張志偉，朱昌鋒*，王慶榮，張正坤，劉康儒

（1.蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學 電子與信息工程學院，蘭州 730070）

近年來，隨著突發(fā)事件頻發(fā)，人民的生命財產(chǎn)遭受了巨大損失.因此突發(fā)事件后，在黃金救援時間內將應急物資運到受災點是降低突發(fā)事件對社會造成嚴重損失的關鍵.

針對突發(fā)事件后應急物資調度問題，國內外學者站在完全理性的角度進行了大量研究.大多數(shù)學者主要通過構建單目標［1-3］和多目標［4-6］規(guī)劃模型來解決該問題，也有少數(shù)學者通過建立雙層規(guī)劃［7-10］模型為決策者提供可行的應急物資調度方案.然而，面對突發(fā)事件，由于外界環(huán)境的復雜性及決策者認知的局限性，決策者很難做到完全理性.既有研究已經(jīng)證實人在決策時并非完全理性，而是表現(xiàn)出有限理性的，存在參考依賴、風險偏好和損失規(guī)避等行為.因此，不少學者采用Kahneman等［11］提出的前景理論模型研究人的有限理性行為.曹慶奎等［12］通過考慮災民感知滿意度，引入前景理論，研究了應急人員調度問題.徐君翔等［13］通過考慮決策者的有限理性，引入累積前景理論，研究了應急物資調度路徑選擇問題.鄭彥輝等［14］通過前景理論刻畫應急物資分配的災民心理滿意度，研究了非合作博弈環(huán)境下的應急物資調度問題.但在應急環(huán)境不確定的情況下對前景理論的應用以及災民對應急物資的運送時間滿意度和分配滿意度的研究較少.除此之外，大多數(shù)研究者在考慮應急物資需求量時忽略了突發(fā)事件后應急環(huán)境的不確定性.

鑒于此，本文通過考慮突發(fā)事件后應急環(huán)境的不確定性以及有限理性條件下災民對應急物資的運到時間滿意度和分配滿意度，分別以最大化時間滿意度的前景值和分配滿意度的前景值為目標函數(shù)，構建應急物資多目標調度模型，并設計NSGA-Ⅱ算法求解該模型，以確保應急物資調度的時效性和公平性，提高災民對應急物資調度結果的感知滿意度.

1 數(shù)學模型

1.1 問題描述

假設某地發(fā)生突發(fā)事件，有m個物資供應點，物資供應點集合O=｛1，2，…，i，…，m｝．需要救援n個物資受災點，受災點集合D=｛1，2，…，j，…，n｝．dij表示從應急物資供應點i到需求點j的路徑距離．tij表示從應急物資供應點i到需求點j的實際運輸時間．cij表示應急物資供應點i分配給應急物資需求點j的物資量．Cj表示物資需求點j的物資需求量，Mi表示物資供應點i物資存儲量．xij表示若應急物資供應點i對需求點j進行救援，則xij=1，否則xij=0．ωj為受災點j的權重函數(shù)值為應急物資運輸工具平均速度．

1．2 基于前景理論的災民感知滿意度刻畫

前景理論價值函數(shù)體現(xiàn)了災民在面臨收益時是風險規(guī)避的，而在面臨損失時是風險偏好的，并且，比起收益，災民對損失更加敏感．其定義如下：

式中：α為收益敏感系數(shù)，且0＜α≤1；β為損失敏感系數(shù)，且0＜β≤1；λ為損失規(guī)避系數(shù)，且λ≥1；通常α，β取值為0．88，λ取值為2．25；Δx為實際值x相較于某一參照水平x0的偏離值．價值函數(shù)曲線如圖1所示．

圖1 價值函數(shù)曲線Fig．1 Value function curve

前景理論的權重函數(shù)反映了災民往往會重視小概率事件而忽略中大概率事件，其定義如下：

當災民獲得收益時：

當災民獲得損失時：

式中：ω+（p）為災民獲得收益時的權重函數(shù)；ω-（p）為災民獲得損失時的權重函數(shù)；p為事件發(fā)生的實際概率；γ為收益感知概率系數(shù)，取0．61；δ為損失感知概率系數(shù)，取0．69．權重函數(shù)曲線如圖2所示．

