吳大健，周 巍，閔雪峰，張申昕

(1.中交第二公路勘察設計研究院有限公司,武漢 430100；2.河北省高速公路京雄籌建處，河北 雄安 071799;3.武漢理工大學 交通與物流工程學院，武漢 430063)

在城市交通日益復雜、空間受限的情況下，大懸臂花瓶型混凝土橋墩在保證了行車凈空與行車視距、增加橋下通透度的同時也保有了結構的曲線美，因此，這一橋墩構造形式在現(xiàn)今得到了越來越多的應用。

對于大懸臂花瓶型混凝土橋墩，頂部的“蓋梁”受力特性表現(xiàn)為不再滿足平截面假定的深梁復雜受力構件，與適用于傳統(tǒng)抗彎理論和抗剪理論的淺梁區(qū)別較大。對此類深梁構件，通常使用拉壓桿模型反映結構的傳力機理并進行結構配束設計，且技術較為成熟。Panjehpour等[1]針對壓桿拉桿模型方法計算深梁的極限抗剪強度，完成了仿真與試驗的對比研究；仲濟濤等[2]推導了考慮預應力效應的深梁極限抗剪承載力公式，提出了主拉應力沿深梁壓桿分布的不均勻系數(shù)表達式。 準確合理地建立拉壓桿模型是應用拉壓桿模型進行設計時的重點，中外許多學者在運用拉壓桿模型研究復雜應力構件時發(fā)現(xiàn)，通過荷載路徑及應力跡線來確定復雜應力構件所對應的拉壓桿模型較為困難。陳暉等[3]發(fā)現(xiàn)復雜應力構件的實際破壞形態(tài)與拉壓桿模型設計的破壞形態(tài)存在差異；Deng等[4]則發(fā)現(xiàn)使用拉壓桿模型設計復雜應力構件的適用性存在問題。

國內外學者通過運用結構拓撲優(yōu)化的方法來得到更為符合荷載傳力路徑的拉壓桿模型。Almeida等[5]采用基于位移為優(yōu)化基準的平滑結構優(yōu)化算法，并證明其具有一定效果；Seifi等[6]則分別使用過渡截面法和雙向進化結構法對深梁結構進行設計優(yōu)化。張鵠志等[7-8]、劉霞等[9]則利用遺傳拓撲優(yōu)化算法對鋼筋混凝土深梁進行了拓撲優(yōu)化，并進行了相應的試驗對比和配筋設計；Zhou等[10]開發(fā)了彈性響應捕捉的拓撲優(yōu)化算法并驗證其準確性。但現(xiàn)有結構拓撲優(yōu)化研究大都忽略了混凝土開裂后的軟化現(xiàn)象以及腹筋對鋼筋混凝土深梁結構抗剪受力性能的影響，忽略了混凝土開裂后應力重分布對鋼筋應力分布的影響[11-13]。目前學者們已經提出基于混凝土的軟化現(xiàn)象、腹筋的抗剪作用及相對應的理論模型。潘元等[14]提出了節(jié)點等效核心區(qū)在剪、壓復合作用下的軟化桁架模型；馬煜東等[15]證明了軟化拉壓桿模型計算抗剪承載力的有效性。但這些理論模型尚未被應用到鋼筋混凝土深梁的拓撲優(yōu)化及腹筋的配束設計中。

文中通過ANSYS軟件的APDL語言進行二次開發(fā)，編寫相應的鋼筋混凝土深梁腹筋的拓撲優(yōu)化算法，并結合軟化拉壓桿理論分析優(yōu)化腹筋對深梁結構抗剪受力性能的影響，完成深梁結構的腹筋配束設計。在此基礎上結合花瓶式橋墩蓋梁縮尺模型實例，進行腹筋拓撲優(yōu)化及配束設計并驗證其有效性。

