趙倫洋，賴遠(yuǎn)明，牛富俊，李鵬飛，朱其志

(1.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州，510641；2.華南理工大學(xué)華南巖土工程研究院，廣東廣州，511442；3.中國(guó)科學(xué)院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院凍土工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州，730000；4.巴黎東部大學(xué)多尺度模擬與仿真實(shí)驗(yàn)室，法國(guó)巴黎，77454；5.河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京，210098)

隨著我國(guó)對(duì)地下空間開(kāi)發(fā)利用和對(duì)地下資源需求的日益增大，大量的深部重大地下工程已陸續(xù)啟動(dòng)實(shí)施，如地?zé)衢_(kāi)發(fā)[1]、高放廢物地質(zhì)處置庫(kù)[2]、川藏鐵路[3]等。大量研究表明[4?7]，深部高地應(yīng)力硬脆性工程圍巖在承受小于其抗壓強(qiáng)度的荷載作用下，有可能產(chǎn)生較大的蠕變變形或誘發(fā)圍巖遲滯性巖爆災(zāi)害，對(duì)工程的穩(wěn)定性造成顯著的不利影響。由于硬脆性巖石材料的復(fù)雜性(非均質(zhì)性、多相性、工程時(shí)效性、體積膨脹現(xiàn)象等)及工程環(huán)境的不確定性，建立硬脆性巖石蠕變本構(gòu)模型可以為深部巖體工程的長(zhǎng)期穩(wěn)定性分析提供重要的理論依據(jù)?，F(xiàn)有的巖石蠕變本構(gòu)模型主要有元件模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢纱箢悺ＴＰ筒捎脧椈?、滑塊和黏壺分別描述巖石的彈性、塑性和黏性行為，并通過(guò)它們之間的串并聯(lián)來(lái)模擬巖石的應(yīng)力、應(yīng)變與時(shí)間的關(guān)系，其中，西原模型、Bingham模型和Burgers 模型得到了較為廣泛的應(yīng)用。這類模型雖然概念明確，表達(dá)直觀，但由于其參數(shù)確定和模型識(shí)別的復(fù)雜性以及對(duì)于加速蠕變階段描述的局限性，限制了其在工程上的應(yīng)用。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪腔诓煌囼?yàn)條件下的試驗(yàn)結(jié)果和現(xiàn)場(chǎng)觀察來(lái)確定應(yīng)力、應(yīng)變及時(shí)間函數(shù)關(guān)系的一種唯象模型，包括老化理論、時(shí)空理論、流動(dòng)理論和績(jī)效理論等。由于對(duì)試驗(yàn)的依賴性較大，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜔o(wú)法適應(yīng)環(huán)境因素的復(fù)雜變化。此外，元件模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ途腔趲r石受力變形的宏觀表征建立，屬于宏觀流變學(xué)范疇。目前，從硬脆性巖石蠕變細(xì)觀機(jī)理出發(fā)，建立能夠描述硬脆性巖石蠕變過(guò)程中非線性特征的蠕變模型成為巖石流變力學(xué)研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

長(zhǎng)期強(qiáng)度作為巖石流變力學(xué)范疇中又一重要的科學(xué)問(wèn)題一直備受關(guān)注。巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度的定義為其強(qiáng)度隨時(shí)間而持續(xù)降低，并逐漸趨近于一個(gè)穩(wěn)定收斂的低限定值[8]。目前確定巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度的方法主要有3 種：1)通過(guò)繪制應(yīng)力?應(yīng)變等時(shí)曲線簇，由曲線簇上的拐點(diǎn)確定長(zhǎng)期強(qiáng)度[9]；2)根據(jù)穩(wěn)態(tài)蠕變速率和應(yīng)力水平的關(guān)系曲線，將曲線過(guò)渡到直線段的拐點(diǎn)確定為長(zhǎng)期強(qiáng)度[10]；3)將體積應(yīng)變開(kāi)始反向時(shí)對(duì)應(yīng)的裂紋損傷應(yīng)力作為巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度[11?12]。對(duì)于硬脆性巖石而言，裂紋損傷應(yīng)力確定長(zhǎng)期強(qiáng)度方法受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的認(rèn)同，MARTIN[11?12]通過(guò)對(duì)加拿大Lac du Bonnet花崗巖短期和長(zhǎng)期強(qiáng)度進(jìn)行系統(tǒng)研究，提出了以試樣開(kāi)始擴(kuò)容時(shí)裂紋損傷應(yīng)力作為該試樣的長(zhǎng)期強(qiáng)度；SZCZEPANIK 等[13]根據(jù)該理論得出花崗巖的單軸長(zhǎng)期強(qiáng)度為常規(guī)單軸壓縮試驗(yàn)峰值強(qiáng)度的70%～80%；SCHMIDTKE 等[14]的研究也驗(yàn)證了這一方法的可行性；李良權(quán)等[15]基于向家壩砂巖的常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)和三軸壓縮流變?cè)囼?yàn)成果，指出巖石的裂紋損傷應(yīng)力可反映長(zhǎng)期強(qiáng)度所在應(yīng)力水平。盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于長(zhǎng)期強(qiáng)度進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究和理論分析，但是通過(guò)力學(xué)模型直接獲得硬脆性巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度解析表達(dá)的研究甚少。

