劉子心，姜云木，劉章軍，阮鑫鑫

（1.防災(zāi)科技學(xué)院中國地震局建筑物破壞機(jī)理與防御重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北三河 065201；2.武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北武漢 430074）

引言

研究表明，地震動不僅具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，同時(shí)具有明顯的序列性，即在一次主震后往往會伴隨著多次余震的發(fā)生，例如2008年汶川地震，在主震后共發(fā)生了13 718次余震，且余震最高震級達(dá)6.5級。由此可見，余震不僅數(shù)量較多，且部分震級較大，成為結(jié)構(gòu)二次破壞的主要因素。然而，由于主余震型地震動實(shí)測記錄數(shù)量有限，且需要對實(shí)測強(qiáng)震記錄進(jìn)行一定處理才能滿足結(jié)構(gòu)抗震分析的需求，因此，采用人工合成方法生成主余震型地震動時(shí)程近年來受到了廣泛關(guān)注。

為了構(gòu)造主余震型地震動，近年來學(xué)者們開展了對主余震參數(shù)關(guān)系的研究。歐進(jìn)萍等［1］根據(jù)49 組主余震震級資料，線性回歸了主余震間震級的經(jīng)驗(yàn)公式；周昱辰等［2］利用蘆山的實(shí)測主余震強(qiáng)震記錄，研究了4 種地震預(yù)警震級估計(jì)參數(shù)隨震級與時(shí)間的變化趨勢；Zhang 等［3］以線性回歸的方式，較為全面地研究了主余震間在持時(shí)、幅值和頻譜方面的關(guān)系。上述研究為人工合成主余震型地震動奠定了良好基礎(chǔ)。一般來說，主余震型地震動的人工合成方法大致可分為確定性方法與隨機(jī)方法兩大類。對于確定性方法，Hatzigeorgiou等［4］提出了采用重復(fù)法構(gòu)造主余震序列，該方法假設(shè)主余震的特性一致，但這明顯不符合實(shí)際狀況；Li 等［5］提出了隨機(jī)組合法構(gòu)造主余震序列，即從主震和余震記錄庫中分別隨機(jī)挑選出一條地震動記錄組合成主余震序列，然而，該方法得到的主余震序列在本質(zhì)上不具有隨機(jī)性。對于隨機(jī)方法，Hu等［6］利用調(diào)幅過濾白噪聲方法生成主震過程，再根據(jù)分支余震序列法生成余震。然而，該方法屬于Monte Carlo 方法，無法在概率層面上精確描述主余震過程；姜云木等［7］基于Copula 函數(shù)，建立了主余震參數(shù)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，并引入正交隨機(jī)變量的隨機(jī)函數(shù)方法，從而實(shí)現(xiàn)了給定主震參數(shù)條件下余震的高效模擬。然而，該研究采用了時(shí)-頻全非平穩(wěn)演變功率譜模型，由于該模型在時(shí)頻域相互耦合，因此在識別主余震參數(shù)時(shí)不可避免地引入了誤差。同時(shí)，該研究將主余震型地震動視為2 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)過程，并沒有考慮主余震間的相干性，需要進(jìn)行2 次模擬才能得到主余震型代表性時(shí)程。綜上可見，亟需發(fā)展一種能夠在概率層面上一體化高效模擬主余震型地震動的方法。

為此，本研究將主余震型地震動視作一個(gè)隨機(jī)向量過程。首先，根據(jù)實(shí)測強(qiáng)震記錄，建立了主余震相干函數(shù)模型；其次，根據(jù)地震動的能量曲線與反應(yīng)譜，對主余震的演變功率譜模型參數(shù)進(jìn)行識別，并給出了對應(yīng)不同場地的所有參數(shù)取值；最后，結(jié)合基于本征正交分解（POD）的隨機(jī)函數(shù)方法［8-9］，實(shí)現(xiàn)了主余震向量過程的降維模擬。數(shù)值算例驗(yàn)證了主余震相干函數(shù)模型的正確性以及參數(shù)識別方法的有效性。值得說明的是，采用隨機(jī)函數(shù)-降維模擬方法生成的每一條主余震型代表性時(shí)程均具有賦得概率，且代表性時(shí)程集合構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，因此可與概率密度演化方法［10-11］相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)在主余震作用下的精細(xì)化動力響應(yīng)與可靠性分析。

