于賀春，張國慶，岳金珂，王文博，王仁宗，張素香，時金虎

(中原工學院機電學院，河南鄭州 450007)

0 前言

空氣靜壓主軸具有回轉(zhuǎn)精度高、能耗低、溫升小等優(yōu)點，是現(xiàn)代機床的核心部件之一。隨著加工精度、加工效率等要求的不斷提高，現(xiàn)代加工制造對空氣靜壓主軸的精度和轉(zhuǎn)速要求也不斷提高。

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究常使用線性攝動法和軌跡法。攝動法無法展現(xiàn)轉(zhuǎn)子在整個系統(tǒng)中的運動軌跡，只適用于轉(zhuǎn)子在平衡狀態(tài)下的微小擾動;而軌跡法是通過對動力學方程和流體方程直接求解，得到轉(zhuǎn)子軸心軌跡，進而對整個系統(tǒng)穩(wěn)定性進行分析。CASTELLI和ELROD首先提出了軌跡法，通過研究長徑軸承，得到不同系統(tǒng)工況下轉(zhuǎn)子軸心軌跡變化，并將分析得到的數(shù)值與攝動法的計算結(jié)果相比較。LUND等為了研究軸承的動態(tài)特性，提出八系數(shù)法,為軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性分析提供了便利，將8個不同方位的剛度阻尼系數(shù)作為軸承的動態(tài)參數(shù)表征軸承的穩(wěn)定性。韓東江等采用軸心軌跡、分岔圖以及頻譜圖等方式，呈現(xiàn)了系統(tǒng)不同振動下的動力學特征，給出了定性的理論分析以及相應的控制方法。張永芳等通過組裝技術(shù)獲得固定瓦-可傾瓦動壓氣體軸承非線性氣膜壓力的分布。HASSINI和 ARGHIR認為旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子在其平衡位置不斷攝動形成其軸心軌跡的變化，每一個位置的氣膜力都可使其產(chǎn)生線性的動態(tài)變化，采用連續(xù)逼近法對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動軌跡進行分析。CHEN和WANG分別利用有限差分法和龍格-庫塔方法求得軸承的瞬態(tài)雷諾方程和系統(tǒng)動力學方程，通過計算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會隨著轉(zhuǎn)子速度與質(zhì)量的變化出現(xiàn)倍周期現(xiàn)象。MIYANAGA 和TOMIOKA利用線性攝動理論，研究了人字槽氣體軸承彈性基座的支承剛度和阻尼的變化，得出彈性基座可以提高軸承穩(wěn)定性的結(jié)論。陳東菊等通過擾動法對軸承動態(tài)特性系數(shù)進行求解，將結(jié)果引入建立的軸承-轉(zhuǎn)子動態(tài)振動模型中，求得了主軸的振動誤差曲線；通過對數(shù)據(jù)進行頻域處理，得到非線性對主軸徑向誤差的影響，并通過實驗對結(jié)果進行分析。任佟等人通過微擾動法和分離變量法對氣體軸承的氣膜阻尼系數(shù)建模、求解并分析，將氣膜阻尼系數(shù)引入軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行動力學建模及計算，并將實驗與計算結(jié)果進行對比。張強和張霞妹通過研究軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，計算了軸承承載力、臨界轉(zhuǎn)速以及振型，并通過改變軸承的平均間隙和偏心率對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速進行研究。

綜上所述，目前多采用線性方法或攝動方法結(jié)合剛度阻尼系數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析，很少考慮氣膜力與轉(zhuǎn)子非線性運動的相互影響。為探究不同狹縫軸承參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，本文作者利用Gambit軟件建立徑向支撐的雙排連續(xù)性狹縫軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)耦合模型，考慮軸承與轉(zhuǎn)子之間的非線性影響。構(gòu)造系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)環(huán)境，對穩(wěn)態(tài)下的軸心軌跡變化和氣體流場進行分析；對系統(tǒng)載荷方向的軸心軌跡變化進行瞬時響應分析，探究不同軸承參數(shù)下系統(tǒng)受到載荷作用后的轉(zhuǎn)子位移在載荷方向的變化曲線，從而利用時域參數(shù)分析不同軸承參數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)耦合方法分析與模型建立

