張建肖，劉曉俊

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

極小曲面理論是近年來發(fā)展較快的一個數(shù)學分支，它廣泛存在于自然界當中。關于極小曲面的很多問題也源于自然界，這就為學者們更好地了解極小曲面的性質創(chuàng)造了有利條件。1954 年，Calabi[1]提出了以下2 個猜想：

猜想1包含于 R3的半空間中的完備極小曲面一定是平面。

猜想2R3中的完備極小曲面是 R3中的無界子集。

1980 年，Jorge 等[2]利用Runge 逼近定理證明了存在位于 R3中2 個平行平面之間非平坦的完備極小曲面，從而否定了猜想1。

1996 年，Nadirashvili[3]利用Runge 逼近定理否定了猜想2，證明了存在極小浸入到 R3中單位球的具有負Gauss 曲率的完備極小曲面。但是，他們的證明只是表明存在相應的極小曲面，沒有給出具體的滿足條件的極小曲面的例子。

于是，這就需要學者們對于能否構造出具體的完備極小曲面實例進行深入的研究。

1992 年，Brito[4]利用Hadamard 缺項冪級數(shù)構造了 R3中位于2 個平行平面間的完備極小曲面族，給出了實例，得到定理1。

由此，只要令Weierstrass 表示中的f=1且g=h′，即可得到 R3中2 個平行平面間的完備極小曲面族。于是，研究發(fā)現(xiàn)Hadamard 缺項冪級數(shù)與完備極小曲面存在緊密的聯(lián)系。

根據(jù)定理1 的條件a 和b 可知，當j充分大時，趨向于 ∞ 的速度遠大于趨向于0 的速度。于是，自然地可以提出如下問題：能否減弱此條件。

受到1991 年孫道椿[5]證明方法的啟發(fā)，作者繼續(xù)研究能否構造出位于 R3中2 個平行平面間的完備極小曲面，得到定理2。

2 定義與符號

設 Δ為復平面 C 中的單位圓盤，現(xiàn)討論由 Δ參數(shù)化的完備極小曲面。

現(xiàn)給出Hadamard 缺項冪級數(shù)的定義。

定義1[6-7]若f(z)=是一個收斂半徑為1 的冪級數(shù)，其中，z∈C，且滿足

nj+1/nj≥q＞1,j=1,2,···，

則稱f(z)為Hadamard 缺項冪級數(shù)。

關于缺項冪級數(shù)的更多結果可參見文獻[8]。

定義2[9-10]R3中平均曲率恒為零的曲面稱為極小曲面。

定義3[10]設D是 R2中的開子集，γ:[0,a)→D是D內的連續(xù)曲線。若對D的任意緊子集K，存在t0，0＜t0＜a，對任意t∈(t0,a)，有 γ(t)?K，則稱 γ是發(fā)散的，記作 γ→?D。

定義4[10]設I:D?R2→R3是一個浸入，且D具有誘導度量，即‖v‖D=，這里I*:Tz(D)→TI(z)(R3)是浸入I的切映射。若對于任意的光滑發(fā)散曲線 γ:[0,a)→D，其在誘導度量下的弧長為無窮大，則稱浸入I:D?R2→R3是完備的。

定義5[11-13]設單連通區(qū)域D?C,f:D→C 是D上的全純函數(shù)，g:D→是D上的亞純函數(shù)，滿足若z0是g的k(≥1)重極點，則z0是f的 2k重零點；反之亦然。令則稱x=(x1,x2,x3):D→R3為極小曲面M的Enneper-Weierstrass 表示，或簡稱Weierstrass 表示，(f,g)稱為極小曲面M的Weierstrass 表示對，由(f,g)生成的極小曲面可記為M(f,g)。

此時，M上的度量定義為

3 定理2 的證明

對于任意的k∈N，令

每一個Rk都是一個寬度為的環(huán)，且對于充分大的k，每個環(huán)形Rk互不相交。

由式(3)可得，

另一方面，由定理2 的條件b 可得，存在k2∈N,k2≥k1，使得

因為，當 0＜x＜1時，ln(1-x)＜-x，又根據(jù)定理2 的條件a 可得，

由定理2 的條件b 可知，對于充分大的k，nk+1＞2nk，又由于當x＞a時，函數(shù)xe-x/a是遞減函數(shù)，故

再由定理2 的條件b 和式(7)可得，存在k3∈N,k3≥k2，使得

由式(4)～(6)和式(8)可得，存在k0∈N,k0≥k3，使得

取 Δ內的發(fā)散曲線 γ，對于任意的k≥l，l∈N，γ必定穿過Rk，則

根據(jù)定理2 的條件c 可以得到最后的不等式。所以，定理2 得證。

設h(z)=，z∈C，其中，aj=,nj=(16e)j。易得h(z)滿足定理2 的條件a～c，但不滿足定理1 的條件b。

4 推論

設A(Δ)是由在單位圓盤 Δ內的解析的函數(shù)構成的集合。

推論1存在h∈A(Δ)，使h′是 R3中一個完備極小曲面M的Gauss 映射，其中，M位于 R3中的2 個平行平面之間。

證明設M為Weierstrass 表示中取f=1,g=h′所得的極小曲面，其中，h滿 足定理2 的條件，則h∈A(Δ)。

由于 λ(z)|dz|=，由定理2 可以得出此度量是完備的，所以，h′是 R3中一個完備極小曲面M的Gauss 映射。又由于

所以，M位于 R3中的2 個平行平面之間。

推論1 的證明過程與Brito[4]的推論相同。