1 主余震實(shí)測強(qiáng)震記錄的選取

文中從美國太平洋地震工程研究中心（PEER）的NGA-West2數(shù)據(jù)庫和中國國家地震科學(xué)數(shù)據(jù)共享中心（CSMNC）中篩選了20 次地震的488 組主余震實(shí)測記錄，基本信息如表1 所示。主余震記錄的篩選原則如下［12］：

表1 選取的主余震實(shí)測記錄基本信息［7］Table 1 The basic information of the measured main-aftershock records selected in this paper

（1）主震記錄與其對應(yīng)的余震記錄必須來自同一臺站；

（2）僅選取與主震對應(yīng)且震級最大的余震作為研究對象；

（3）斷層距離應(yīng)大于10 km，以減少近場效應(yīng)的影響；

（4）主震與余震的震級均應(yīng)大于4，以排除對結(jié)構(gòu)影響較小的地震動。

PEER 數(shù)據(jù)庫提供了VS,30作為場地劃分的依據(jù)，同時(shí)，文獻(xiàn)［13］給出了《中國地震動參數(shù)區(qū)劃圖》（GB 18306-2015）［14］中5 種場地類別與VS,30的對應(yīng)關(guān)系。然而，與PEER 數(shù)據(jù)庫不同，CSMNC 數(shù)據(jù)庫僅以Rock或Soil區(qū)分場地。根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011-2010）［15］中對場地的描述，文獻(xiàn)［16］建議Rock對應(yīng)Ⅱ類場地，Soil對應(yīng)Ⅲ類場地。綜上，文中選用的主余震實(shí)測記錄的場地類別與VS,30及地震數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系如表2所示。

表2 對應(yīng)于不同場地類別的VS,30 范圍及實(shí)測記錄數(shù)量［13］Table 2 The range of VS,30 and number of measured motion records corresponding to different site classifications

為保證實(shí)測強(qiáng)震記錄能夠滿足分析需求，還需對其進(jìn)行基線校正和四階Butterworth 濾波處理，以及在1%～99%的能量范圍內(nèi)進(jìn)行截取。

2 主余震的相干性分析

眾所周知，局部場地對地震動的頻譜特性有較大影響，而同一臺站記錄的主震和余震發(fā)生于同一局部場地，由此推知，主余震在頻譜特性上可能存在著某種相干性。為此，根據(jù)篩選的488 組實(shí)測強(qiáng)震記錄，對主震與余震之間的相干性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。為簡便起，將主震和余震均視為平穩(wěn)過程，則（遲滯）相干函數(shù)定義為：

式中：Sma(ω)為主震和余震過程的互功率譜密度函數(shù)；Sm(ω)與Sa(ω)分別為主震和余震過程的自功率譜密度函數(shù)。

對于任意一組主余震實(shí)測強(qiáng)震記錄，采用MATLAB 工具箱自帶的“cpsd”函數(shù)計(jì)算主余震的互功率譜，以及“pwelch”函數(shù)分別計(jì)算主震和余震的自功率譜，利用式（1）即可得到每組實(shí)測主余震的相干函數(shù)。圖1給出了II類和III類場地類別中典型主余震實(shí)測記錄的相干函數(shù)曲線。

圖1 II類和III類場地類別中典型主余震實(shí)測記錄相干函數(shù)Fig.1 Typical coherence function of the measured main-aftershock records for soil site classifications II and III

