鄧旭，楊雯欣，付美龍(長江大學(xué)石油工程學(xué)院，湖北 武漢 430100)

0 引言

在“雙碳”背景下，二氧化碳驅(qū)替技術(shù)的引入和持續(xù)發(fā)展，不僅為二三次采油提升采收率提供了更多可能，更是找到了二氧化碳儲存和隔離的正確方向。世界各地研究人員的學(xué)術(shù)研究和現(xiàn)場實驗皆表明，與其他驅(qū)油技術(shù)相比，二氧化碳驅(qū)替技術(shù)的驅(qū)替成本低廉、應(yīng)用范圍更廣泛、采油率高、環(huán)境更友好等優(yōu)點。更重要的是，目前國家大部分油田所處的時期，即正處在高含水和低滲透的境況都兼具良好的適應(yīng)性。再加上這項技術(shù)可以有效地利用二氧化碳，也大力緩解了溫室效應(yīng)所帶來的問題。因此也無疑成為我國環(huán)境保護的一大福音?？紤]到它的諸多優(yōu)勢，國際上對這項驅(qū)替技術(shù)的重視程度和實際需求都在逐步提高。截至目前國內(nèi)外相繼有一批學(xué)者對二氧化碳驅(qū)替與埋存做了很多相關(guān)的實驗研究以及仿真研究。我國對此項技術(shù)的發(fā)展?fàn)顩r也格外關(guān)注并設(shè)立了很多重大的實驗項目。有關(guān)二氧化碳混相及非混相驅(qū)替的礦場實驗也取得了一定的實驗進展。而數(shù)值模擬作為油田開發(fā)中極其重要的一種技術(shù)手段，其中所涉及的數(shù)學(xué)模型更是作為二氧化碳驅(qū)替理論研究的關(guān)鍵之一，也在不停地進步與完善。鑒于此，本文旨在對現(xiàn)有的CO2驅(qū)的數(shù)學(xué)模型進行分類總結(jié)，并分析其特點。

1 CO2驅(qū)油數(shù)學(xué)模型國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

約莫在二十世紀(jì)中葉有關(guān)二氧化碳驅(qū)替理論才被第一次被提出[1]，二十世紀(jì)六七十年代解釋數(shù)學(xué)模型的相關(guān)理論才開始出現(xiàn)[2]?，F(xiàn)如今有三大類數(shù)學(xué)模型可模擬二氧化碳的驅(qū)替過程：黑油模型、傳輸-擴散模型以及組分模型，這三種模型都有其優(yōu)點和缺點。隨著二氧化碳驅(qū)替技術(shù)的發(fā)展，國內(nèi)和國際科學(xué)家開發(fā)的二氧化碳驅(qū)替的數(shù)學(xué)模型也逐漸成熟。

1.1 國內(nèi)研究現(xiàn)狀

1999年，張烈輝等所提出了四組分混相驅(qū)替模型[3]。這個數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)新之處在于，它融合了黑油模型和組分模型的優(yōu)點，其中黑油模型在穩(wěn)定性方面更勝一籌，而多組分模型在模擬凝析油藏和混合相驅(qū)替的能力方面更強。

2004年，侯建想到利用流線方法取代常規(guī)的有限差分法的求解思路，在數(shù)學(xué)模型中運用混相流的油、氣相對滲透率及有效黏度的調(diào)節(jié)來完成混相驅(qū)替的仿真，在聯(lián)合邊界元手段明確龐大邊界條件下穩(wěn)定狀態(tài)滲流場流線分布的根基上， 選用顯式全變差逐漸減少(total variation diminishing) 法對流管道內(nèi)的一維的流場情況執(zhí)行了表征[4]。

2008年，程杰成等開展了特低滲透油藏二氧化碳驅(qū)替數(shù)學(xué)模型的理論探索。最后，建立的數(shù)學(xué)模型能夠很好地表征特低滲透油藏二氧化碳混相驅(qū)和不混相驅(qū)過程中油和二氧化碳的混相機理，包括水、油和二氧化碳(溶劑)的相互影響和傳遞，以及它們之間的質(zhì)量切換，它包括對流擴散、傳質(zhì)和氣液堿轉(zhuǎn)化。它還反映了液體流動各階段的非達西滲透率、相對滲透率和有效黏度等特征[5]。

2011年徐閣元從相平衡和物質(zhì)平衡規(guī)律的角度出發(fā)，合理考慮達西線性滲流運動定律，在常規(guī)的多相、多成分的二氧化碳注入的滲透模型基礎(chǔ)上考慮到二氧化碳的分散特性，首次合理地推導(dǎo)出二氧化碳在未混相和混合相驅(qū)動中的分布式多成分滲透的數(shù)學(xué)模型[6]。