1.1 流固耦合控制方程

主軸內(nèi)的軸承和轉(zhuǎn)子在工作過程中相互影響，轉(zhuǎn)子自身的慣性力和氣膜慣性力會使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生非線性運動，轉(zhuǎn)子軸心軌跡的變化會使氣膜流場分布特性發(fā)生改變，因此可以利用雙向流固耦合方法對狹縫節(jié)流徑向軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行求解。圖1所示為系統(tǒng)耦合計算流程。

圖1 系統(tǒng)耦合計算原理

通過聯(lián)立流體方程與固體方程，可以得到系統(tǒng)的耦合控制方程。流固耦合遵循基本守恒定律，在流固耦合交界面上，流體f與固體s之間變量的傳遞保持守恒，耦合方程滿足公式(1)：

(1)

式中:為應力，Pa；為位移，m；為熱流量，W;為溫度，K。

1.2 動網(wǎng)格技術(shù)

動態(tài)網(wǎng)格(動網(wǎng)格)技術(shù)是一項網(wǎng)格更新技術(shù)，可以改變流場區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格體積大小以及網(wǎng)格的出現(xiàn)和產(chǎn)生，并控制網(wǎng)格質(zhì)量。流場中的任意網(wǎng)格體積上的一般標量的守恒方程為

(2)

式中:為體積，m；?為體積運動邊界；為網(wǎng)格運動速度，m/s；為流體密度，kg/m；為流體速度矢量，m/s；為邊界截面積，m；為耗散系數(shù)；為標量的源項。

1.3 系統(tǒng)耦合參數(shù)確定

以雙排狹縫節(jié)流徑向空氣軸承支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，如圖2所示，軸承參數(shù)如表1所示。

圖2 耦合模型系統(tǒng)簡圖

表1 狹縫軸承部分參數(shù) 單位:mm

在同一坐標系下對系統(tǒng)進行簡化，軸向為模型的方向，徑向受載荷力方向為方向。轉(zhuǎn)子模型軸頸長60 mm，軸頸表面與氣膜內(nèi)表面重合。

1.4 網(wǎng)格劃分及定義邊界條件

(1)網(wǎng)格劃分

在耦合計算過程中,由于流場自身的變化和轉(zhuǎn)子的運動會使氣膜間隙處網(wǎng)格產(chǎn)生大的變形和重構(gòu)。在劃分網(wǎng)格過程中，要在保證網(wǎng)格計算精度的基礎上，減少網(wǎng)格數(shù)量，且與轉(zhuǎn)子耦合處的網(wǎng)格一一對應。不同流場區(qū)域網(wǎng)格節(jié)點數(shù)如表2所示。

表2 流場網(wǎng)格節(jié)點數(shù)

利用Gambit軟件對簡化后的流場模型進行網(wǎng)格劃分。由于軸承長度與氣膜間隙尺寸相差較大，為保證網(wǎng)格質(zhì)量，將流場分為氣膜間隙區(qū)和狹縫區(qū)，如圖3所示?？芍簹饽らg隙區(qū)網(wǎng)格密度由狹縫至氣體出口方向逐漸減?。华M縫區(qū)網(wǎng)格密度由狹縫入口到狹縫出口逐漸增大。

圖3 流場網(wǎng)格劃分

(2)定義邊界條件

定義邊界條件:①氣體在運動過程中保持溫度恒定；②根據(jù)文獻[17]的計算結(jié)果，文中采用層流方式對軸承進行分析；③忽略加工誤差對壁面的影響，轉(zhuǎn)子表面絕對光滑；④系統(tǒng)供氣壓力為0.5 MPa，軸承的出口邊界為壓力出口，出口壓力與環(huán)境壓力相等；⑤設置流場內(nèi)部表面和轉(zhuǎn)子外表面為耦合面，氣膜間隙兩側(cè)出氣表面定義為變形壁面；⑥對轉(zhuǎn)子施加軸向位移約束，排除轉(zhuǎn)子軸向竄動對結(jié)果的干擾。

2 狹縫節(jié)流軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合計算

2.1 系統(tǒng)流固耦合參數(shù)設置

利用ANSYS Workbench中System Coupling模塊對流體域和固體域的計算結(jié)果進行數(shù)據(jù)交換。根據(jù)流體網(wǎng)格大小對計算步長進行調(diào)整，設置耦合計算步長為5×10s。