圖2 權重函數(shù)曲線Fig．2 Weight function curve

1．2．1 時間滿意度

應急物資送達時間越早對災民而言是收益的，反之則為損失．用應急物資運到時間偏離程度表示的價值函數(shù)值來刻畫災民對運到時間的感知滿意度．其中，用三角模糊數(shù)的模糊均值來刻畫應急物資有效到達時間的參照點［15］，其中為模糊上界為模糊主值為模糊下界．w1，w2和w3分別代表三角模糊數(shù)上界、主值和下界的權重系數(shù)．三角模糊數(shù)的主值通常是最重要的屬性，因此應該被給予較高的權重．上界和下界是邊際約束，因此它們應該被給予較低的權重．基于此，w1和w3取1／6，w2取4／6．應急物資有效到達時間參照點定義為

因此，對于物資需求點j來說，應急物資運到時間偏離度為

用價值函數(shù)刻畫災民對應急物資運到時間的感知滿意度，即：

1．2．2 分配滿意度

應急物資分配量越多對災民而言是收益的，反之則為損失．用應急物資分配量偏離程度表示的價值函數(shù)值來刻畫災民對分配量的感知滿意度．其中，用三角模糊數(shù)的模糊均值Uj來刻畫應急物資有效分配量的參照點，其中為模糊上界模糊主值為模糊下界．應急物資有效分配量參照點定義為

因此，對于物資需求點j來說，應急物資分配量偏離度定義為

用價值函數(shù)衡量災民對應急物資分配量的感知滿意度，即：

構建數(shù)學模型如下：

約束條件

式（10）為最大化災民對應急物資運到時間的感知滿意度．式（11）為最大化災民對應急物資分配量的感知滿意度．式（12）表示應急物資供不應求．式（13）表示每個物資供應點調運到各個受災點的物資總量不能超過其自身存儲量．式（14）保證每個物資供應點都參與到應急救援過程中．式（15）保證對每一個受災點都被進行救援．式（16）保證cij值與xij值的一致性，其中R為懲罰系數(shù)，為充分大的正數(shù)．式（17）表示決策變量xij為0-1變量．

2 算法設計

本文所建模型是多目標規(guī)劃問題，采用第二代非支配排序遺傳算法［16］（non-dominated sorting genetic algorithms-II，NSGA-II）求解考慮災民有限理性的應急物資調度模型.根據(jù)模型特點，選擇0-1編碼，染色體編碼如圖3所示.

圖3 編碼示例Fig．3 Coding example

從左至右依次表示調配中心i是否對各受災點進行物資調配徑路選擇，如選擇路徑則分配物資，否則不分配物資.算法關鍵步驟如下：

1）選擇操作

本文采用二元錦標賽方法選擇子代種群，保證較大概率選擇最優(yōu)個體和淘汰最差的個體，在一定程度上避免產(chǎn)生過早收斂現(xiàn)象.

2）交叉操作

為保持種群多樣化，提高Pareto最優(yōu)解集質量，對染色體進行兩點交叉，如圖4所示.

圖4 交叉示例Fig．4 Cross example

然后計算Pareto解集中每個候選解在整個目標空間的得分：

3）變異操作

本文采用兩點變異的方法，對染色體兩點之間染色體片段進行變異操作，如圖5所示.

