吳秀峰, 黃俊杰

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010022;2.內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010021)

§1 引 言

缺少了某些元素的算子矩陣稱為缺項算子矩陣.算子矩陣的譜補問題旨在討論缺項算子矩陣中所缺的元素對整個算子矩陣譜的影響,在插值理論,換位提升理論,以及系統(tǒng)控制理論中具有重要應(yīng)用.缺項算子矩陣的譜補問題有兩個基本內(nèi)容:一是缺項算子矩陣的譜擾動,即當(dāng)所缺的元素跑遍特定集合時所得算子矩陣的譜的交集,它是整個算子矩陣譜的穩(wěn)定的組成部分;二是缺項算子矩陣的可能譜,即當(dāng)所缺的元素屬于特定集合時所得算子矩陣的譜的并集,它反映了整個算子矩陣的譜的分布范圍.

設(shè)H1,H2,H3,H均為無窮維復(fù)可分Hilbert空間.以B(Hi,Hj)表示從Hi到Hj的所有有界線性算子構(gòu)成的集合,特別地,B(Hi)表示Hi上的所有有界線性算子構(gòu)成的集合,其中

給定算子A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H3),記

其中D∈B(H2,H1),E∈B(H3,H1),F∈B(H3,H2)為缺項的算子,則稱MD,E,F為H1⊕H2⊕H3上的3×3階缺項上三角算子矩陣.類似可有對給定算子A∈B(H1),B∈B(H2),記2×2階缺項上三角算子矩陣

其中D∈B(H2,H1)為缺項的算子.

經(jīng)過近二十年的積累,2×2階上三角算子矩陣的譜補問題研究已日臻完善,涌現(xiàn)出諸如譜,近似點譜,虧譜,本質(zhì)譜,Weyl譜,Browder譜,點譜,剩余譜以及連續(xù)譜等的補問題結(jié)果[1-9].對于缺項3×3階上三角算子矩陣,文[10]描述了左(右)Fredholm譜擾動以及Weyl型定理;文[11]研究了Moore-Penrose譜擾動;文[12]和[13]分別給出了點譜,剩余譜和連續(xù)譜的可能譜和擾動的描述.文[14]研究了譜擾動以及填洞問題.此外,文[15]研究了四類點譜的擾動,文[16]研究了1,2類點譜和1,2類剩余譜的可能譜.本文繼續(xù)研究缺項3×3階上三角算子矩陣的譜補問題,得到四類點譜的可能譜.需要指出的是:缺項3×3階算子矩陣的某些結(jié)論不能由2×2階情形直接推出,不是其簡單推廣;文中對于點譜的分劃可參見[17],譜的這種細(xì)分劃對于討論算子矩陣的半群生成定理,譜包含性質(zhì)等具有一定的作用[18-19].

下面給出一些基本概念和輔助引理.對于算子T,分別以T?,N(T),R(T)表示T的共軛算子,零空間和值域,記n(T)=dimN(T),d(T)=dimN(T?).

定義1.1設(shè)X為Banach空間,T是X中的有界線性算子.稱集合

為T的預(yù)解集,預(yù)解集ρ(T)中的元素λ稱為T的正則值.稱集合σ(T)=Cρ(T)為T的譜.易知,T的譜σ(T)可分成互不相交的3個組成部分:

其中集合

分別為T的點譜,剩余譜和連續(xù)譜.此外,稱集合

分別為T的左譜,右譜,Moore-Penrose譜,壓縮譜,并且為敘述方便記記ρin(T)=Cσp(T),ρ?(T)=Cσ?(T),其中σ?(T)∈{σl,σδ,σm,σco},ρ?(T)∈{ρl,ρδ,ρm,ρco}. 如所熟知,λ∈σm(T)當(dāng)且僅當(dāng)R(T?λ)不閉;λ∈ρl(T)當(dāng)且僅當(dāng)T?λ為具有閉值域的單射.類似于文[17],對點譜進一步細(xì)分為

定義1.2設(shè)A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H3)為給定算子,稱

分別為缺項算子矩陣MD,E,F的1類可能點譜,2類可能點譜,3類可能點譜,4類可能點譜.

§2 主要結(jié)果及證明

不難看出λ∈σp,2(MD,E,F).若λ∈?43,則定義E=0且F形如(1),

易得λ∈σp,2(MD,E,F).

情形1λ∈σco(C)∪(ρin(A)∩ρin(B)∩ρin(C)).此時顯然任給D,E,F均有λ∈σco(MD,E,F)或者λ∈ρin(MD,E,F),從而λ/∈?.

情形2λ∈ρδ(C)且d(B?λ)>n(C?λ).此時對任意D,E,F算子矩陣MD,E,F?λ均有形如(3)的分塊形式,其中(C?λ)1為為可逆算子.注意到d(B?λ)>n(C?λ),易知無論如何選取算子D,E,F均有R(F22)不稠密,從而λ∈σco(MD,E,F).因此λ/∈?.

情形3λ∈ρδ(C)∩ρm(B)且d(A?λ)+d(B?λ)>n(B?λ)+n(C?λ).此時由定理2.1的情形5可知,對任意D,E,F均有λ∈σco(MD,E,F).因此λ/∈?.

情形4λ ∈ ρm(A)∩ρm(B)∩ρδ(C)且min{n(B?λ),d(A?λ)}<∞,min{n(C?λ),d(A?λ)}<∞且min{n(C?λ),d(B?λ)}<∞.此時任給D,E,F算子矩陣MD,E,F?λ均有如下分塊表示

其中(A?λ)1,(B?λ)1,(C?λ)1均為可逆算子.因此,存在可逆算子U和V使得

定理2.3設(shè)A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H3)為給定算子,則

其中

(1)設(shè)λ∈?1∩?2.定義算子D=0,E=0,F=0便得λ∈σp,3(MD,E,F).

(2)設(shè)λ∈?1∩?3.因為λ∈σm(A)∩σm(B)∩σm(C),所以dimN(A?λ)⊥=dimN(B?λ)⊥=dimN(C?λ)⊥=∞.若n(B?λ)=d(A?λ)=∞,則定義E=0且

容易驗證λ∈σp,3(MD,E,F).類似地可以證明當(dāng)d(B?λ)=n(C?λ)=∞或者n(C?λ)=d(A?λ)=∞時,存在D,E,F使得λ∈σp,3(MD,E,F).

(3)設(shè)λ∈?1∩?4.現(xiàn)設(shè)λ∈?41.若n(B?λ)=∞,則定義E=0,F=0且

易得λ∈σp,3(MD,E,F).類似地可以證明當(dāng)λ∈?42∪?43時,存在D,E,F使得λ∈σp,3(MD,E,F).

(4)設(shè)λ∈?1∩?5.現(xiàn)設(shè)λ∈?51.若n(C?λ)=∞,則定義D=0且

容易驗證λ∈σp,3(MD,E,F).若n(B?λ)=d(A?λ)=∞,則取(2)中的D,E,F,從而λ∈σp,3(MD,E,F).類似地可以證明當(dāng)λ∈?52時,存在D,E,F使得λ∈σp,3(MD,E,F).