2015年，邸元等從ballard于2004年利用Gibss自由能最小化方法求解出水合物的多相體系相平衡問題而受到啟發(fā)，也利用此種方法計算二氧化碳烴-水-系統(tǒng)的相平衡計算，為相平衡的計算提供了更多的思路[7]。

2021年，高冉等通過耦合油氣兩相閃蒸和二氧化碳在水中的溶解，模擬二氧化碳在油氣水相中的分布、溶解的二氧化碳對其儲存性能的影響以及二氧化驅(qū)油和儲存的整個過程進行了數(shù)值模擬，來整合二氧化碳置換和儲存[8]。最后，在對濮城油田沙一下油藏的數(shù)值模擬中，也證明了這種數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性。

1.2 國外研究現(xiàn)狀

1982 年Michelsen初次給出閃蒸計算，該計算方法圍繞Rachford-Rice函數(shù)，通過Newton迭代的方式進行求解，從而驗證各相的組分組成[9-10]。這種方法同平衡常數(shù)法相比擁有較高的精準(zhǔn)度，缺點在于此算法采用了兩相系統(tǒng)的穩(wěn)定計算，針對三相的相應(yīng)算法還亟待查究。

1996年 Chang等研究了一個二氧化碳驅(qū)替的三相多組份系統(tǒng)的數(shù)值模擬模型。該模型的開發(fā)是通過使用廣泛的二氧化碳逸度因子系數(shù)表來推斷二氧化碳的溶解度，并在內(nèi)部用輸入的二氧化碳溶解度數(shù)據(jù)替換這些表的參數(shù)，作為儲層溫度下壓力的函數(shù)[11]。

LaForce等于2005年和2006年在加拿大建立了一個準(zhǔn)混相三相油驅(qū)動的數(shù)學(xué)模型。 這個數(shù)學(xué)模型考慮了一維擴散感染的影響，并建立了相應(yīng)的質(zhì)量守恒函數(shù)，還進行了相關(guān)的實驗研究[14-16]。

2008年，S.TIAN等利用物料平衡方程(MBE)建立模型，模型通過分析CO2注入前后數(shù)據(jù)情況并與歷史油田數(shù)據(jù)相匹配后，整合了流體的PVT特性以及四相流體相對滲透率關(guān)系、儲層壓力、CO2在儲層流體中的分配率、注入量、CO2接觸的儲層流體比例等因素，該模型可以應(yīng)用于評估、監(jiān)測和預(yù)測CO2注入過程中油藏的整體動態(tài)性能[17]。

2015年，Ju Binshan等基于儲層中多相流體二氧化碳混合物的對流與擴散和二氧化碳與原油間的傳質(zhì)等因素創(chuàng)建了一個非等溫組成流的數(shù)學(xué)模型，其原理是根據(jù)最小混溶壓力和CO2在油相中的最大溶解度設(shè)計了相變圖，實現(xiàn)了預(yù)測油藏中二氧化碳不混雜和混雜淹沒的功能，經(jīng)驗證后證明具有良好的適應(yīng)性[18]。

2022年，Liu Hongji等考慮到氣體表現(xiàn)滲流率和努森數(shù)隨著時間變化，針對雙組分氣體的滲流機理進行探討，并基于此修正了多孔介質(zhì)中Knudsen數(shù)的計算式，建立了雙組分氣體傳輸方程，并推導(dǎo)出雙組分氣體表現(xiàn)滲透率模型[19]。

2 CO2驅(qū)油數(shù)學(xué)模型研究與進展

2.1 改進的黑油模型

其中最開始應(yīng)用在二氧化碳驅(qū)替中的是黑油模型，黑油模型又被稱之為低揮發(fā)性雙組分模型，是一種能夠描述并解釋內(nèi)含非揮發(fā)性組分的黑油以及揮發(fā)性組分的原油溶解氣的體系在油氣藏中的運動規(guī)則的數(shù)學(xué)模型。黑油模型將儲層中各種輕流體和水的混合物簡化為油和水，氣體的三種成分，且相間組分不發(fā)生轉(zhuǎn)移。最早建立在Koval等的研究成果之上。模型前提條件如下。

(1)在開采過程中，儲層內(nèi)油、氣、水三個組分的化學(xué)成分穩(wěn)定，且相間的組分不考慮發(fā)生轉(zhuǎn)移；(2)恒溫；(3)整個系統(tǒng)滿足局部熱平衡，且無固體析出；所涉及到的方程有油氣水相方程，溶解氣驅(qū)方程，輔助方程如下：

