郭 鵬， 唐榮安， 孫小偉， 洪學(xué)仁， 石玉仁

（1. 蘭州交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070；3. 蘭州交通大學(xué) 鐵道車輛熱工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070；4. 西北師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，蘭州 730070）

引 言

桿是重要的工程應(yīng)用元件，桿件中的波動特別是非線性波的研究日益引起科研人員的關(guān)注，現(xiàn)已成為工程領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn)[1-6].在文獻(xiàn)[1]中，張善元和莊蔚建立了計(jì)入橫向慣性效應(yīng)任意形狀截面的非線性彈性桿波動方程，其形式為

其中，s 為桿截面積，Jρ為桿截面的極慣性矩，= E/ρ為線彈性縱波波速平方，E為彈性模量，ρ為桿的密度，ν為Poisson比，an和n均 為材料常數(shù).取材料常數(shù) n = 2，通過變換將方程變換為KdV方程并用逆散射方法獲得了KdV方程的孤波解，證明了在材料常數(shù) n = 2時，非線性彈性桿中存在孤波.很多學(xué)者對非線性彈性桿中的孤波問題進(jìn)行了研究.在文獻(xiàn)[7]中，胡偉鵬等取材料常數(shù) n = 2，用多辛方法對方程(1)進(jìn)行了數(shù)值模擬，討論了非線性效應(yīng)和幾何彌散效應(yīng)對孤波傳播的影響.在文獻(xiàn)[8]中，Duan和Zhao取材料常數(shù) n = 3，用約化攝動方法將方程(1)變換為非線性Schr?dinger方程，得到了方程的包絡(luò)孤波解.在文獻(xiàn)[9]中，郭鵬等取材料常數(shù)n≥2，用約化攝動方法將方程(1)變換為變形KdV方程.在文獻(xiàn)[10]中，呂克璞等取材料常數(shù) n≥2，用約化攝動方法將方程(1)變換為非線性Schr?dinger方程.以上研究證明了在材料常數(shù) n≥2時，非線性彈性桿中存在孤波和包絡(luò)孤波.但是需要注意的是，用約化攝動方法獲得的解還是方程的近似解.在文獻(xiàn)[11]中，Kabir取材料常數(shù) n = 2，用修正的Kudryashov方法、(G′/G)展開法和exp函數(shù)法獲得了方程(1)的精確解.在文獻(xiàn)[12]中，?elik等取材料常數(shù) n = 2，用Lie群分析方法和F-展開法獲得了方程(1)的精確解.在文獻(xiàn)[13-14]中，Li等用平面動力系統(tǒng)方法研究了材料常數(shù) n = 2, 3, 5以及大于5的奇數(shù)情況下的精確解.

非線性彈性桿波動方程的求解盡管已經(jīng)有了上述研究工作，但是對于方程(1)中材料常數(shù)n取不同數(shù)值時（包括分?jǐn)?shù)），求解（特別是精確解）仍然是很困難的.值得注意的是，對于非線性方程的求解，經(jīng)過相關(guān)學(xué)者近幾十年來的努力，目前已經(jīng)發(fā)展出了很多精確求解的方法[15-36].在這些求解方法中，sine-cosine方法是一種較為簡便的方法.這種方法的思路是將方程的解擬設(shè)為正弦或余弦函數(shù)形式，然后將正弦或余弦函數(shù)形式的解代入原方程，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)的常數(shù)，從而獲得方程的精確解.本文應(yīng)用sine-cosine方法[29-33]對非線性彈性桿波動方程進(jìn)行了求解，得到了該方程的一些新的周期波解和孤波解.對材料常數(shù)n不等于1（包括材料常數(shù)n為不等于1的分?jǐn)?shù)）的非線性彈性桿中孤波的存在性給出了理論證明.

1 非線性彈性桿波動方程的求解

對方程(1)引入如下變換：

其中k ，c 為待定常數(shù).將方程(2)代入方程(1)可得

將方程(3)對ξ積分一次，并取積分常數(shù)為零可得

令

則方程(4)的形式可簡化為

其中

假設(shè)方程(6)的解為

將方程(8)代入方程(6)可得

為使方程(9)有非零解，需要平衡其中第二和第三項(xiàng)正弦函數(shù)的指數(shù)，使得

令方程(11)中正弦函數(shù)前的系數(shù)為零，可得

由方程(12)解得

將方程(13)及α，β代入方程(8)，可得

同理，若假設(shè)方程(6)的解為

將方程(16)代入方程(6)，得到的解為

可將方程(14)、(15)、(17)、(18)化為

根據(jù)方程(5)，將方程(14)、(15)、(17)、(18)對ξ積分一次，可得

方程(24)~(27)即為非線性彈性桿波動方程的三角函數(shù)周期波解.

同理，將方程(20)~(23)對ξ積分一次，可得

方程(28)~(31)即為非線性彈性桿波動方程的孤波解.

有了以上精確解的表達(dá)式，只要確定了材料常數(shù)n，即可通過積分獲得非線性彈性桿波動方程的精確解.例如，當(dāng)材料常數(shù)時，由方程(24)~(31)可得

其中，C為 積分常數(shù).

當(dāng)材料常數(shù) n = 3時，由方程(24)~(31)可得

由材料常數(shù)n取 其他不同的數(shù)值，我們還可以獲得更多新的精確解，此處不再一一列出.

2 結(jié)果與討論

應(yīng)用sine-cosine方法對非線性彈性桿波動方程進(jìn)行了求解，得到了一些新的周期波解和孤波解.根據(jù)獲得的精確解，還可以很方便地繪制精確解的圖像.例如圖1繪制了當(dāng) c = 1.5， k = 1， an= 0.7， c0= 100， ν= 0.4，Jρ= 0.3， s = 3.5，C = 0時，方程(34)的三角函數(shù)周期波解；圖2繪制了當(dāng) c = 100， k = 0.5， an= 0.7， c0= 30， ν= 0.2，Jρ= 0.1， s = 10， C = 0時，方程(38)的孤波解.所獲得的非線性彈性桿波動方程的新精確解（特別是孤波解）對助于該問題的進(jìn)一步研究.從求解非線性彈性桿波動方程的過程可以看出，sine-cosine方法是一種簡便、有效的方法.在文獻(xiàn)[32-33]中，采用sine-cosine方法同樣簡便地獲得了KdV方程、修正KdV方程、廣義KdV方程、Boussinesq方程、RLW方程、BBM方程、Phi-4方程、修正Degasperis-Procesi方程、修正Camassa-Holm方程的精確解.這種方法還可用于其他非線性方程或方程組的求解.

圖 1 方程(34)解的圖像Fig. 1 Graphical representation of solution (34)

圖 2 方程(38)解的圖像Fig. 2 Graphical representation of solution (38)

3 結(jié) 束 語

非線性彈性桿波動方程的求解盡管已經(jīng)有了相關(guān)參考文獻(xiàn)及本文所開展的上述研究工作，但是對于方程(1)中材料常數(shù)取不同數(shù)值時（包括分?jǐn)?shù)）的求解仍然是很困難的.繼續(xù)研究新的求解方法與獲得同類型方程更豐富的解，值得研究工作者們進(jìn)行更深入的鉆研與探索.