考慮中心開裂的自然纖維增強復(fù)合材料薄板，板的長、寬、高分別為a、b、H，見圖1.自然纖維的方向與x軸平行，坐標(biāo)系位于板的中面.裂紋的長度為ac，與x軸平行，裂紋中線和板中面的距離為d，見圖1（b）.考慮裂紋深度hc，裂紋高度與板厚之比為s=hc/H.當(dāng)d/H= 0 時，為中心對稱裂紋；當(dāng)d/H= ( 1 ?hc/H)/2時，為表面裂紋；當(dāng)0

圖1 含中心裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板Fig.1 schematic diagram of natural fiber reinforced composite plate with a central crack

自然纖維材料性質(zhì)受濕熱老化的影響，采用文獻[1]的力學(xué)性質(zhì)老化模型，得到自然纖維增強復(fù)合材料薄板的材料參數(shù)為

式中，E11、E22為楊氏模量；G12為剪切模量；υ12為泊松比；f為纖維板中纖維質(zhì)量分數(shù)；γs和γl為描述吸水和濕熱老化的函數(shù)，無量綱，與剪切模量G、纖維含量f和老化時間t密切相關(guān).剪切模量G，GPa， 老 化 時 間γl=?fTte xp(?fTt) ? e xp(?fTt)+ 1 ； 密 度 為kg/m3.這里ρ0是初始時刻（t= 0）的密度.相關(guān)計算參數(shù)[1]可以通過與實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合方式獲得：G= 0.104GPa，= 9 0.870，= 7.3459，= 2 00.0104，χs= 0.6171，D= 5 6.18hN/m2和T= 0.1/h，其中為無量綱參數(shù)，有關(guān)參數(shù)的具體含義可參考文獻[1]和文獻[6].

根據(jù)薄板理論和線彈簧模型（LSM），含裂紋纖維增強復(fù)合材料薄板的動力學(xué)方程可以表示為[7]

由裂紋引起的力和彎矩可以利用線彈簧模型得到.線彈簧模型的核心思想是建立裂紋位置和板邊的拉伸和彎曲力之間的關(guān)系.該關(guān)系可以表示為這里

其中，αbb、αtb和ttα分別表示裂紋中心的彎曲、拉伸彎曲和拉伸裂紋柔度系數(shù).這3個系數(shù)是裂紋深度、板厚和裂紋位置的函數(shù)，可以通過曲線擬合應(yīng)力強度因子形狀函數(shù)獲得[8].

含裂紋復(fù)合材料矩形板的邊界條件可以表示為

①簡支邊界條件（S）

②固支邊界條件（C）

③自由邊界條件（F）

式中，剪力Vx和Vy為

其中，d1=D12+ 4D66.

2 導(dǎo)入哈密頓體系

為了導(dǎo)入含裂紋復(fù)合材料薄板振動問題的哈密頓對偶方程，將y模擬時間坐標(biāo)，即并記 ? /?x=?x.定義狀態(tài)向量為

式（8）為哈密頓對偶方程，其中哈密頓算子矩陣H及相應(yīng)的子矩陣為

式 中 ，κx1=D11(1 ?ξMx)，κx2=Nx(1?ξMx)，κ=?ρHω2(1 ?ξ)，κ=? (D+ 4D)(1 ?ξ)

x3Mxx41266Mx和κx5=?Ny(1 +ξNx)(1 ?ξMx).

為了哈密頓對偶方程的求解，考慮對邊（x= 0和x=a）簡支邊界條件.哈密頓對偶方程可以通過分離變量法求解.

假設(shè)Ψ(x,y) =ψ(x) exp (μy)，得特征方程為

式中，μ和ψ分別為辛本征值和本征解.

利用x= 0和x=a邊簡支邊界條件，得到本征值和本征解為

式（10）、式（11）中，n= 1 ,2,3,…，和αn=nπ /a.狀態(tài)向量可以表示為本征解

式中，μn2=?μn1，μn4=?μn3；cni為未知系數(shù)，可以通過y= 0和y=b的邊界條件確定.

3 振動頻率方程

將對應(yīng)于y= 0和y=b的邊界條件代入式（12），得到不同邊界條件下含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板的固有頻率方程.

（1）簡支-簡支（SSSS）

對于四邊簡支的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，將式（12）代入式（3），得到頻率方程為

（2）固支-固支（SCSC）

對于對邊簡支另一對邊固支的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，利用式（4）得到頻率方程為

（3）簡支-固支（SSSC）

對于三邊簡支另一邊固支的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，借助于式（12）、式（3）和式（4），頻率方程可以寫為

（4）自由-自由（SFSF）

對于對邊簡支另一對邊自由的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，將本征解式（12）代入邊界條件式（5），得出頻率方程為

（5）簡支-自由（SSSF）

對于三邊簡支另一邊自由的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，頻率方程可通過式（12）、式（3）和式（5）得到

（6）固支-自由（SCSF）

對于一對邊簡支另一對邊固支和自由的含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板，將式（12）代入邊界條件式（4）和式（5），頻率方程可表示為

將計算出的頻率代入相應(yīng)邊界條件方程，從而可以得到關(guān)于式（12）中未知系數(shù)cni的代數(shù)方程組，并確定出各未知系數(shù).此時，本征解可以直接表示為模態(tài)函數(shù).

