張宇航， 劉文光， 劉 超， 呂志鵬

（南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

引 言

功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GMs)是一種新型復(fù)合材料，通常由金屬和陶瓷組成，并按不同的體積分布函數(shù)沿厚度方向呈梯度變化.這種材料同時具有金屬和陶瓷的優(yōu)點(diǎn)，能夠有效降低結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中，在航空航天領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景.而在飛行器飛行過程中，振動載荷是不可避免的，對飛行器結(jié)構(gòu)的安全可靠性影響巨大.因此，為了推動FGMs在飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計上的應(yīng)用，深入了解FGMs結(jié)構(gòu)的振動特性具有重要意義.

近年來，研究者們圍繞FGMs結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析做了大量的工作.基于Love薄殼理論，Loy等求解了采用冪律分布函數(shù)的FGMs圓柱殼的模態(tài)頻率，分析了不同分布函數(shù)指數(shù)、軸向波數(shù)、環(huán)向波數(shù)對結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響[1].基于小振幅和諧振假設(shè)條件，李世榮等推導(dǎo)了表面粘貼壓電層FGMs彈性梁的熱-力-電耦合動力學(xué)方程，分析了不同載荷下彈性梁的屈曲與自由振動響應(yīng)[2].通過一階剪切變形理論，徐坤等建立了四邊簡支FGMs板的運(yùn)動微分方程，探究了體積分布函數(shù)對板自由振動和受迫振動的影響[3].除了經(jīng)典邊界條件，研究者對彈簧模擬FGMs結(jié)構(gòu)的任意邊界條件開展了研究.采用改進(jìn)的Fourier級數(shù)構(gòu)造位移容許函數(shù)，李文達(dá)等分析了旋轉(zhuǎn)FGMs圓柱殼的行波特性，研究了圓柱殼幾何參數(shù)、旋轉(zhuǎn)速度對行波頻率的影響[4].采用Rayleigh-Ritz法，田宏業(yè)等求解了FGMs圓錐板的模態(tài)頻率[5].結(jié)合反拉氏變換與微分求積法，Liang等研究了不同邊界、熱環(huán)境、彈性支撐和幾何參數(shù)對FGMs圓柱殼振動的影響[6].

由于大變形條件下，F(xiàn)GMs結(jié)構(gòu)不可避免地產(chǎn)生非線性振動，使得結(jié)構(gòu)的分岔、非線性模態(tài)得到了研究者們的廣泛關(guān)注.杜長城等圍繞FGMs圓柱殼的分岔行為，討論了調(diào)諧參數(shù)對分岔的影響[7].考慮到FGMs結(jié)構(gòu)服役過程中，不可避免地受到外部載荷激勵作用，許多研究者討論了外載荷對結(jié)構(gòu)非線性行為的影響.基于Donnell殼理論，Liu等研究了彈性支撐下含孔隙FGMs層合圓柱殼受點(diǎn)載荷作用下的非線性振動特性，揭示了殼的多重內(nèi)共振行為[8].針對不同的FGMs冪律分布函數(shù)，Hamid等分析了橫向激勵下FGMs圓錐殼的非線性主共振行為[9].利用sigmoid材料分布函數(shù)，Singh等研究了幾何尺寸、材料組分對橫向載荷下陶瓷金屬FGMs板非線性振動的影響，分析了FGMs板進(jìn)入混沌運(yùn)動的路徑[10].考慮氣動載荷和面內(nèi)載荷的耦合作用，Yang等推導(dǎo)了FGMs圓錐殼的非線性運(yùn)動方程，求解了圓錐殼的主共振響應(yīng)和次諧波響應(yīng)，討論了圓錐殼振動的混沌行為[11].隨著壓電結(jié)構(gòu)在工程中的廣泛應(yīng)用，陸續(xù)有研究者采用壓電結(jié)構(gòu)作為控制器對FGMs結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動控制.以外層壓電層為作動層，Nguyen分析了壓電功能梯度層合圓柱殼外加電場致非線性振動時域響應(yīng)[12].Moghaddam等分析了在諧波激勵下施加電壓對不同材料分布函數(shù)壓電功能梯度殼非線性響應(yīng)的影響[13].