油氣水相方程見公式(1)：

溶解氣驅(qū)方程見公式(2)：

輔助方程見公式(3)：

式(1)～(3)中：t為 時 間(d)；φ為 孔 隙 度；S1為相的飽和度，So、Sg、Sw分別為代油、氣、水三相的飽和度；B1中表示1所指相的體積系數(shù)；K為絕對滲透率(10-3μm3)；Kr1為1相相對滲透率；Krs為溶解氣的相對滲透率，Kro為油的相對滲透率(mPa·s)；μl為1所指相的黏度(mPa·s)；Φl為l相相勢；q1為1相源匯項；qs為溶解源匯項(m3/d)；Bo為原油體積系數(shù)：Bs為溶解氣的體積系數(shù)；Rso為溶解氣油比(m3/m3)。

在二氧化碳驅(qū)油數(shù)學(xué)模型發(fā)展的長河中，后續(xù)創(chuàng)建出的傳輸-擴散模型(也稱溶劑模型)和組分模型都是以黑油模型為基礎(chǔ)建立的。而如果要把黑油模型運用在二氧化碳驅(qū)替過程中，則需要對模型中的流體參數(shù)進行修正。改進后的黑油模型把二氧化碳作為模型中多維多相中的一相，與油、氣、水三相并列，但它忽略了相間的傳質(zhì)。模型利用混合參數(shù)近似處理粘稠度的相互關(guān)系，可以很好地描述非混相驅(qū)過程。它的益處呈現(xiàn)模型相當(dāng)簡單，計算復(fù)雜度低，穩(wěn)定性好、可以模擬各種指進現(xiàn)象。缺點在于只能非常接近仿真二氧化碳驅(qū)替過程，不能全面展現(xiàn)出傳輸-擴散的機制和經(jīng)過，而且該模型相對來說不夠準(zhǔn)確，需要適當(dāng)評估混合參數(shù)。 它相比組分模型更適合于描述分散，而不適合于相間質(zhì)量轉(zhuǎn)移。

2.2 傳輸—擴散模型

傳輸-擴散模型(也稱溶劑模型)本質(zhì)上類似于改進的黑油模型。也就是說，在不分析石油驅(qū)替過程中的微流結(jié)構(gòu)的情況下，該模型將二氧化碳作為溶劑。模型包含油、水、溶解氣體和溶劑等四個組分。模型建立的前提條件如下：

(1)流動為層流；(2)恒溫；(3)存在熱力平衡，且無固體析出；油相，水相，溶解氣相，溶劑相的方程如下：

油相的質(zhì)量守恒方程公式見式(4)：

水相的質(zhì)量守恒方程見式(5)：

溶解氣相的質(zhì)量守恒方程見式(6)：

溶劑相的質(zhì)量守恒方程見式(7)：

式(4)～(7)中：qo為原油源匯項；qw，qg分別為地層水和氣體的源匯項(m3/d)；ρosc為原油標(biāo)準(zhǔn)態(tài)密度；ρwsc、ρssc和ρgsc分別為地層水標(biāo)準(zhǔn)態(tài)密度、溶解氣的標(biāo)準(zhǔn)態(tài)密度以及氣體的標(biāo)準(zhǔn)態(tài)密度(kg/m3)；Bw為地層水體積系數(shù)；Bg為氣體體積系數(shù)；Krw為水的相對滲透率；Krg為氣的相對滲透率；μw為地層水黏度；μg為氣體黏度(mPa·s)；Rgo為氣油比；Rgw為氣水比；Φg為氣相相勢。

傳輸-擴散模型本質(zhì)與黑油模型相似，倆者與組分模型相比都沒有考慮相間的傳質(zhì)情況。但傳輸-擴散模型相比黑油模型來說，進步之處在于它考慮了驅(qū)替過程中的強擴散效應(yīng)因此對混相驅(qū)具有一定的適應(yīng)性。這種模型的特點在于在驅(qū)替過程中人為地將儲層中的流體分為油和溶劑兩個組分。然而，該模型在解釋和修正驅(qū)替過程中流體的特性方面也較為欠缺，因而也不能準(zhǔn)確反映二氧化碳驅(qū)替過程儲層中流體相態(tài)和組分的變化情況。