2.2 系統(tǒng)流固耦合穩(wěn)態(tài)環(huán)境準備

系統(tǒng)的進氣孔壓力為0.5 MPa，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為10 000 r/min，耦合作用下的轉(zhuǎn)子軌跡如圖4所示?？芍恨D(zhuǎn)子在自身慣性力和氣膜力的作用下逐漸趨于某一穩(wěn)定位置；初始時，軸承與轉(zhuǎn)子之間的氣流流動較為混亂，轉(zhuǎn)子受氣流沖擊產(chǎn)生不規(guī)則運動，當氣體流動穩(wěn)定且轉(zhuǎn)速增加到一定穩(wěn)定值后，轉(zhuǎn)子的運動趨于穩(wěn)定，最終在這一位置附近進行渦動。

圖4 耦合作用下的轉(zhuǎn)子軌跡

圖5所示為轉(zhuǎn)子運動穩(wěn)定后，氣膜間隙流場分布情況。此時轉(zhuǎn)子不受外界因素影響，只在自身慣性力和軸承氣膜力作用下運動，氣膜內(nèi)流場分布均勻，轉(zhuǎn)子運動較為平穩(wěn)。

圖5 穩(wěn)態(tài)環(huán)境下氣體壓力分布

2.3 系統(tǒng)的位移分析

圖6所示為狹縫軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到階躍載荷后的轉(zhuǎn)子位移和承載力變化曲線。系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)環(huán)境下運動，當=2.5 ms時，轉(zhuǎn)子在方向受到階躍載荷作用，轉(zhuǎn)子運動軌跡發(fā)生改變，氣膜承載力隨之發(fā)生改變，轉(zhuǎn)子在載荷作用下到達新的平衡位置。

圖6 耦合作用下的轉(zhuǎn)子位移及承載力變化關(guān)系

由圖6(a)中可知：轉(zhuǎn)子位移量增加至最大值7.8 μm后減小，最終趨于平緩，穩(wěn)定在7.1 μm左右；氣膜承載力增大至465 N后減小，趨于平緩后穩(wěn)定在359 N左右，位移最大值與承載力最大值同時出現(xiàn)；當>3.75 ms時，轉(zhuǎn)子的位移變化和氣膜承載力變化趨于平穩(wěn)，系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。由圖6(b)可知：系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下轉(zhuǎn)子的位移變化和氣膜承載力變化相反；當轉(zhuǎn)子位移增加時，氣膜間隙減小，氣膜承載力增加，反之亦然，此時系統(tǒng)狀態(tài)為動態(tài)平衡。

2.4 系統(tǒng)的流場分析

圖7所示為轉(zhuǎn)子在移動過程中軸承內(nèi)的氣體壓力分布情況。可知:當=2.5 ms時，轉(zhuǎn)子未受載荷作用，流場壓力在同一軸向位置的圓周方向均勻分布，轉(zhuǎn)子在自身慣性和氣膜力作用下處于平衡狀態(tài)；當=2.75 ms時，轉(zhuǎn)子受到方向上350 N階躍載荷，轉(zhuǎn)子在載荷作用下與狹縫軸承產(chǎn)生偏心,隨著轉(zhuǎn)子位移的不斷增加，氣膜的高壓面積不斷增加，承載力也不斷增加;當=3.0 ms時，轉(zhuǎn)子的位移量最大，氣膜高壓面積達到最大，此時氣膜承載力大于載荷，轉(zhuǎn)子向反方向移動;當>3.75 ms后，載荷與承載力達到平衡，氣膜的高壓區(qū)面積不再發(fā)生明顯變化，系統(tǒng)處于新的動態(tài)平衡。

圖7 耦合作用下的氣體壓力分布

2.5 狹縫節(jié)流軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域分析

利用時域分析研究轉(zhuǎn)子在載荷作用下的運動規(guī)律，在瞬態(tài)響應階段，狹縫軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到階躍載荷作用，發(fā)生振蕩，經(jīng)過一段時間，系統(tǒng)達到新的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)。