近年來(lái)，細(xì)觀試驗(yàn)研究表明：微裂紋是硬脆性巖石非線性力學(xué)特性、蠕變變形和損傷的主要載體；微裂紋的擴(kuò)展與當(dāng)前的應(yīng)力水平以及時(shí)間有著密切的關(guān)系[16?18]。在理論模型方面，SHAO等[19]指出硬脆性巖石內(nèi)部微裂紋擴(kuò)展方式包含：應(yīng)力誘導(dǎo)的瞬時(shí)擴(kuò)展和應(yīng)力侵蝕導(dǎo)致的亞臨界(subcritical)擴(kuò)展，并指出后一種方式引起了材料的時(shí)效變形行為，進(jìn)而建立了與裂紋擴(kuò)展有關(guān)的時(shí)效損傷本構(gòu)模型，從細(xì)觀損傷角度為研究硬脆性巖石的時(shí)效特性提供了新的思路。在硬脆性巖石多尺度本構(gòu)模型研究方面，朱其志等[20]基于Mori-Tanaka 均勻化方法和不可逆熱動(dòng)力學(xué)理論，構(gòu)建了多尺度力學(xué)損傷摩擦耦合模型；ZHAO等[21?22]從巖石細(xì)觀損傷累積和物理力學(xué)性質(zhì)隨時(shí)間劣化的角度，建立了硬脆性巖石統(tǒng)一多尺度損傷模型，但是該模型對(duì)加速蠕變階段描述尚不充分，此外，模型參數(shù)的標(biāo)定以及硬脆性巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度研究均有待深入。本文作者在前期研究工作[19?23]的基礎(chǔ)上，從細(xì)觀角度出發(fā)，分析微裂紋擴(kuò)展引起的宏觀變形響應(yīng)，建立可充分描述硬脆性巖石蠕變?nèi)A段的多尺度損傷蠕變模型，并通過(guò)對(duì)摩擦損傷耦合和細(xì)觀時(shí)效損傷演化規(guī)律的研究，構(gòu)建模型參數(shù)的跨尺度標(biāo)定方法，推導(dǎo)硬脆性巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度的解析表達(dá)式，為深部巖體工程問(wèn)題的長(zhǎng)期穩(wěn)定性和耐久性分析提供幫助。

1 多尺度損傷蠕變模型

微裂紋成核和擴(kuò)展引起的損傷是導(dǎo)致硬脆性巖石變形和破壞的主要力學(xué)機(jī)制。研究表明[24?25]這類損傷包括在應(yīng)力變化下的微裂紋成核和擴(kuò)展產(chǎn)生的瞬時(shí)損傷以及常應(yīng)力下微裂紋發(fā)生亞臨界擴(kuò)展引起的時(shí)效損傷。據(jù)此，考慮到時(shí)間效應(yīng)，對(duì)損傷d進(jìn)行如下分解：

式中：di為瞬時(shí)損傷，dt為時(shí)效損傷。繼而基于均勻化方法、熱動(dòng)力學(xué)理論和亞臨界擴(kuò)展理論建立硬脆性巖石多尺度損傷蠕變模型。

1.1 Helmholtz自由能與狀態(tài)方程

硬脆性巖石宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)[18]示意圖如圖1所示。從硬脆性巖石的細(xì)觀結(jié)構(gòu)出發(fā)(圖1(b))，選取如圖1(c)所示的代表性體積單元體(RVE)為研究對(duì)象，RVE的邊界為?Ω，整個(gè)RVE由線彈性固體基質(zhì)和大量幣形微裂紋組成。根據(jù)ZHU等[26]的研究成果，含微裂紋RVE的Helmholtz自由能Π為基質(zhì)彈性自由能和與微裂紋相關(guān)的塑性功之和：