從圖1可知，在工程常用的頻率范圍(0～300) rad/s內(nèi)，主余震的相干性總體上隨著頻率的增加呈現(xiàn)遞減趨勢。為此，可采用前三階傅里葉級數(shù)模型對主余震的（遲滯）相干函數(shù)進(jìn)行擬合，即：

式中，λγ=(A,B1,C1,B2,C2,B3,C3,D)為傅里葉級數(shù)模型的參數(shù)向量。

在計(jì)算主余震的相干函數(shù)時(shí)，將每一組實(shí)測主余震記錄視作一個(gè)隨機(jī)過程，分別計(jì)算488組實(shí)測主余震記錄的相干函數(shù)，進(jìn)而得到它們的均值相干函數(shù)曲線，并根據(jù)最佳平方逼近原則，以γma(ω)為目標(biāo)值，對傅里葉級數(shù)模型的參數(shù)向量λγ進(jìn)行識別，即：

式中，截?cái)囝l率ωu=300 rad/s。傅里葉級數(shù)模型參數(shù)向量λγ的識別結(jié)果如表3所示。

表3 傅里葉級數(shù)模型的參數(shù)取值Table 3 Parameter values of the Fourier series model

進(jìn)一步，傅里葉級數(shù)模型與主余震實(shí)測記錄（遲滯）相干函數(shù)的擬合結(jié)果如圖2所示。

圖2 相干函數(shù)模型與實(shí)測記錄的擬合結(jié)果Fig.2 Fitting result between the coherence function model and the measured records

需要說明的是，文中并未對相干函數(shù)進(jìn)行場地類別分組處理，這是由于每一組實(shí)測主余震記錄均來自同一臺站，因此場地差異性對主余震相干性的影響可以忽略。

3 主余震過程的模型參數(shù)識別

3.1 非平穩(wěn)地震動過程的演變功率譜模型

為簡便起見，文中采用強(qiáng)度調(diào)制的演變功率譜密度函數(shù)形式［17］：

式中：SJ(ω,t;λJ)為非平穩(wěn)地震動過程的單邊演變功率譜密度函數(shù)；q(t;λq)為強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)；S(ω;λS)為平穩(wěn)地震動過程的單邊功率譜密度函數(shù)。

對于強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)，采用Amin-Ang提出的三段式模型，該模型反映了地震動過程的上升段、平穩(wěn)段和衰減段，其表達(dá)式為［18］：

式中，λq=(t1,t2,α)為強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)q(t;λq)的參數(shù)向量。對于平穩(wěn)地震動過程的單邊功率譜密度函數(shù)，采用經(jīng)典的Clough-Penzien模型［19］：

式中

式中：ωg和ξg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比；ωf和ξf分別為基巖的卓越圓頻率和阻尼比。一般地，可取ωf=0.1ωg，ξf=ξg。Amax為地震動峰值加速度的均值，為峰值因子。λS=為平穩(wěn)地震動過程功率譜S(ω;λS)的參數(shù)向量。

由此，非平穩(wěn)地震動過程的演變功率譜SJ(ω,t;λJ)的參數(shù)向量為

3.2 演變功率譜模型的參數(shù)識別

對于第i條實(shí)測強(qiáng)震記錄ai(t)，其隨時(shí)間變化的歸一化能量曲線Ii(t)可表示為［20］：

式中，Ti為第i條實(shí)測強(qiáng)震記錄的持時(shí)。

對于非平穩(wěn)地震動過程，其隨時(shí)間變化的歸一化模型能量曲線PJ(t;λJ)為：

根據(jù)式（9）與式（10），以Ii(t)為目標(biāo)值，采用最佳平方逼近原則，便可對參數(shù)向量λq,i進(jìn)行識別：

由此，即可得到與第i條實(shí)測強(qiáng)震記錄相對應(yīng)的強(qiáng)度調(diào)制函數(shù)參數(shù)向量λq,i=(t1,i,t2,i,αi)。