1 軟化拉壓桿理論

如圖1所示，軟化拉壓桿模型由斜向機構、水平機構和豎向機構三部分構成。斜向機構一般為混凝土所構成的斜壓桿，而水平機構和豎向機構則由混凝土中相應的水平腹筋或豎向腹筋及其對應的平緩壓桿及陡峭壓桿組成[16]。

圖1 節(jié)點軟化拉壓桿模型

在軟化拉壓桿模型中，深梁內的水平剪力及豎直剪力與混凝土斜壓桿、水平腹筋及豎向腹筋中力的關系可表示[17]為

VQ h=-Fccosθ+Fh+Fvcotθ

(1)

VQ v=-Fcsinθ+Fhtanθ+Fv

(2)

VQ v/VQ h=tanθ

(3)

式中：VQ h為深梁中水平剪力,VQ v為深梁中豎直剪力,Fc為混凝土斜壓桿壓力,Fh為水平腹筋拉力,Fv為豎向腹筋拉力。

由于深梁中的剪應力由混凝土斜壓桿、水平腹筋及豎向腹筋共同承擔，因此，需要明確三者所承擔剪力的相應比例。根據(jù)研究表明，三者之間的剪力承擔比例[18]為

-Fcsinθ∶Fhtanθ∶Fv=Cc∶Ch∶Cv

(4)

其中，Cc，Ch和Cv分別為混凝土斜壓桿、水平腹筋及豎向腹筋之間力的比例關系，而比例系數(shù)的求解則與深梁節(jié)點中水平腹筋及豎向腹筋的參與情況相關。下面分別介紹不同的節(jié)點受力模式。

1.1 節(jié)點剪力由混凝土斜壓桿與豎向腹筋承擔

當節(jié)點處沒有水平腹筋或水平腹筋已經受拉屈服時，節(jié)點只有混凝土斜拉桿與豎向腹筋來承擔剪力時,此時豎向腹筋與豎直剪力比值為

(5)

而該比值的范圍則是由混凝土斜拉桿的角度來決定:當混凝土斜壓桿的角度較小時，混凝土斜壓桿對豎向剪力的承擔可以忽略不計，此時認為節(jié)點處的豎向剪力全部由豎向腹筋承擔;當混凝土斜壓桿的角度較大時，則認為節(jié)點處的豎向剪力全部由混凝土斜壓桿來承擔。

1.2 節(jié)點剪力由混凝土斜壓桿與水平腹筋承擔

同樣，當節(jié)點處的豎向腹筋已經受拉屈服時，節(jié)點處的剪力只由混凝土斜壓桿及水平腹筋來承擔，此時水平腹筋與水平剪力比值為

(6)

在確定γv與γh后，即可計算Cc、Ch和Cv

(7)

(8)

(9)

則相應的混凝土斜壓桿、水平腹筋及豎向腹筋各自力分別[19]為

(10)

(11)

(12)

而節(jié)點的破壞可認為是核心區(qū)混凝土達到其極限抗壓強度導致的破壞，則有

(13)

式中：σd,max以受壓為正，θf和θs分別為平緩壓桿、陡峭壓桿與水平軸的夾角。

根據(jù)圖2中的幾何關系，2tanθf=tanθ=(1/2)tanθs, 則式(13)可變換為

(14)

圖2 混凝土壓桿力分析

2 基于軟化拉壓桿理論的腹筋拓撲優(yōu)化算法

2.1 基于軟化拉壓桿模型的腹筋優(yōu)化思路

由上文軟化拉壓桿模型的介紹可知，結構中的水平腹筋及豎向腹筋與不同方向的混凝土組成水平機構或豎直機構，共同承受混凝土中的剪應力。因此，可以基于軟化拉壓桿理論，在ANSYS中建立鋼筋混凝土有限元模型，分別采用Link10單元與Solid65單元來模擬鋼筋與混凝土，其中Link10單元設置為只承受軸向拉應力的桿單元來模擬腹筋，與軟化拉壓桿模型中的腹筋受力模式剛好相符。同時，可以很好地區(qū)分被優(yōu)化的腹筋單元對象與混凝土單元。由于軟化拉壓桿模型為開裂混凝土的抗剪受力模型，因此,在ANSYS中需要考慮混凝土開裂情況的模擬，而 Solid65單元作為具有開裂特性的實體單元，可以通過設置開裂后的剪力傳遞系數(shù)，同時假定裂縫在單元內部發(fā)生，且產生裂縫之后的混凝土仍然保持連續(xù)，則能夠較好地模擬腹筋拓撲優(yōu)化所需情況。