圖1 硬脆性巖石宏細(xì)觀結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of macroscopic and mesoscopic structure of hard brittle rock

式中：E為總應(yīng)變；Ec為非彈性應(yīng)變；Cm為各項(xiàng)同性基質(zhì)彈性張量，Cm=2μmK+3kmJ，km和μm分別為基質(zhì)體積壓縮模量和剪切模量，通過(guò)引入二階單位張量δ，四階張量Kijkl=(δikδjl+δilδjk)/2-δijδkl/3，Jijkl=δijδkl/3；Cb為四階塑性剛度張量，基于Mori-Tanaka均勻化方法可得其表達(dá)式[20]為

根據(jù)熱動(dòng)力學(xué)基本理論，應(yīng)變E、非彈性應(yīng)變Ec、損傷d的共軛力分別為

式中：Σ為宏觀應(yīng)力；Σc為作用在微裂紋表面的局部應(yīng)力，可分解為偏應(yīng)力Sc=K:Σc和球應(yīng)力Pc=trΣc3；Dd為損傷驅(qū)動(dòng)力。

1.2 摩擦準(zhǔn)則和和瞬時(shí)損傷演化準(zhǔn)則

在壓應(yīng)力作用下，硬脆性巖石材料的破壞以壓剪類型為主，故可選取庫(kù)侖摩擦準(zhǔn)則來(lái)描述非彈性變形的演化。假設(shè)裂紋面內(nèi)局部應(yīng)力分布是均勻的，庫(kù)侖摩擦滑動(dòng)準(zhǔn)則F可表示為[26]

式中：α為粗糙微裂紋面的摩擦因數(shù)。

出于簡(jiǎn)化考慮，選取相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，塑性勢(shì)函數(shù)G=F，根據(jù)正交法則計(jì)算非彈性應(yīng)變?cè)隽?/p>

式中：λc為塑性乘子；V=Sc/‖Sc‖。

在不可逆熱動(dòng)力學(xué)理論框架下，對(duì)于損傷行為，基于應(yīng)變能釋放率的瞬時(shí)損傷演化準(zhǔn)則可表述為[26]

式中：R(d)為損傷發(fā)展抗力，根據(jù)損傷抗力函數(shù)的基本特征[22]，其表達(dá)式如下：

式中：ξ=d/dc；dc為損傷臨界值，對(duì)應(yīng)于材料的峰值應(yīng)力處的損傷，當(dāng)且僅當(dāng)d=dc時(shí)，R(d)=R(dc)。

運(yùn)用正交化準(zhǔn)則計(jì)算瞬時(shí)損傷增量：

式中：λd為損傷乘子。結(jié)合式(4)和式(7)可以看出，損傷準(zhǔn)則只與摩擦產(chǎn)生的非彈性應(yīng)變Ec和當(dāng)前損傷d有關(guān)，即損傷由微裂紋面上的摩擦滑移驅(qū)動(dòng)。反之，損傷演化通過(guò)Cb對(duì)控制摩擦滑移的局部應(yīng)力Σc產(chǎn)生影響。因此，摩擦和損傷的演化是強(qiáng)耦合的，可以通過(guò)聯(lián)立準(zhǔn)則(5)和(7)的一致性條件方程求解塑性乘子λc和損傷乘子λd。

1.3 時(shí)效損傷演化準(zhǔn)則

時(shí)效損傷變量dt是關(guān)于時(shí)間t和損傷d的函數(shù)，即

當(dāng)t→∞時(shí)，dt→。為t時(shí)刻巖石細(xì)觀結(jié)構(gòu)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)的時(shí)效損傷。當(dāng)dt<時(shí)，系統(tǒng)尚未達(dá)到平衡狀態(tài)，材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)將不斷向自平衡狀態(tài)發(fā)展。文獻(xiàn)[16]指出：細(xì)觀結(jié)構(gòu)演化在動(dòng)力學(xué)方面可以解釋為系統(tǒng)偏離平衡狀態(tài)的距離，即(-dt)，因此，時(shí)效損傷演化準(zhǔn)則可用線性形式來(lái)描述[16?17]：