為了對平穩(wěn)地震動過程功率譜S(ω;λS)的參數(shù)向量進(jìn)行識別，首先，根據(jù)帕薩瓦爾定理，即信號在時(shí)域與頻域上的總能量相等，可得：

同時(shí)，令

于是，由式（12）和式（13）得到：

對于式（13），結(jié)合式（7）推導(dǎo)可知：

由于第i條實(shí)測強(qiáng)震記錄ai(t)的峰值加速度Amax,i是已知的，這樣，將所得的參數(shù)向量λq,i代入式（14）和式（15）中，即可得到與實(shí)測強(qiáng)震記錄ai(t)所對應(yīng)的峰值因子。

對于平穩(wěn)地震動功率譜的場地參數(shù)，可采用擬合反應(yīng)譜的方法來識別。為簡便起見，在對場地參數(shù)進(jìn)行識別時(shí)，將地震動視為等效平穩(wěn)過程。

Vanmarcke將隨機(jī)過程的反應(yīng)譜定義為單質(zhì)點(diǎn)體系反應(yīng)峰值系數(shù)的平均值與反應(yīng)均方差的乘積［21］。由此，對于第i條實(shí)測強(qiáng)震記錄ai(t)，其反應(yīng)譜與功率譜的轉(zhuǎn)換公式為：

式中：r(ω0;λq,i)為等效平穩(wěn)過程峰值系數(shù)的平均值；σ(ω0,ξ;λS,i)為等效平穩(wěn)過程的反應(yīng)均方差。ω0與ξ分別為結(jié)構(gòu)的固有圓頻率和阻尼比，在文中ω0≥1.05 rad/s，ξ=0.05；Td，i為等效平穩(wěn)過程的持續(xù)時(shí)間，即強(qiáng)度超過峰值50%的持續(xù)時(shí)間，對于三段式強(qiáng)度調(diào)制模型，Td，i的表達(dá)式為：

最后，以實(shí)測強(qiáng)震記錄ai(t)的前6 s反應(yīng)譜Sa,i(ω0)為目標(biāo)值，根據(jù)式（16），采用最佳平方逼近原則，對參數(shù)向量λS,i進(jìn)行識別：

由此可以得到功率譜模型的場地參數(shù)ωg,i和ξg,i。這樣，非平穩(wěn)地震動過程的演變功率譜SJ(ω,t;λJ,i)的參數(shù)向量λJ,i識別完成。

進(jìn)一步，文中引入了R2（決定系數(shù)）作為參數(shù)識別效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)。任意一組待擬合數(shù)據(jù)y的R2可定義為［22］：

式中：M為待擬合數(shù)據(jù)y的總數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；分別為待擬合數(shù)據(jù)的均值和擬合數(shù)據(jù)。一般地，若R2越趨近于1，則擬合效果越好。

最后，對于非平穩(wěn)主余震型向量過程J(t)=(J1,J2)=(m,a)，元素J1和J2分別代表主震過程和余震過程，將主震參數(shù)和余震參數(shù)分別代入式（4）中，即可得到主震過程和余震過程的演變功率譜密度函數(shù)。

現(xiàn)以TCU104 臺站記錄的CHICHI 主余震為例，根據(jù)式（11）與式（20），反應(yīng)譜和地震動歸一化能量的擬合結(jié)果分別如圖3 與圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出，無論是主震還是余震過程，模型與實(shí)測記錄均擬合良好。

圖3 反應(yīng)譜擬合結(jié)果Fig.3 Fitting result of response spectrum

圖4 地震動歸-化能量擬合結(jié)果Fig.4 Fitting result of ground motion normalized energy

上述主余震典型實(shí)例的參數(shù)識別結(jié)果如表4所示。

表4 TCU104臺站記錄CHICHI主余震參數(shù)識別結(jié)果以及誤差Table 4 Parameter identification results and error of CHICHI main aftershocks recorded by TCU104 station