2.2 腹筋拓撲優(yōu)化算法的舍棄標準

在腹筋拓撲優(yōu)化中舍去了對結構抗剪貢獻較小的腹筋單元，所以需要設置腹筋單元的舍棄標準，再根據(jù)舍棄標準進行腹筋單元的舍去或保留。比較合適的標準為腹筋單元的拉應力或是應變能，選取腹筋單元拉應力作為舍棄標準時，優(yōu)化目標較為明確，可以很直觀地反映腹筋單元與混凝土斜壓桿共同參與抗剪作用的多少，但不能較好地反映結構的整體狀態(tài)，不利于整體的腹筋步驟優(yōu)化及后續(xù)拓撲優(yōu)化收斂的判斷，因此，選擇結構整體單元的平均應變能作為舍棄標準。在腹筋拓撲優(yōu)化過程中，通過ANSYS的生死單元法殺死抗剪貢獻較小的腹筋單元，會使得整個結構的平均應變能發(fā)生變化，所以，在優(yōu)化過程中通過保證殺死的腹筋單元對整體結構的平均應變能影響較小，即可達到腹筋拓撲優(yōu)化目的。

下面對殺死腹筋單元后結構整體的平均應變能變化量進行推導，在有限元計算中，每個單元剛度與位移的乘積為單元荷載

F=Ku

(15)

式中：K為有限元單元的剛度矩陣，u為單元位移向量。

由此計算得到荷載勢能

(16)

式中：F為荷載向量。

根據(jù)荷載勢能的計算公式，將荷載勢能代入平均應變能算式中可得

(17)

假定結構的荷載恒定，與單元變量無關，通過對荷載在單元變量i上求導，則有

(18)

將結構的平均應變能公式對單元變量i求導，并將荷載對單元變量的求導算式聯(lián)立，最終得到

(19)

在拓撲優(yōu)化過程中只舍棄腹筋單元，而舍棄腹筋單元對結構整體重量變化很小可以忽略不記。同時因為混凝土單元并不是拓撲優(yōu)化對象，在整個拓撲優(yōu)化過程中混凝土重量不發(fā)生變化，因此忽略結構自重的變化，只考慮外部荷載對結構產生的影響，舍棄腹筋單元變量i后，結構整體的平均應變能變化量為

(20)

2.3 腹筋拓撲優(yōu)化收斂指標

(21)

(22)

根據(jù)前文所述，可以將給第i次拓撲優(yōu)化后的結構轉換平均應變能與初始轉換平均應變能作為第i次拓撲優(yōu)化的優(yōu)化性能指標Rp，對腹筋拓撲優(yōu)化的效果進行評價得

(23)

將式(21)～(22)代入式(23)中，可得

(24)

由彈性力學假設可知鋼筋混凝土結構為密度均勻的單元，因此可通過體積與重量之間的線性關系將式(24)化簡為

(25)