式中：γ為與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)；?[0,∞)；

對(duì)于硬脆性巖石，當(dāng)偏應(yīng)力水平低于巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，巖石僅會(huì)發(fā)生衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，并且穩(wěn)態(tài)蠕變的速率很小，變形最終會(huì)趨于穩(wěn)定；當(dāng)偏應(yīng)力水平高于巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，將會(huì)發(fā)生加速蠕變，并導(dǎo)致巖石迅速破壞。在微裂紋各向同性分布假定下，非彈性應(yīng)變Ec可分解為

式中：標(biāo)量β為非彈性體積應(yīng)變，β=trEc；二階張量Γ=K:Ec為非彈性偏應(yīng)變。

在應(yīng)力空間，式(5)可表示為

式中：S=K:Σ；P= trΣ3。

由式(13)可知：當(dāng)巖石受到的應(yīng)力水平小于巖石初始屈服應(yīng)力時(shí)(F<0)，損傷未發(fā)生；當(dāng)應(yīng)力水平高于初始屈服應(yīng)力時(shí)(F=0)，在蠕變?cè)囼?yàn)過(guò)程中應(yīng)力保持恒定，則和均為常數(shù)，即宏觀非彈性應(yīng)變Ec與細(xì)觀損傷d的比值保持恒定。忽略彈性后效作用，這一理論結(jié)果與MOGI[27]和OHNAKA[28]通過(guò)試驗(yàn)觀測(cè)到的結(jié)果相一致。因此，為反映硬脆性巖石在各蠕變階段的變形規(guī)律，對(duì)加速蠕變階段進(jìn)行更深入的研究，在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上引入細(xì)觀參數(shù)的表達(dá)式：

式中：B和n為模型參數(shù)，B>0，控制瞬態(tài)蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變階段時(shí)效損傷的演化速度，n>0，控制加速蠕變階段時(shí)效損傷的演化速度。顯然，當(dāng)損傷達(dá)到損傷臨界值dc時(shí)，加速蠕變啟動(dòng)。

1.4 增量蠕變本構(gòu)關(guān)系

在建立蠕變本構(gòu)模型過(guò)程中，假定彈性應(yīng)變?nèi)渴怯蓱?yīng)力變化產(chǎn)生，非彈性應(yīng)變包括與時(shí)間無(wú)關(guān)的非彈性變形和與時(shí)間相關(guān)的非彈性變形，其中，與時(shí)間相關(guān)的非彈性變形由時(shí)效損傷所引起。

考慮時(shí)間效應(yīng)后，當(dāng)應(yīng)力保持不變時(shí)，庫(kù)侖型摩擦準(zhǔn)則式(5)依然適用。與時(shí)間相關(guān)的非彈性應(yīng)變?cè)隽恳部筛鶕?jù)流動(dòng)法則求得

式中：λct為與時(shí)間相關(guān)的塑性乘子。

根據(jù)摩擦準(zhǔn)則的一致性條件：

求解可得：

綜上，蠕變本構(gòu)關(guān)系的增量形式可寫為

式中：Sm=(Cm)-1為基質(zhì)柔度張量。

2 長(zhǎng)期強(qiáng)度研究

MARTIN等[12,29]研究發(fā)現(xiàn)：硬脆性巖石材料在壓縮荷載作用下的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可分為裂紋閉合階段、線彈性階段、穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展階段和不穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展階段[12]，分別對(duì)應(yīng)巖石裂紋閉合應(yīng)力Σcc、裂紋初始應(yīng)力Σci、裂紋損傷應(yīng)力Σcd和峰值強(qiáng)度Σf。裂紋損傷應(yīng)力Σcd對(duì)應(yīng)于巖石加載過(guò)程中體積應(yīng)變?軸向應(yīng)變曲線上體積變形的拐點(diǎn)。MARTIN等[12,14]研究表明：裂紋損傷應(yīng)力Σcd可作為硬脆性巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度。

由彈塑性理論可知，體積應(yīng)變Ev包含彈性體積應(yīng)變Ev,e和非彈性體積應(yīng)變Ev,p

對(duì)于常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，忽略圍壓所產(chǎn)生的體積應(yīng)變和裂紋閉合階段產(chǎn)生的非彈性應(yīng)變，在軸向加載過(guò)程中

式中：P0為圍壓；Λc為偏壓引起的累計(jì)塑性乘子，表達(dá)式為[20,30]