可以看出，主余震型地震動的反應(yīng)譜和歸一化能量曲線的R2均趨近于1，說明了文中參數(shù)識別方法的有效性。

類似地，利用主余震實(shí)測強(qiáng)震記錄，即可對主余震的演變功率譜模型參數(shù)向量λJ進(jìn)行識別。根據(jù)不同場地類別的主余震實(shí)測強(qiáng)震記錄，應(yīng)用最佳平方逼近對主余震向量過程的演變功率譜模型進(jìn)行參數(shù)識別，并求得每個(gè)參數(shù)的均值，將其作為主余震向量過程的演變功率譜模型參數(shù)的建議取值，具體如表5所示。

表5 不同場地類別主余震演變功率譜參數(shù)建議取值Table 5 Recommended values of main-aftershock evolutionary power spectrum parameters for different soil site classifications

同樣，對于峰值加速度和峰值因子，計(jì)算488 組主余震實(shí)測強(qiáng)震記錄的峰值加速度比值和峰值因子比值，并取均值。具體結(jié)果如表6所示。

需要說明的是，由于I0和IV類場地實(shí)測強(qiáng)震記錄數(shù)量過少，因此沒有對這兩類場地進(jìn)行分析。通過表5 和表6可以看出，相較于余震，主震持時(shí)更長，能量更高，場地土卓越頻率更??；不同場地相比，隨著土質(zhì)變軟，持時(shí)更長，而場地土卓越頻率更小。

根據(jù)表5和表6，便可實(shí)現(xiàn)對主余震演變功率譜的建模。

表6 主余震幅值參數(shù)比值Table 6 Main-aftershock amplitude parameter ratio

4 基于POD的主余震向量過程降維模擬

4.1 基于正交隨機(jī)變量的POD表達(dá)

對于主余震型地震動過程，可將其視作一個(gè)零均值的1D-2V（一維雙變量）隨機(jī)向量過程，因此可采用本征正交分解（POD）方法進(jìn)行模擬。非平穩(wěn)主余震向量過程J(t)=(J1,J2)=(m,a)的演變功率譜密度矩陣SJ(ω,t)為：

根據(jù)文獻(xiàn)［9］，主余震的演變功率譜矩陣SJ(ω,t)可分解為如下形式：

式中：上角標(biāo)*和T分別表示復(fù)共軛和矩陣轉(zhuǎn)置；D(ω,t)為對角矩陣，即D(ω,t)=；γ(ω)為主余震的相干函數(shù)矩陣：

主余震的相干函數(shù)矩陣γ(ω)是一個(gè)非負(fù)定的Hermitian 矩陣，其元素可由式（2）得到。對相干函數(shù)矩陣γ(ω)進(jìn)行特征分解，即可得到：

式中：特征向量矩陣Ψ(ω)=[ψ1(ω),ψ2(ω)]；特征值對角矩陣Λ(ω)=diag[Λ1(ω),Λ2(ω)]；I為2×2 階的單位矩陣。由于存在Λi(-ω)=Λi(ω)以及ψi(-ω)=，因此可令

式中，i為虛數(shù)單位。根據(jù)文獻(xiàn)［13］，主余震向量過程J(t)的第r個(gè)分量過程Jr(t)的POD公式可表達(dá)為：

式中：N為頻率截?cái)囗?xiàng)數(shù)；Δω為頻率步長；ωk=kΔω(k=1,2,...,N)；Rik和Iik為零均值的正交隨機(jī)變量，滿足如下基本條件：

4.2 正交隨機(jī)變量的降維表達(dá)