工程實(shí)踐中，航空航天領(lǐng)域的很多板殼結(jié)構(gòu)在一定條件下可以簡化為圓錐殼模型，而且這些錐殼結(jié)構(gòu)通常要承受振動沖擊和高溫高壓等載荷的作用，致使圓錐殼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生非線性振動.為了推進(jìn)FGMs在航空航天結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用，本文以FGMs圓錐殼為對象，考慮von Kármán幾何非線性推導(dǎo)了FGMs圓錐殼的非線性動力學(xué)方程，討論了不同材料分布以及陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對FGMs圓錐殼非線性振動的影響，研究了在不同激勵幅值下錐角對FGMs圓錐殼運(yùn)動形式的影響.

1 FGMs圓錐殼模型

以圖1所示的圓錐殼模型為對象，假設(shè)錐角為2α0，殼厚為h，母線長為L，圓錐小端的中面半徑為R1，大端的中面半徑為R2.α0=0°時，圓錐殼模型可以轉(zhuǎn)化為圓柱殼；α0=90°時，圓錐殼模型則轉(zhuǎn)化為圓環(huán)板.以圓錐殼的中面為基準(zhǔn)，建立圖1所示的柱坐標(biāo)系Oxθz.坐標(biāo)系中，x表示圓錐殼的母線方向，θ表示圓錐殼的圓周方向，z表示圓錐殼的厚度方向.因此，沿x軸上任一點(diǎn)的半徑R可由x表示：

假設(shè)FGMs圓錐殼受外部橫向載荷F作用：

式中，F(xiàn)'表示振幅，Ω表示載荷激勵頻率.

假設(shè)FGMs圓錐殼的外表面為純陶瓷、內(nèi)表面為純金屬，而且材料沿厚度方向的分布用Voigt模型來描述，則其物理屬性表達(dá)式為

式中，Pc，Pm分別表示陶瓷和金屬的材料屬性(如彈性模量E、密度ρ、Poisson比ν)，Vc，Vm分別表示陶瓷和金屬的體積分?jǐn)?shù).

圖 1 幾何模型Fig. 1 The geometric model

2 非線性運(yùn)動方程

由一階剪切變形理論，圓錐殼上任意一點(diǎn)的位移沿x，θ，z方向的位移分量可由中面位移表示：

式中，t表示時間；u，v，w分別表示圓錐殼上沿x，θ，z軸任意一點(diǎn)的位移；u0，v0，w0表示圓錐殼中面上的位移；φx，φθ分別表示圓錐殼沿軸x，θ方向的轉(zhuǎn)角.

考慮von Kármán非線性，圓錐殼的應(yīng)變與位移的關(guān)系表示為

其中

式中，εx，εθ表示任意一點(diǎn)沿x，θ方向的正應(yīng)變，γxθ表示xOθ平面內(nèi)的切應(yīng)變，γxz表示xOz平面內(nèi)的切應(yīng)變，γθz表示θOz平面內(nèi)的切應(yīng)變；表示中面曲面應(yīng)變分量，κx，κθ，κxθ表示中面曲面曲率.

FGMs圓錐殼的本構(gòu)關(guān)系可表示為

式中，σx，σθ是任意一點(diǎn)沿x，θ方向的正應(yīng)力，τxθ是xOθ平面內(nèi)的切應(yīng)力，τxz是xOz平面內(nèi)的切應(yīng)力，τθz是θOz平面內(nèi)的切應(yīng)力；剛度元素Qij(i,j=1, 2, ···，6)可以表示為

FGMs圓錐殼的應(yīng)變能可以表示為

FGMs圓錐殼的動能可以表示為

橫向外載荷所做的功可以表示為

根據(jù)Hamilton原理，F(xiàn)GMs圓錐殼的運(yùn)動方程可以表示為

式中，Nx，Nθ，Nxθ表示內(nèi)力，Mx，Mθ表示彎矩，Mxθ表示扭矩，I1，I2，I3為慣性矩，具體表達(dá)式為

式中，ε0表示應(yīng)變向量，N表示內(nèi)力矩陣，M表示彎矩矩陣，A，B，D表示剛度矩陣，表達(dá)式分別為

剛度元素Aij，Bij，Dij(i,j=1, 2, ···，6)的具體表達(dá)式為

式中，Qxz,Qθz表示剪切剛度，κc表示剪切修正系數(shù)[14]，取5/6.