ZHU[30]通過(guò)摩擦損傷耦合分析推導(dǎo)了在常規(guī)三軸加載情況下，摩擦準(zhǔn)則(式(5))在主應(yīng)力空間的表達(dá)形式為

將式(21)和式(22)代入式(20)并化簡(jiǎn)可得

對(duì)損傷變量d進(jìn)行求導(dǎo)，將=0(體積壓縮/膨脹轉(zhuǎn)化點(diǎn))化簡(jiǎn)，并結(jié)合邊界條件得

通過(guò)求解式(24)，得到滿足條件的解ξ∞(見(jiàn)圖2)，從而求得長(zhǎng)期強(qiáng)度Σ∞對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)損傷為

圖2 損傷抗力和軸向應(yīng)力演化示意圖Fig.2 Diagram of damage resistance and axial stress evolution

將式(25)代入式(22)，即可得到不同圍壓下硬脆性巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度的解析表達(dá)式為

3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的多尺度損傷蠕變模型的準(zhǔn)確性和有效性，本文采用該模型模擬向家壩砂巖在不同圍壓下的三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)。李良權(quán)等[15]在圍壓分別為3，5 和7 MPa 下對(duì)向家壩砂巖進(jìn)行了常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)和三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)，并對(duì)向家壩砂巖的長(zhǎng)期強(qiáng)度進(jìn)行了分析，其常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)和三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)的圍壓和偏壓加載速率均為7.5 MPa/min，其中，蠕變?cè)囼?yàn)采用多級(jí)加載方法，詳細(xì)的試驗(yàn)方案和試驗(yàn)曲線見(jiàn)文獻(xiàn)[15,31]。

3.1 模型參數(shù)跨尺度標(biāo)定

本模型涉及的5個(gè)力學(xué)參數(shù)和3個(gè)時(shí)效參數(shù)均可通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)和理論推導(dǎo)確定。

1)基質(zhì)的彈性模量Em和泊松比νm可通過(guò)常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)應(yīng)力?應(yīng)變曲線線性段確定。

2)由式(22)得到巖石在受壓狀態(tài)下的強(qiáng)度為

顯然，式(27)可以與摩爾?庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則直接關(guān)聯(lián)，繼而建立細(xì)觀參數(shù)(α和R(dc))與材料宏觀強(qiáng)度參數(shù)(內(nèi)摩擦角?和黏聚力c)的跨尺度關(guān)系

3)損傷臨界值dc對(duì)應(yīng)于應(yīng)力峰值處的損傷，可通過(guò)聲發(fā)射試驗(yàn)確定，即在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)時(shí)記錄不同圍壓下峰值應(yīng)力處聲發(fā)射信號(hào)的累積計(jì)數(shù)。在本構(gòu)模型中，dc在應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系上的宏觀表現(xiàn)為控制峰前和峰后非彈性變形，不影響巖石的峰值強(qiáng)度。LOCKNER[32]指出，dc與圍壓大致呈線性關(guān)系。針對(duì)向家壩砂巖，由于其圍壓差別不大，本文將dc取為常數(shù)。運(yùn)用上述方法最終確定向家壩砂巖的5個(gè)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 基本力學(xué)參數(shù)Table 1 Basic mechanical parameters

4)當(dāng)巖樣受到長(zhǎng)期強(qiáng)度荷載時(shí)，瞬時(shí)損傷和時(shí)效損傷滿足如下關(guān)系

結(jié)合式(14)和式(28)，可以得到模型參數(shù)

將表1中的力學(xué)參數(shù)代入式(24)和式(25)，計(jì)算得到長(zhǎng)期強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)損傷d∞=0.62。將dc和d∞代入式(30)，得到B=0.9。

5)蠕變參數(shù)γ可通過(guò)三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)中瞬態(tài)蠕變的速率來(lái)確定[16]，其取值與材料的性質(zhì)有關(guān)，一般，軟巖的γ取值在10-5～10-6量級(jí)，硬巖的γ取值在10-4量級(jí)，針對(duì)向家壩砂巖取γ=10-4。蠕變參數(shù)n可通過(guò)三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)加速蠕變持續(xù)時(shí)長(zhǎng)來(lái)確定，為簡(jiǎn)便取n=1。

3.2 單級(jí)加載下長(zhǎng)期強(qiáng)度預(yù)測(cè)