式中:V0為初始優(yōu)化前結構整體體積,Vi為第i次優(yōu)化后結構整體體積。

設定了優(yōu)化性能指標Rpi后，可以根據(jù)控制優(yōu)化性能指標小于設定值來控制腹筋拓撲優(yōu)化的中止，為避免計算浮點數(shù)的影響，一般可以設定優(yōu)化性能指標在0.90～0.95之間，優(yōu)化性能指標達到預設值時腹筋拓撲優(yōu)化結果即為最終的拓撲優(yōu)化結果。若腹筋拓撲優(yōu)化未終止，而是在達到預設的拓撲優(yōu)化次數(shù)后停止，則可以通過查詢每次拓撲優(yōu)化后的Rpi值，來尋找最優(yōu)的腹筋拓撲優(yōu)化結果。同時考慮更改循環(huán)次數(shù)的設定以及結構的荷載邊界，當結構荷載較小時，有可能因為單元應變能較小而難以迭代至最優(yōu)解，所以需要對施加的荷載進行預先試算，以保證腹筋的拓撲優(yōu)化能最終得到最優(yōu)結果。

2.4 腹筋拓撲優(yōu)化流程

在模型建立完成后對結構進行加載，并對鋼筋混凝土深梁結構施加荷載及約束邊界，進行靜力分析，在計算完成后進行ANSYS后處理中提取所有結構單元的平均應變能并根據(jù)每個單元對平均應變能的影響進行排序，對平均應變能影響較小的腹筋單元說明對結構整體荷載變化的響應較小，因此這部分腹筋單元并不是需要在鋼筋混凝土深梁結構中進行配置的腹筋單元。在ANSYS中通過生死單元法殺死影響度排名靠后的一部分腹筋單元并將其進行完全約束，以避免其對剩余結構的整體產生影響，計算此時的優(yōu)化性能指標Rpi以及被殺死的腹筋單元，將其存儲在文本中。然后選擇剩余仍存活的混凝土與鋼筋單元再次進行靜力分析，重新提取所有存活單元的應變能，并對腹筋單元進行影響度排序，殺死排名較后的腹筋單元并約束，再計算優(yōu)化性能指標及殺死單元。不斷重復上述的腹筋拓撲優(yōu)化流程，直至優(yōu)化性能指標達到了預設值或達到設定的優(yōu)化次數(shù)，此時停止結構優(yōu)化，根據(jù)記錄的優(yōu)化性能指標選取最優(yōu)的腹筋拓撲優(yōu)化結果，此時仍存活的腹筋即為花瓶式橋墩結構中必要配置的水平腹筋及豎向腹筋。鋼筋混凝土深梁腹筋拓撲優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3 鋼筋混凝土深梁腹筋拓撲優(yōu)化流程

2.5 結構優(yōu)化計算方法驗證

為驗證腹筋拓撲優(yōu)化算法的有效性，采用有限元軟件ANSYS APDL語言對2.4節(jié)中的腹筋拓撲優(yōu)化流程進行二次開發(fā)編程，選取賀華軍完成試驗中的雙開洞深梁進行拓撲優(yōu)化，并與其荷載試驗的破壞開裂結果進行對比。

雙開洞深梁的混凝土彈性模量E=30 GPa，泊松比v=0.2；左邊支座為鉸支座，右邊支座為滾軸支座，兩支座寬度均為120 mm；集中荷載的數(shù)值為200 kN，集中荷載加載點寬度為180 mm。建立鋼筋混凝土耦合模型并進行結構優(yōu)化計算，對該優(yōu)化方法進行驗證，最終得到優(yōu)化腹筋單元(見圖4)。

圖4 驗證模型優(yōu)化結果(單位：cm)

由試件裂縫圖及拉壓桿模型可以看出，該試驗構件在洞口上方及構件下方為主拉應力區(qū)域，而腹筋最終的拓撲優(yōu)化結果在洞口上方、洞口下方及構件下方保留了水平腹筋以分擔拉應力，而在兩個洞口之間的區(qū)域主要為壓應力的傳力區(qū)域。同時傳力路徑較為傾斜，因此該區(qū)域主要保留了豎向腹筋，并與混凝土組成豎直機構來抵抗受力，在洞口兩側同樣存留了豎向腹筋，在荷載加載下方及支座上部區(qū)域傳遞路徑較為平緩，此處主要保留了水平腹筋。因此，基于軟化拉壓桿模型的腹筋優(yōu)化算法能很好地根據(jù)結構實際傳力路徑及應力分布保留主要的關鍵腹筋，從而為腹筋設計提供依據(jù)。