3 簡支FGMs圓錐殼的非線性振動分析

假設(shè)FGMs圓錐殼兩端簡支，滿足邊界條件的圓錐殼位移函數(shù)可以假設(shè)為

式中，umn(t),vmn(t),wmn(t),pmn(t),qmn(t)表示關(guān)于時間t的變量，n，m分別為環(huán)向波數(shù)和軸向波數(shù).

假設(shè)外部橫向載荷可以定義為三角函數(shù)形式：

式中，f表示外部橫向載荷幅值.

為簡化分析，本文只討論FGMs圓錐殼的橫向振動[15].將式(20)和(21)代入方程(12)，采用Galerkin法可將FGMs圓錐殼振動模型簡化為非線性單自由度振動系統(tǒng)：

式中，M為廣義質(zhì)量，C為比例阻尼，K1為線性剛度系數(shù)，K2為非線性剛度系數(shù).

定義以下無量綱量：

將式(23)代入方程(22)可得到

其中

式中，ω0為FGMs圓錐殼的線性頻率，表達(dá)式為

假設(shè)方程(24)解的Fourier形式為

取一階截斷，可得

將式(27)和(28)代入方程(24)，通過忽略高階諧波項(xiàng)，同時考慮圓錐殼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，比較cos(ωrτ)和sin(ωrτ)項(xiàng)的系數(shù)，可得

令

式中，χ表示無量綱振動幅值.

方程(29)可進(jìn)一步簡化為

4 結(jié)果分析與討論

4.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證FGMs圓錐殼動力學(xué)模型的可靠性，分別將模型退化為FGMs圓柱殼和純金屬圓錐殼.表1所示是不銹鋼和Ni的材料參數(shù).通過式(26)計算線性模態(tài)頻率，并與文獻(xiàn)[1]結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示，其中f=ω0/(2π).表3反映了純金屬圓錐殼模態(tài)頻率隨環(huán)向波數(shù)的變化情況.結(jié)果表明，本文模型得到的計算結(jié)果和文獻(xiàn)[16-17]結(jié)果比較吻合.

表 1 FGMs圓柱殼的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of FGMs cylindrical shells

表 2 FGMs圓柱殼頻率對比(R1=1, R1/h=500, L/R=20, m=1)Table 2 Comparison of frequencies of FGMs cylindrical shells (R1=1, R1/h=500, L/R=20, m=1)

表 3 純金屬圓錐殼頻率對比(R2=1, R2/h=100, Lsin(γ0)/R2=0.25, α0=30°, m=1)Table 3 Comparison of frequencies of pure metal conical shells (R2=1, R2/h=100, Lsin(γ0)/R2=0.25, α0=30°, m=1)

4.2 幅頻響應(yīng)分析

假設(shè)FGMs圓錐殼的材料組分為Si3N4以及SUS304.數(shù)值分析時，兩種材料的性能分別?。簭椥阅Ａ縀c=322.27 GPa，Em=207.787 7 GPa，密度ρc=2 470 kg/m3，ρm=8 166 kg/m3，Poisson比νc=0.3，νm=0.317 7.圓錐殼的幾何參數(shù)分別為：L/R1=4，R1/h=20，h=0.01 m，α0=15°.圓錐殼施加的外部載荷幅值取= 10，頻率比ωr=1，阻

圖2所示是不同陶瓷體積分?jǐn)?shù)隨陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N的變化規(guī)律.圖3探究了不同材料分布函數(shù)對FGMs圓錐殼非線性振動的影響.結(jié)果表明，F(xiàn)GMs圓錐殼的材料分布沿厚度方向服從冪律分布和指數(shù)分布模型時，隨著陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增大，F(xiàn)GMs圓錐殼的幅值增大，這是因?yàn)樘沾珊繙p少，圓錐殼的剛度下降，F(xiàn)GMs圓錐殼的漸硬彈簧特性減弱.反之，采用sigmoid分布模型，隨著陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增大，漸硬彈簧特性增強(qiáng).