通過(guò)式(26)可以得到在單級(jí)加載情況下圍壓為3，5和7 MPa砂巖的長(zhǎng)期強(qiáng)度。表2所示為多尺度模型確定的長(zhǎng)期強(qiáng)度與李良權(quán)等[15]運(yùn)用應(yīng)力?應(yīng)變等時(shí)曲線簇法和穩(wěn)態(tài)蠕變速率?應(yīng)力水平的關(guān)系曲線法確定的長(zhǎng)期強(qiáng)度對(duì)比。從表2可以看出：除圍壓為3 MPa下多尺度模型對(duì)長(zhǎng)期強(qiáng)度的預(yù)測(cè)結(jié)果較常用方法確定的長(zhǎng)期強(qiáng)度偏小，圍壓為5 MPa 和7 MPa下多尺度模型預(yù)測(cè)的長(zhǎng)期強(qiáng)度與上述2種方法得到的結(jié)果相一致。

表2 向家壩砂巖在不同圍壓下的長(zhǎng)期強(qiáng)度Table 2 Long-term strengths of Xiangjiaba sandstone for different confining pressure MPa

圖3所示為不同圍壓、長(zhǎng)期強(qiáng)度荷載下砂巖的蠕變演化模擬曲線。從圖3可以看到典型蠕變的三階段特征，即瞬態(tài)蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變和加速蠕變，加速蠕變發(fā)生時(shí)間在200～250 h之間。

圖3 不同圍壓下長(zhǎng)期強(qiáng)度荷載下砂巖的蠕變演化模擬曲線Fig.3 Simulation curves of creep evolution of sandstone under long-term strength with different confining pressures

圖4所示為圍壓5 MPa時(shí)，長(zhǎng)期荷載作用下砂巖的軸向蠕變、軸向蠕變速率以及細(xì)觀損傷演化的模擬曲線。從圖4可見(jiàn)：細(xì)觀損傷演化曲線與蠕變曲線具有明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，尤其是根據(jù)臨界損傷可以很直觀地在三階段蠕變曲線中找到加速蠕變啟動(dòng)點(diǎn)。此外，還可以發(fā)現(xiàn)蠕變應(yīng)變的3個(gè)階段與應(yīng)變速率緊密聯(lián)系。

圖4 圍壓5 MPa時(shí)長(zhǎng)期強(qiáng)度荷載下砂巖的軸向蠕變、軸向蠕變速率以及細(xì)觀損傷演化的模擬曲線Fig.4 Simulation curves of creep,creep rate and microscopic damage of sandstone under long-term strength with confining pressure of 5 MPa

圖5所示為圍壓5 MPa時(shí)不同軸向荷載作用下砂巖的蠕變曲線。從圖5可以看到，當(dāng)軸壓為155 MPa時(shí)，不會(huì)發(fā)生加速蠕變，即不會(huì)產(chǎn)生蠕變失效；當(dāng)軸壓為157.1 MPa時(shí)，發(fā)生蠕變失效，且失效時(shí)間約為240 h；當(dāng)軸壓為160 MPa 時(shí)，蠕變破壞時(shí)間縮短約40 h。說(shuō)明當(dāng)荷載低于長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，巖石不會(huì)發(fā)生蠕變失效，而當(dāng)荷載高于長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，隨著軸壓增大，蠕變失效時(shí)間在逐漸減小，這與眾多試驗(yàn)觀察結(jié)果相一致。

圖5 圍壓5 MPa時(shí)不同軸向荷載下砂巖的蠕變模擬曲線Fig.5 Simulation curves of creep evolution of sandstone under different axial load with confining pressure of 5 MPa

當(dāng)圍壓為5 MPa，長(zhǎng)期強(qiáng)度荷載下n=0.5，1.0，1.5 和2.0 時(shí)多尺度蠕變模型獲得的砂巖軸向蠕變和細(xì)觀損傷演化曲線如圖6所示。從圖6可以看出，參數(shù)n僅對(duì)加速蠕變段產(chǎn)生影響，隨著n增大，加速蠕變階段減少。換言之，參數(shù)n對(duì)蠕變失效時(shí)間有很大的影響。

圖6 不同參數(shù)n下砂巖的軸向蠕變和細(xì)觀損傷模擬曲線Fig.6 Simulation curves of creep and microscopic damage of sandstone with different parameter n