3 花瓶式橋墩蓋梁縱向鋼束配筋設計

京雄高速花瓶式橋墩蓋梁縮尺試驗模型配筋依據(jù)應變相似比及配筋率相同原則[20]，根據(jù)原型橋墩的配筋設計擬定，因此，其水平及豎向腹筋是根據(jù)構造要求及裂縫控制要求進行配置。在驗證混凝土深梁腹筋拓撲優(yōu)化程序后，文中選取京雄高速花瓶式橋墩的蓋梁縮尺試驗模型進行腹筋拓撲優(yōu)化及配束設計，并與縮尺模型的原配束設計進行對比。

3.1 縮尺模型尺寸

花瓶式橋墩蓋梁縮尺模型(見圖5)短邊尺寸為64 cm，長邊尺寸為850 cm，高100 cm，縮尺模型采用C40混凝土，容重γ=4×25 kg·m-3?？s尺模型的自重將以均布荷載的形式施加在結構上，而花瓶式橋墩在施工過程中，荷載工況的縮尺荷載將以集中荷載的形式加載在縮尺模型頂面的6個集中荷載加載點上，加載位置分別為a1=2.75 m、a2=7.95 m、a3=14.5 m，集中荷載加載值為50 kN。

圖5 大懸臂花瓶式橋墩縮尺模型構造尺寸及普通鋼筋布置(單位：cm)

3.2 有限元模型建立

為充分考慮混凝土開裂后的軟化現(xiàn)象以及非線性特性，在ANSYS中選取多線性隨動強化KINH模型[21]來定義混凝土材料的應力-應變關系，對應的應力-應變曲線如圖6所示。

圖6 混凝土應力-應變曲線

在ANSYS中分別建立花瓶式橋墩蓋梁縮尺模型的鋼筋混凝土單元與腹筋單元網格(見圖7)，建立的初始待優(yōu)化的每片腹筋網格如圖7(b)所示，遍布整個蓋梁側面平面上，在蓋梁橫向方向上如圖7(c)所示設置兩片腹筋網格，分別位于混凝土單元模型的兩側，然后根據(jù)腹筋網格對蓋梁混凝土單元進行映射網格劃分，并耦合鋼筋單元節(jié)點與混凝土單元節(jié)點，以保證兩者之間的相互作用。

3.3 花瓶式橋墩蓋梁腹筋配束設計

在建立了如圖7所示的鋼筋混凝土耦合的蓋梁有限元模型后，按照前文所述的鋼筋混凝土深梁拓撲優(yōu)化程序對有限元模型循環(huán)地進行靜力計算及腹筋單元舍去，設置最大的拓撲優(yōu)化次數(shù)為50次，設置每次拓撲優(yōu)化舍去當前箍筋中20%影響度較低的箍筋單元，當結構優(yōu)化性能指標Rp=0.95時停止腹筋拓撲優(yōu)化。最終在第35次腹筋拓撲優(yōu)化時達到最優(yōu)解，最終得到優(yōu)化結果(見圖8)。

如圖8所示，圖8(a)為初始的腹筋網格，圖8(b)為結構優(yōu)化計算后最終保留的腹筋，下面結合蓋梁的拉壓桿模型及應力流進行配筋優(yōu)化結果分析，如圖8(c)所示。在蓋梁的上部及跨中區(qū)域主要分布主拉應力，而在這些區(qū)域，結構優(yōu)化計算最終保留了水平腹筋來承受拉應力。在蓋梁變截面段的下部區(qū)域主要為角度平緩的壓桿，因此腹筋拓撲優(yōu)化結果也保留了水平腹筋作為水平機構來承擔壓應力。在荷載之間存在著拉桿及壓桿來傳遞力流，這些桿件的角度較為傾斜，因此在這些區(qū)域結構優(yōu)化結果也主要保留了豎向腹筋來作為豎直機構承擔受力。由以上分析可知，拓撲優(yōu)化后保留的蓋梁腹筋基本符合蓋梁縮尺模型的受力及傳力路徑。下面基于該優(yōu)化結果對縮尺模型腹筋進行設計，最終得到縮尺模型的優(yōu)化設計配筋(見圖9)。