轉(zhuǎn)子在載荷作用下運動，一定時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子位移首次達到穩(wěn)態(tài)的時間為上升時間；轉(zhuǎn)子位移首次達到最大值的時間為峰值時間；上升時間與峰值時間的大小反映了系統(tǒng)的快速性。在二階欠阻尼系統(tǒng)中，最大峰值與穩(wěn)態(tài)值差值與穩(wěn)態(tài)值的比值為系統(tǒng)最大超調(diào)量，利用式(3)可得出最大超調(diào)量和阻尼比之間的關(guān)系：

(3)

阻尼比決定系統(tǒng)的振蕩特性，越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越大。越小，值越大，振蕩幅值越小，當增大到一定程度時，系統(tǒng)的響應曲線單調(diào)上升。

(1)二階欠阻尼系統(tǒng)

圖8所示為在=2.5 ms時施加階躍載荷作用下狹縫間距為30 mm的轉(zhuǎn)子的位移變化曲線?？芍寒?2.5 ms時，轉(zhuǎn)子在方向上不受載荷作用；轉(zhuǎn)子在方向上的位移分為2個階段：瞬態(tài)響應階段和穩(wěn)態(tài)響應階段，其波動規(guī)律符合二階欠阻尼系統(tǒng)響應。

圖8 t=2.5 ms施加階躍載荷轉(zhuǎn)子在x、y方向位移曲線

(2)二階過阻尼系統(tǒng)

圖9所示為在=2 ms時施加階躍載荷作用下狹縫間距為10 mm的轉(zhuǎn)子的位移變化曲線?？芍恨D(zhuǎn)子在方向的位移增長率絕對值逐漸減小，位移變化曲線為二階過阻尼系統(tǒng)響應曲線，此時>1，系統(tǒng)持續(xù)處于瞬態(tài)響應階段，不發(fā)生振蕩，且無最大超調(diào)量。

圖9 t=2 ms施加階躍載荷轉(zhuǎn)子在x、y方向位移曲線

3 耦合計算結(jié)果與分析

3.1 狹縫間距對系統(tǒng)瞬態(tài)參數(shù)的影響

在系統(tǒng)供氣壓力和所受載荷(在=2.0 ms時施加)恒定的情況下，依次改變狹縫軸承的狹縫間距為10、20、30、40、50 mm，計算承載力，結(jié)果如圖10所示。

圖10 瞬態(tài)響應下承載力變化(不同狹縫間距)

由圖10可知：承載力峰值和承載力的變化率隨狹縫間距增加逐漸減小，承載力到達峰值的時間隨著狹縫間距增加而逐漸減小。

圖11所示為不同狹縫間距下轉(zhuǎn)子位移變化網(wǎng)格圖。

圖11 瞬態(tài)響應下y方向位移變化(不同狹縫間距)

由圖11可知：轉(zhuǎn)子位移穩(wěn)定值隨著狹縫間距的增加，先減小后增加，即相同供氣壓力下，轉(zhuǎn)子位移變化反映了系統(tǒng)的承載力變化，即隨著狹縫間距增加，系統(tǒng)承載力先增加后下降；狹縫間距在20、30、40 mm時，轉(zhuǎn)子位移先增大后減小，最終趨于穩(wěn)定，而狹縫間距在10、50 mm時，轉(zhuǎn)子位移先增加后減少，未達到穩(wěn)定狀態(tài)；當狹縫間距為10、50 mm時，系統(tǒng)的位移變化曲線為二階過阻尼系統(tǒng)響應曲線，此狀態(tài)下系統(tǒng)瞬態(tài)響應時間增加，系統(tǒng)無振蕩，阻尼比>1。狹縫間距在20、30、40 mm時，轉(zhuǎn)子位移曲線為二階欠阻尼響應曲線。

3.2 狹縫深度對系統(tǒng)瞬態(tài)參數(shù)的影響

系統(tǒng)其余參數(shù)不變，依次改變軸承的狹縫深度為3、5、7、9、11 mm，軸承承載力隨時間變化曲線如圖12所示?？芍弘S著狹縫深度增加，承載力最大值逐漸下降，即高壓氣體經(jīng)過狹縫節(jié)流器，與周圍壁面接觸，流入氣膜間隙后，能量隨著接觸壁面的增加而逐漸減小，導致承載力在瞬態(tài)響應期間的變化不同，當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)所受外界的載荷相同，軸承的承載力相同。