3.3 三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)?zāi)M

為進(jìn)一步對(duì)多尺度損傷蠕變模型進(jìn)行驗(yàn)證，采用3.1 節(jié)的模型參數(shù)對(duì)圍壓為5 MPa 和7 MPa 時(shí)向家壩砂巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)應(yīng)變?時(shí)間全過(guò)程曲線進(jìn)行數(shù)值模擬(圖中藍(lán)色曲線)，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，模型可以較為完整地描述不同圍壓下硬脆性巖石分級(jí)加載蠕變的力學(xué)行為，包括在低應(yīng)力水平下衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的特征、在高應(yīng)力水平下加速蠕變破壞的特征。值得指出的是，用分級(jí)加載的方式，上一級(jí)加載的應(yīng)力水平會(huì)對(duì)巖樣造成不同程度的損傷，而隨著加載級(jí)數(shù)的增多，損傷逐漸增加。在圖7(a)的模擬中，軸向應(yīng)力為155 MPa等級(jí)下僅經(jīng)歷約50 h后加速蠕變發(fā)生。而從圖5可以看出，在單級(jí)加載情況下，軸向應(yīng)力為155 MPa等級(jí)下不會(huì)發(fā)生加速蠕變破壞。說(shuō)明從巖石材料隨時(shí)間損傷累積和物理力學(xué)性質(zhì)劣化的角度出發(fā)建立的多尺度蠕變損傷模型很好地考慮了多級(jí)加載下?lián)p傷的累積效應(yīng)。此外，根據(jù)本文預(yù)測(cè)的長(zhǎng)期強(qiáng)度可以對(duì)分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)的荷載分級(jí)提供一個(gè)可靠的參考依據(jù)。例如，在圍壓為5 MPa的分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)中，將軸向應(yīng)力為155 MPa的荷載等級(jí)持續(xù)時(shí)間延長(zhǎng)至約150 h，若巖樣未破壞，再加荷載至165 MPa；在圍壓為7 MPa的分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)中，在荷載等級(jí)為177 MPa與187 MPa之間建議增加一個(gè)持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為75 h的182 MPa荷載等級(jí)。此外，結(jié)合圖7的分析結(jié)果，通過(guò)調(diào)整參數(shù)n可以提高模型預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，如圖7中紅色曲線所示。

圖7 向家壩砂巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果[15]與數(shù)值模擬對(duì)比Fig.7 Comparison between numerical simulation and experimental data[15]of triaxial compression creep test of Xiangjiaba Sandstone

4 結(jié)論

1)基于均勻化方法建立多尺度損傷蠕變模型是可行的，和通常的宏觀損傷力學(xué)蠕變模型相比，本模型所體現(xiàn)的力學(xué)機(jī)制更為明確，而且所含參數(shù)少，物理意義明確，并均可通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)和理論推導(dǎo)予以確定。

2)通過(guò)摩擦損傷耦合分析和細(xì)觀時(shí)效損傷演化規(guī)律研究，推導(dǎo)了硬脆性巖石長(zhǎng)期強(qiáng)度的解析表達(dá)式。通過(guò)對(duì)向家壩砂巖長(zhǎng)期強(qiáng)度預(yù)測(cè)和對(duì)比，驗(yàn)證了運(yùn)用多尺度模型確定長(zhǎng)期強(qiáng)度的可行性，為多級(jí)蠕變?cè)囼?yàn)的荷載分級(jí)提供理論依據(jù)。

3)模型可以較為完整地描述硬脆性巖石在不同圍壓下分級(jí)加載和單級(jí)加載蠕變的力學(xué)行為，包括在低應(yīng)力水平下衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的特征、高應(yīng)力水平下發(fā)生加速蠕變破壞的特征。通過(guò)多級(jí)加載和單級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)的模擬對(duì)比表明模型可以較為準(zhǔn)確地考慮到應(yīng)變歷史對(duì)損傷演化的影響，說(shuō)明基于損傷累積和物理性能隨時(shí)間劣化的角度出發(fā)建立蠕變模型的合理性。

4)需要指出的是本文所提出的是一種基于細(xì)觀力學(xué)的各向同性簡(jiǎn)化模型，而在實(shí)際工程中，巖體的應(yīng)力狀態(tài)往往較為復(fù)雜，各向異性損傷以及與微裂紋張開(kāi)閉合有關(guān)的單邊效應(yīng)都需要予以考慮。