4 數(shù)值算例與分析

為驗證辛方法的準(zhǔn)確性，與其它文獻進行對比.考慮含裂紋各向同性矩形薄板，H/a= 0.01，泊松比υ= 0.3.文獻[7]、文獻[8]前2階固有頻率與本文辛方法算出的頻率對比見表1.從表1中可以看出，本文計算結(jié)果與文獻[7]、文獻[8]給出的結(jié)果在不同裂紋長度下的固有頻率相吻合.從上述對比算例可知，辛方法在求解含裂紋矩形薄板自由振動問題是有效和可靠的.

表1 不同方法前2階固有頻率對比Tab.1 comparisons of the first two natural frequencies that calculated by different methods

下面將討論不同邊界條件下，自然纖維增強復(fù)合材薄板振動頻率在不同參數(shù)變化下的改變情況，在計算中取H/a= 0.05.當(dāng)薄板中自然纖維的含量f為10%，老化時間t等于100 h時，圖2和圖3分別給出了前2階含裂紋薄板頻移隨裂紋長度和深度的變化情況.從圖2和圖3中可見，頻移隨裂紋長度的增大而增大，隨裂紋深度的增大而減?。粌?nèi)裂紋（d/H< 0.2）和表面裂紋（d/H= 0.2）的頻移趨勢明顯不同.對于內(nèi)裂紋，裂紋長度ac/a< 0.1時，頻移急劇增大，頻移對微裂紋非常敏感.而表面裂紋隨裂紋長度增大的趨勢比較平緩.還有頻移在裂紋深度d/H> 0.15時，有突然急劇減小的趨勢，這是因為在d/H≥ 0.15時，3個裂紋系數(shù)αbb、tbα和ttα突然增大導(dǎo)致薄板的剛度發(fā)生突變[9].本算例表明，可以結(jié)合前 2階頻率的頻移的變化情況，對自然纖維增強復(fù)合材料薄板的裂紋長度和深度進行損傷識別.

圖2 含裂紋SSSS薄板頻移隨裂紋長度和深度的變化Fig.2 variation of frequency shift versus crack length ratio and crack depth ratio for the cracked SSSS plate

圖3 含裂紋SFSF薄板頻移隨裂紋長度和深度的變化Fig.3 variation of frequency shift versus crack length ratio and crack depth ratio for the cracked SFSF plate

此外，研究不同裂紋長度和自然纖維含量下，含中心對稱裂紋（d/H= 0）SCSC自然纖維增強復(fù)合材料薄板頻移隨老化時間的變化情況，見圖4.從圖4中可以看出，當(dāng)薄板中自然纖維含量較低時（f=5%），頻移的變化趨勢單調(diào)下降，最后趨于平穩(wěn)；當(dāng)自然纖維含量較高時（f= 15%），頻移隨時間的增大，先下降然后增大最后趨于平穩(wěn).這是由于自然纖維材料吸水，密度隨時間先增大，然后由于濕熱老化，密度隨時間而減小，最后老化時間很長時，密度接近一定值.在這種情況下，密度和彈性模量幾乎保持不變.本算例表明，自然纖維的含量對薄板頻移的影響很大.因此，在對自然纖維增強復(fù)合材料薄板裂紋進行識別時，應(yīng)該先評估自然纖維的含量.

圖4 含裂紋SCSC薄板頻移隨老化時間的變化Fig.4 variation of frequency shift versus ageing time for the cracked SCSC plate

5 結(jié)論

利用線彈簧模型和辛方法，可將含裂紋自然纖維增強復(fù)合材料薄板固有頻率和振型問題歸結(jié)為哈密頓體系下的辛本征值和本征解問題.在哈密頓體系下，可直接獲得含裂紋纖維增強復(fù)合材料薄板的固有頻率和模態(tài)函數(shù)的解析解，以及頻率方程表達式.通過數(shù)值結(jié)果對比表明，辛方法具有較高的計算精度.研究結(jié)果表明，振動頻移隨板中自然纖維的含量，老化時間和裂紋長度與深度的變化而改變.頻移隨裂紋長度的增大而增大，隨裂紋深度的增大而減小.因而，可根據(jù)頻移規(guī)律識別相應(yīng)裂紋的位置和長度等.該方法為纖維增強復(fù)合材料薄板的裂紋或損傷的識別提供一種方法和依據(jù).