圖5 變異示例Fig．5 Variation example

4）最終解的篩選

本文采用模糊邏輯法來從最優(yōu)解集中篩選最佳折中解，首先計算Pareto解集中每個候選解在每個目標空間的得分：

式中：H為優(yōu)化目標的數(shù)量；NPareto為Pareto解集的數(shù)量；μ［k］值最大的候選解就是最佳折中解．

基于上述分析，本文算法步驟如下：

Step1：隨機生成大小為Popsize的種群Pt，t=1，選擇應急路徑并分配應急物資；

Step2：通過選擇、交叉、變異等操作，產(chǎn)生子代種群Qt；

Step3：合并父代與子代種群，令Rt=Pt∪Qt；

Step4：利用快速非支配排序法對Rt進行非支配排序形成非劣解集；

Step5：按照非支配序從小到大，逐層選取染色體進入下一代Pt+1，直到染色體數(shù)目為Popsize；

Step6：令t=t+1，判斷是否滿足迭代終止條件，若滿足，算法結束，否則，通過選擇、交叉、變異等操作，產(chǎn)生子代種群Qt+1，轉到Step3；

算法流程如圖6所示.

圖6 算法流程Fig．6 Algorithm flow

3 算例分析

3.1 算例背景

假設某地發(fā)生重大突發(fā)事件，受災點數(shù)n=10，編號1～10；調配中心數(shù)m=5，編號1～5．應急物資運輸網(wǎng)絡如圖7所示．調配中心與受災點的路徑距離dij如表1所列，根據(jù)調配中心至受災點間的路徑距離和應急物資運輸工具的平均速度v-可得出物資最短運輸時間tij.各調配中心應急物資存儲量如表2所列，各受災點間的需求量如表3所列.

表1 路徑距離Tab．1 Path distance km

表2 物資存儲量Tab．2 Storage capacity of emergency materials kg

表3 受災點物資需求量Tab．3 Material demand of disaster points kg

圖7 應急物資運輸網(wǎng)絡Fig．7 Transport network of emergency materials

3.2 結果分析

設置種群規(guī)模為100，交叉概率為0.75，變異概率為0.2，基于VisualStudio2017開發(fā)環(huán)境C++語言和Matlab語言實現(xiàn)本文的算法.本文利用帕累托一級前沿解的個數(shù)和兩個目標函數(shù)值的穩(wěn)定性來判斷算法的收斂性能.結果如圖8～9所示.

圖8為帕累托一級前沿解數(shù)量隨著迭代次數(shù)的變化情況，從圖8中我們可以發(fā)現(xiàn)帕累托一級前沿解的數(shù)量在達到6之后趨于穩(wěn)定，因此可以說明本文設計的算法是有效的.

圖8 帕累托一級前沿解個數(shù)Fig．8 Number of Pareto first-order fronts

圖9為應急物資運到時間滿意度前景值和應急物資分配滿意度前景值隨著迭代次數(shù)的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)時間滿意度前景值在迭代次數(shù)為25左右時收斂，分配滿意度前景值在迭代次數(shù)為250左右時收斂.因此進一步說明了算法的收斂性能是良好的.

圖9 算法迭代圖Fig．9 Algorithm iteration diagram

求得的最優(yōu)種群如圖10所示.

從圖10可以發(fā)現(xiàn)災民對應急物資運到時間表現(xiàn)為損失心理，而對應急物資分配公平性表現(xiàn)為收益心理.

圖10 最優(yōu)種群Fig．10 Optimal population

從最優(yōu)種群中篩選出五級前沿解，結果如圖11所示.由于本文以最大化災民對應急物資運到時間的感知滿意度前景值和分配滿意度前景值為目標函數(shù)，所以帕累托前沿呈上“凸”形狀.圖11顯示：每一級帕累托前沿非支配解均勻分布在解空間中，且對立特性描述準確.

在圖11中一級前沿解6個帕累托點.每個帕累托點對應一種應急物資調度方案，每個方案對應的目標值函數(shù)值如表4所列.

圖11 帕累托前沿Fig．11 Pareto front

從表4可以看出一級帕累托前沿有6個帕累托點，其對應的應急物資運輸時間滿意度前景值都小于0，說明在應急物資運到時間上總體上是有略微損失的，而應急物資分配滿意度前景值都大于0，說明在應急物資供不應求的情況下，合理分配應急物資，災民表現(xiàn)出的心理感知是收益的.應急物資分配結果如圖12所示.