需要說明的是，隨機(jī)向量過程模擬的POD 方法在本質(zhì)上屬于傳統(tǒng)Monte Carlo 方法，然而，傳統(tǒng)Monte Carlo方法通常需要進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣才能達(dá)到令人滿意的模擬精度，一方面，由于生成樣本數(shù)量巨大，極大地增加了結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析的計(jì)算量；另一方面，Monte Carlo 方法在本質(zhì)上屬于隨機(jī)抽樣方法，導(dǎo)致所生成的樣本概率信息不完備，無法進(jìn)行結(jié)構(gòu)精細(xì)化動力反應(yīng)分析和動力可靠性評價(jià)。為克服傳統(tǒng)Monte Carlo方法的上述挑戰(zhàn)，文中引入基于隨機(jī)函數(shù)的降維思想，將正交隨機(jī)變量{Rik,Iik}定義為如下的基本隨機(jī)變量的函數(shù)形式［13］：

式中，i，s=1，2；k，l=1，2，…，N；Θi(i=1,2)為在區(qū)間(0,2π]上均勻分布且相互獨(dú)立的基本隨機(jī)變量。

顯然，式（29）所定義的隨機(jī)函數(shù)形式完全滿足式（28）的基本條件。這樣，通過降維模擬方法，實(shí)現(xiàn)了僅需2個(gè)基本隨機(jī)變量即可精細(xì)化模擬主余震向量過程，且生成的代表性時(shí)程具有賦得概率，所有代表性時(shí)程集合構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，為與概率密度演化方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)精細(xì)化動力反應(yīng)分析與動力可靠性評價(jià)奠定了基礎(chǔ)。

5 模擬步驟及數(shù)值算例

5.1 模擬步驟

主余震向量過程的具體模擬步驟如下：

（1）確定相干函數(shù)矩陣γ(ω)。該矩陣的非對角元素根據(jù)第2節(jié)建議的主余震相干函數(shù)模型來計(jì)算。

（2）構(gòu)造主余震型的演變功率譜模型。根據(jù)第3 節(jié)建議的參數(shù)取值，代入式（4）、式（5）和式（6）中，即可確定主余震型的演變功率譜模型。

（4）確定正交隨機(jī)變量{Rik,Iik}。將上一步驟中生成的Θi(i=1,2)的代表性點(diǎn)集代入到式（29）中，此處，需要注意的是，為實(shí)現(xiàn)主余震向量過程的模擬，應(yīng)進(jìn)行確定性的映射變換(s,l)→(i,k)。這一確定性的一一映射過程可以通過MATLAB 工具箱中的rand（‘state’，0）和temp=randperm(2×N)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。這樣，即可唯一確定正交隨機(jī)變量{Rik,Iik}。

（5）生成主余震型地震動的代表性時(shí)程。將主余震的相干函數(shù)矩陣γ(ω)、演變功率譜模型以及正交隨機(jī)變量{Rik,Iik}代入到式（27）中，即可生成主余震型地震動的代表性時(shí)程，且每條代表性時(shí)程的賦得概率與初始代表性點(diǎn)的賦得概率相同，均為Pl。

5.2 數(shù)值算例

在本算例中，以II 類場地為例，參數(shù)取值為：主震模擬持時(shí)25 s，余震模擬持時(shí)20 s，時(shí)間步長0.01 s，截?cái)囝l率，頻率步長，代表性時(shí)程數(shù)量144，主震峰值加速度，主震峰值因子3，根據(jù)表6，余震峰值加速度，余震峰值因子2.75。其余參數(shù)按照表5取值。

圖5為采用降維模擬方法生成的主余震向量過程模擬結(jié)果，其中，圖5（a）為主余震向量過程的代表性時(shí)程，圖5（b）和圖5（c）分別為主余震向量過程的均值、標(biāo)準(zhǔn)差模擬值與目標(biāo)值的比較結(jié)果。為進(jìn)一步說明降維模擬方法的精確性，分別計(jì)算了144 和987 條代表性時(shí)程的均值與標(biāo)準(zhǔn)差誤差，結(jié)果列于表7 中。從圖5（a）可以看出，生成的代表性時(shí)程具有明顯的主余震序列型地震動的特征，即主震和余震在持時(shí)、頻譜以及幅值等方面都顯示出明顯的差異性。從圖5（b）、圖5（c）和表7 可以看出，主余震向量過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均與對應(yīng)的目標(biāo)值擬合良好，其中均值誤差為0，標(biāo)準(zhǔn)差誤差隨著代表性時(shí)程數(shù)量增多而減小，驗(yàn)證了降維模擬方法具有較好的收斂性。同時(shí)，在僅有144條代表性時(shí)程時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差誤差即小于5%，能夠滿足工程需求，驗(yàn)證了降維方法具有較好的精確性。