圖12 瞬態(tài)響應下承載力變化(不同狹縫深度)

圖13所示為不同狹縫深度下的轉(zhuǎn)子位移變化網(wǎng)格圖?？芍弘S著狹縫深度的不斷增加，轉(zhuǎn)子位移先增加后減小，由于不同狹縫深度下的氣膜承載能力不同，導致轉(zhuǎn)子在瞬態(tài)響應階段的位移變化量不同，且最終轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定位置也不相同。

圖13 瞬態(tài)響應下y方向位移變化(不同狹縫深度)

不同狹縫深度下系統(tǒng)時域響應參數(shù)如表3所示?？芍弘S著狹縫深度逐漸增加，轉(zhuǎn)子位移的上升時間和峰值時間逐漸增加，最大超調(diào)量逐漸下降。因此，增加狹縫深度會使系統(tǒng)的響應快速性下降。狹縫深度增加使系統(tǒng)增大，系統(tǒng)振蕩特性減小，系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。

表3 不同狹縫深度下系統(tǒng)瞬態(tài)響應參數(shù)

3.3 狹縫寬度對系統(tǒng)瞬態(tài)參數(shù)的影響

系統(tǒng)其余參數(shù)保持不變，改變狹縫寬度，系統(tǒng)承載力變化如圖14所示：狹縫寬度增加會使軸承的承載力發(fā)生改變，隨著狹縫寬度的不斷增加，波動過程中的軸承承載力最大值逐漸增加，承載力最大值與穩(wěn)態(tài)值的比值不斷增加。

圖14 瞬態(tài)響應下承載力變化(不同狹縫寬度)

圖15所示為瞬態(tài)響應過程中，轉(zhuǎn)子在載荷方向下的位移變化網(wǎng)格圖。可知：當狹縫寬度為0.008 mm時，轉(zhuǎn)子位移一直增加，前4 ms內(nèi)未達到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)未產(chǎn)生波動；狹縫寬度在0.01～0.016 mm時，轉(zhuǎn)子位移有最大值，且隨著寬度的增加，位移絕對值的最大值逐漸增加。穩(wěn)定狀態(tài)下，軸承位移的絕對值隨著狹縫寬度的增加先減小后增加。

圖15 瞬態(tài)響應下載荷方向位移變化(不同狹縫寬度)

狹縫寬度為0.008 mm時，轉(zhuǎn)子位移沒有最大值，為過阻尼系統(tǒng)，>1。表4所示為狹縫寬度為0.01～0.016 mm的瞬態(tài)響應參數(shù)變化?？芍荷仙龝r間和峰值時間在狹縫寬度為0.012 mm時最小，此時位移峰值最大，位移最大值和穩(wěn)態(tài)值的比值最大，系統(tǒng)的反應速度最快；超調(diào)量先增加后減少，即先減小后增加，<1。因此，隨著狹縫寬度的增加，系統(tǒng)先減小后增加,系統(tǒng)穩(wěn)定性先減小后增加。

表4 不同狹縫寬度下系統(tǒng)瞬態(tài)響應參數(shù)

4 結(jié)論

(1)通過流固耦合計算方法可以得到系統(tǒng)動態(tài)耦合下軸承的流場壓力分布與轉(zhuǎn)子的軸心軌跡變化，可知系統(tǒng)轉(zhuǎn)子軌跡在穩(wěn)態(tài)時呈不斷波動狀態(tài)，流場壓力分布變化與轉(zhuǎn)子運動軌跡相互影響。

(2)通過時域分析法可以得出，不同系統(tǒng)對相同載荷下的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)反應各不相同，不同狹縫參數(shù)下的位移變化曲線有2種表現(xiàn)形式：欠阻尼系統(tǒng)和過阻尼系統(tǒng)。在一定范圍內(nèi)，增加兩狹縫之間的距離可使系統(tǒng)阻尼比和穩(wěn)定性先增加后減?。辉黾营M縫深度可使系統(tǒng)阻尼比和穩(wěn)定性逐漸增加；增加狹縫寬度可使系統(tǒng)阻尼比和穩(wěn)定性先減小后增加。系統(tǒng)穩(wěn)定性增加，系統(tǒng)對外界反應的快速性會下降。