表4 應急物資調度方案下的目標值Tab．4 Target values under the emergency materials scheduling scheme

圖12 一級前沿解應急物資調度結果Fig．12 Scheduling results of first-level frontier solution emergency materials

本文采用模糊邏輯法從帕累托一級前沿中找到應急物資調度最優(yōu)方案為方案1，如圖12（a）所示.可以發(fā)現(xiàn)每個調配中心都參與了應急救援任務，且每個受災點都被分配應急物資，這在一定程度上保證了應急救援的公平性.除此之外，方案一所對應的各受災點的應急物資運輸時間滿足程度如圖13所示.

圖13 應急物資運輸時間滿足程度Fig．13 Satisfaction degree of transportation time for emergency materials

從圖13可以看出，各受災點應急物資運輸時間滿足程度都在［90%，115%］之間，應急物資運到時間正負偏差最大為15%，因此對于各受災點而言，方案1下的應急物資運輸時間也是相對公平的，既不存在某一受災點應急物資早到，也不存在另一受災點應急物資嚴重遲到的現(xiàn)象.因此，這也在一定程度上保證了應急救援的公平性.

3.3 參數(shù)分析

由于應急物資調度是處于開放環(huán)境下的，且決策者是有限理性的，考慮到價值敏感系數(shù)α，β以及權重系數(shù)γ，δ對綜合前景值的影響，有必要對其進行靈敏度分析．分析結果如圖14～17所示．

圖14 價值敏感系數(shù)對時間滿意度的影響Fig．14 Influence of value sensitivity coefficient on time satisfaction

1）α和β

從圖14，可以發(fā)現(xiàn)收益敏感系數(shù)α對時間滿意度前景值并沒有很大的影響，然而隨著損失敏感系數(shù)β的增加，時間滿意度前景值增大，一直增加到-10，但并沒有超過0.說明應急物資到達時間對于災民而言是損失的.應該引起決策者的高度關注.

從圖15可以看出，損失系數(shù)β對分配滿意度前景值并沒有影響，但是收益敏感系數(shù)α對分配滿意度前景值的影響很大．可以從圖15發(fā)現(xiàn)當時對分配滿意度前景值并無很大的影響，然而當時分配滿意度前景值隨著α值的增大而驟增．此外，可以發(fā)現(xiàn)物資分配滿意度前景值恒大于0，說明在應急物資供不應求的情況下，合理分配有限物資，災民心理感知是收益的．

圖15 價值敏感系數(shù)對分配滿意度的影響Fig．15 Influence of value sensitivity coefficient on distribution satisfaction

2）γ和δ

從圖16可以看出，時間滿意度前景值被收益感知概率系數(shù)γ和損失感知概率系數(shù)δ所影響，隨著收益感知概率系數(shù)γ的增加，時間滿意度前景值在上下波動．波動幅度為［-50，+50］，隨著損失感知概率系數(shù)δ的增加，時間滿意度前景值基本呈線性增加.

圖16 權重系數(shù)對時間滿意度的影響Fig．16 Influence of weight coefficient on time satisfaction

從圖17可以看出，損失感知概率系數(shù)δ值對分配滿意度前景值并沒有太大影響，但是收益感知概率系數(shù)γ對分配滿意度前景值有很大的影響，隨著收益感知概率系數(shù)γ值的增加，分配滿意度前景值總體上呈線性增加.

圖17 權重系數(shù)對分配滿意度的影響Fig．17 Influence of weight coefficient on distribution satisfaction

4 結論

本文通過考慮災民的有限理性行為，基于應急物資調度優(yōu)化問題，建立了多目標優(yōu)化模型，并設計NSGA-II算法求解該模型，從求得的Pareto最優(yōu)解集中選取最優(yōu)解作為模型的滿意方案.仿真結果表明：

1）考慮災民感知滿意度的多目標優(yōu)化模型有更優(yōu)的收斂性.

2）用前景理論刻畫災民感知滿意度能很好地反映災民對應急救援的實際心理感知.

3）設計NSGA-II算法獲得的Pareto解集具有更高的可行性與有效性.考慮到次生災害對應急救援過程的影響，如何把次生災害考慮到模型中將是下一步研究的重點.