圖 2 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)沿厚度方向的變化Fig. 2 Variations of ceramic volume fraction exponents along the thickness direction

4.3 分岔混沌分析

圖3結(jié)果表明，陶瓷材料分?jǐn)?shù)指數(shù)對FGMs圓錐殼的非線性振動影響不明顯.考慮到冪律分布在FGMs結(jié)構(gòu)加工過程中更易實(shí)現(xiàn)，下面基于冪律分布函數(shù)進(jìn)一步揭示FGMs圓錐殼豐富復(fù)雜的非線性現(xiàn)象.計算時，取分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1.圖4、圖5討論了圓錐錐度以及載荷幅值對結(jié)構(gòu)非線性特性的影響.

圖 3 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對FGMs圓錐殼幅頻響應(yīng)特性曲線的影響Fig. 3 Effects of ceramic volume fraction exponents on nonlinear amplitude frequency responses of FGMs conical shells

圖 4 不同錐度下FGMs圓錐殼隨激勵幅值變化的分岔圖Fig. 4 The bifurcation diagrams of FGMs conical shells for different excitation amplitudes under different cone angles

圖4表明，當(dāng)α0=15°時，圓錐殼存在多個混沌運(yùn)動區(qū)域，從周期運(yùn)動到多周期運(yùn)動再到混沌運(yùn)動；當(dāng)激勵載荷達(dá)到52 ~ 54，60 ~ 68，74 ~ 80以及84 ~ 88時，非線性進(jìn)入混沌運(yùn)動.當(dāng)α0增大到30°時，圓錐殼的混沌運(yùn)動只存在一個載荷幅值區(qū)間，混沌產(chǎn)生所需要的激勵幅值需要達(dá)到95 ~ 98.在載荷小于該值范圍時，圓錐殼只表現(xiàn)為周期以及多周期運(yùn)動.當(dāng)α0繼續(xù)增加到60°時，圓錐殼在30 ~ 100的激勵幅值區(qū)間內(nèi)不再出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.換句話說，增大圓錐殼的錐度，結(jié)構(gòu)的混沌現(xiàn)象將會被延后，甚至消失.

考慮α0=15°時，F(xiàn)GMs圓錐殼的分岔現(xiàn)象更為豐富.以α0=15°為例，圖5給出了激勵幅值取45，65，72時，F(xiàn)GMs圓錐殼相應(yīng)的時間歷程、相圖曲線和Poincaré截面圖，觀察到圓錐殼分別表示為周期、混沌以及多周期運(yùn)動.通過增大圓錐殼的錐度可以有效地延緩運(yùn)動不穩(wěn)定性的發(fā)生.

圖 5 不同激勵幅值下FGMs圓錐殼時間歷程曲線、速度位移相圖以及Poincaré截面圖(α0=15°)Fig. 5 The time history diagrams, phase plots and Poincaré maps of FGMs conical shells under different excitation amplitudes (α0=15°)

5 結(jié) 論

本文采用Hamilton原理以及Galerkin法推導(dǎo)了FGMs圓錐殼的運(yùn)動方程，利用諧波平衡法求解了FGMs圓錐殼的非線性振動幅頻響應(yīng)，討論了不同材料分布函數(shù)下陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對FGMs圓錐殼非線性特性的影響，分析了FGMs圓錐殼的分岔現(xiàn)象，討論了圓錐角和外部載荷幅值對FGMs圓錐殼運(yùn)動狀態(tài)的影響.主要結(jié)論如下：

1) 材料分布函數(shù)對FGMs圓錐殼的非線性特性影響不明顯，F(xiàn)GMs圓錐殼的振動特性都呈現(xiàn)漸硬彈簧非線性特性.

2) 外部激勵幅值的變化導(dǎo)致FGMs圓錐殼產(chǎn)生豐富的非線性現(xiàn)象，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)周期、多周期、混沌運(yùn)動.

3) 錐角較小時，F(xiàn)GMs圓錐殼會出現(xiàn)多個混沌區(qū)域，圓錐殼的運(yùn)動具有不可預(yù)測性；錐角增大，混沌區(qū)域集中發(fā)生在大載荷幅值95 ~ 100的范圍內(nèi)，圓錐殼的混沌運(yùn)動產(chǎn)生條件更為困難.