圖7 鋼筋混凝土耦合模型

圖8 腹筋結構優(yōu)化計算結果

如圖9所示，優(yōu)化配筋在腹筋的配置上，對豎向腹筋及水平腹筋都進行了相應設計調整。水平腹筋根據(jù)優(yōu)化結果增大了水平腹筋間距，減小了水平腹筋的配筋數(shù)量，保證結構承載能力的同時節(jié)省鋼筋數(shù)量。豎向腹筋則不同于縮尺配筋的兩段式設計，在優(yōu)化設計結果保留豎向腹筋的區(qū)域對豎向腹筋進行加密，而在不保留豎向腹筋的區(qū)域依照構造設計配置豎向腹筋，由縮尺模型配筋的兩段式設計更改為三段式設計。

3.4 優(yōu)化模型及原型橋墩對比

在確定優(yōu)化配筋后，分別建立縮尺配筋及優(yōu)化配筋的ANSYS有限元模型?；炷潦褂肧OLID65單元，縮尺模型的普通鋼筋使用SOLID65的實常數(shù)進行配筋率模擬，優(yōu)化模型的下彎受拉鋼筋使用LINK10單元建立進行模擬，其它鋼筋同樣使用配筋率進行模擬，最終建立的有限元模型如圖10所示。

圖9 縮尺模型優(yōu)化配筋結果

圖10 優(yōu)化模型有限元模型及加載邊界條件

圖11 縮尺模型及優(yōu)化模型荷載-應變曲線

對縮尺模型及優(yōu)化模型分別進行結構分析，繪制荷載-應變曲線(見圖11)。

由圖11可知，優(yōu)化模型與縮尺模型的開裂荷載和極限荷載基本相同，但縮尺模型開裂后剛度明顯減小，而優(yōu)化模型在開裂后可以維持結構的剛度，在同樣承受130 kN荷載時優(yōu)化模型的應變要小于縮尺模型的應變，在ANSYS中查看縮尺模型及優(yōu)化模型裂縫(見圖12)。

圖12 縮尺模型及優(yōu)化模型裂縫分布

由圖12可知，優(yōu)化模型的裂縫發(fā)展區(qū)域要小于縮尺模型的裂縫發(fā)展區(qū)域，斜向受拉鋼筋及腹筋的加密配置抑制了裂縫發(fā)展，使得結構在開裂后維持了承載能力，提高了結構耐用性。

4 結 論

1)基于軟化拉壓桿理論，提出了通過ANSYS APDL語言二次開發(fā)的鋼筋混凝土構件的腹筋拓撲優(yōu)化方法，能夠較為準確地分析出結構在開裂狀態(tài)下對結構抗剪貢獻較大的水平腹筋及豎向腹筋，為腹筋配束設計提供參考依據(jù)。

2)利用提出的腹筋拓撲優(yōu)化方法對雙開洞深梁進行了腹筋拓撲優(yōu)化，拓撲結果很好地反映了結構實際實驗中傳力路徑及應力分布，保留了關鍵受力部位的腹筋。

3)基于軟化拉壓桿理論對花瓶式橋墩蓋梁縮尺模型進行了腹筋拓撲優(yōu)化，并基于腹筋拓撲優(yōu)化結果進行了縮尺模型的腹筋配束設計，優(yōu)化配束設計在減少了配置腹筋數(shù)量的同時，其極限荷載與原配束設計基本相同。同時，優(yōu)化配束設計使得在開裂后可以繼續(xù)維持結構剛度，優(yōu)化設計后的腹筋也很好地抑制了裂縫發(fā)展，提高了結構的耐用性。