圖5 II類場地主余震向量過程模擬結(jié)果Fig.5 Simulation results of main-aftershock vector process for site classification II

表7 主余震向量過程的模擬誤差Table 7 Simulation error of main-aftershock vector process

圖6（a）為Ⅰ1、Ⅱ、Ⅲ三類場地（144×3 組）代表性時(shí)程的主余震間相干性與488 組實(shí)測強(qiáng)震記錄的對比結(jié)果；圖6（b）及圖6（c）為Ⅱ類場地144 組代表性時(shí)程的主余震反應(yīng)譜模擬值與實(shí)測強(qiáng)震記錄的對比結(jié)果。其中，對于反應(yīng)譜，需要將主震實(shí)測記錄調(diào)幅至200 cm/s2，余震實(shí)測記錄調(diào)幅至60.61 cm/s2。

從圖6 可以看出，主余震代表性時(shí)程間具有良好的相干性，且與實(shí)測記錄擬合一致，證明了文中所建議的相干函數(shù)模型的正確性。同時(shí)，主震和余震的反應(yīng)譜模擬值均與對應(yīng)的實(shí)測記錄擬合良好，驗(yàn)證了文中所提出的參數(shù)識別方法的有效性。

圖6 主余震相干性和反應(yīng)譜的模擬值與目標(biāo)值比較Fig.6 Comparison of the simulated values and the corresponding target values of the coherence and response spectrum of the main-aftershocks

6 結(jié)論

文中從實(shí)測強(qiáng)震記錄出發(fā)，對主余震間的相干性和演變功率譜模型的參數(shù)關(guān)系進(jìn)行了系統(tǒng)分析，并通過引入隨機(jī)函數(shù)思想，實(shí)現(xiàn)了基于POD方法的主余震向量過程降維模擬。文中得出的主要結(jié)論如下：

（1）實(shí)測強(qiáng)震記錄顯示出主余震間具有明顯的相干性，且隨著頻率的增大相干性總體上呈現(xiàn)遞減趨勢。據(jù)此，文中建議了一種用于模擬主余震相干性的傅里葉級數(shù)模型，并通過與實(shí)測記錄對比驗(yàn)證了該相干函數(shù)模型的有效性。

（2）文中對主余震的演變功率譜模型參數(shù)進(jìn)行了識別，并給出了對應(yīng)于I1、II、III類場地的主余震演變功率譜模型參數(shù)的建議取值。結(jié)果表明，相較于余震，主震的持時(shí)更長，能量更高，卓越頻率更低。

（3）將主余震視作一個(gè)向量過程，實(shí)現(xiàn)了主余震序列型地震動的一體化高效模擬。通過該方法，可一次性生成主震與余震的代表性時(shí)程集合，而不必將主余震作為2個(gè)隨機(jī)過程分別進(jìn)行模擬，這樣不僅體現(xiàn)了主余震間的相干性，同時(shí)可大幅提高計(jì)算效率。

（4）基于隨機(jī)函數(shù)的降維方法僅需數(shù)百條代表性時(shí)程即可在全概率信息上反映主余震向量過程的概率特性，這為結(jié)合概率密度演化理論進(jìn)行主余震作用下工程結(jié)構(gòu)的精細(xì)化動力反應(yīng)分析與可靠性評價(jià)奠定了基礎(chǔ)。

致謝：感謝中國地震局工程力學(xué)研究所為本研究提供數(shù)據(jù)支持！