2.3 組分模型

鑒于黑油模型以及傳輸-擴散模型在考慮二氧化碳驅(qū)替過程中相態(tài)變化及組分轉(zhuǎn)移都有所欠缺，于是便有了組分模型。在這種數(shù)學(xué)模型里利用狀態(tài)方程計算各階段相間各組分作占比例，即相平衡計算問題。相平衡的計算也是組分模型中的關(guān)鍵問題，從最開始利用氣液平衡常數(shù)法(也稱K-value模型)，這種方法利用氣液平衡常數(shù)經(jīng)驗公式進行擬合，簡化了求解的過程，這也導(dǎo)致它對組分的描述精確度不夠。后面出現(xiàn)的主流計算方法是閃蒸計算方法，這種計算方法沒有對計算過程進行粗化和省略，可以很好地模擬儲層中原油的汽化、凝結(jié)和膨脹等成分機制[20]。另外根據(jù)熱力學(xué)理論，在一定溫度和壓力的條件下處于相平衡時多相多組分一定滿足Gibss自由能最小化，使用Newion-Raphson迭代法求解控制方程，這種方法被稱之為Gibss自由能最小化方法[7]。

基本組分模型建立前提條件如下：(1)儲層為油氣水三相，且均符合達西滲流定律；(2)油氣中碳?xì)浠衔锏拿糠N成分在滲流過程中都會發(fā)生相間質(zhì)量轉(zhuǎn)移，改變其相態(tài)，但相平衡是瞬間實現(xiàn)的；(3)水組分是一個獨立的相，不參與相與相之間的質(zhì)量轉(zhuǎn)移；(4)考慮巖石的壓縮性和各向異性；(5)滲流過程等溫。

設(shè)油、氣、水共三相共N種化學(xué)組分。油相、氣相和水相中組分i(i=1......N)的摩爾含量分別表示為Cio、Cig和Ciw。通用模型公式見公式(8)：

式中：Kr1、ρ1、μ1(1=o、w、g)及Φo、K為已知量；φ、s1(1=o、w、g)及Ci1(i=1,2,.......N)為等待被求解的未知量。其中：

則：

整理后見公式(12)：

約束條件如下：

飽和度約束公式見式(13)：

歸一化約束公式見式(14)：

相平衡約束公式見式(15)：

毛管壓力約束見公式(16)：

在模型建立時還必須考慮水與二氧化碳的溶解度，因為大量的二氧化碳會通過溶解于水而流失。假設(shè)第NC個烴組分為二氧化碳。分別用Cco2,o、Cco2,w、Cco2分別表示二氧化碳溶解在油、氣、水三相中的摩爾分?jǐn)?shù)?？梢缘玫蕉趸嫉氖睾惴匠桃娛?17)：

水組分方程見式(18)：

i組分方程見公式(19)：

輔助方程：飽和度約束見式(20)：

相平衡約束：

上述是關(guān)于二氧化碳Rsb的關(guān)系式，其中a、b、c、m、po、都是為T有關(guān)的常數(shù)；c為鹽度；f為逸度；Pcgo、Pcwo分別為油氣、油水的毛管壓力。

如上所述，組分模型可以更好地模擬驅(qū)替過程中組分間的變化情況，例如汽化、冷凝和原油膨脹等重要影響。較好地貼合了二氧化碳驅(qū)油過程即可以比較精確的描述二氧化碳驅(qū)替過程中相間的傳質(zhì)情況，不僅如此還可以考慮到多次接觸混相對儲層中原油驅(qū)替程度所存在的影響。但是它仍存在不足，二氧化碳驅(qū)替在儲層中的變化是個極其復(fù)雜的過程，而在組分模型中對原油中碳?xì)浣M分中的輕質(zhì)組分并沒有充分考慮到，另外有關(guān)二氧化碳驅(qū)替過程中達到混相時的黏度，以及黏度修正的問題也都沒有被妥善解決。運用組分模型時最關(guān)鍵的一步是計算相間各組分的含量即相平衡計算，計算方法的不斷發(fā)展大大減少了模型的計算量及復(fù)雜程度，但仍有發(fā)展的余地。目前組分模型是最接近描述二氧化碳驅(qū)替過程的數(shù)學(xué)模型。

3 發(fā)展方向

3.1 流體組分和相數(shù)的劃分

分析不同原油組分對實現(xiàn)混相狀態(tài)產(chǎn)生的影響大小，通過對比計算找出最合適的辟分組合?？紤]輕質(zhì)組分對驅(qū)替過程的影響，減少計算量。

3.2 實現(xiàn)高效模擬

利用模擬油藏進行比較和對標(biāo)，可以更有利于認(rèn)識油藏的開發(fā)潛力[21]。將機器學(xué)習(xí)的聚類算法與模擬進行結(jié)合可以減少工作量，很適用于處理高維數(shù)據(jù)的信息冗余情況進而提高模擬效率。

3.3 參數(shù)修正

流體密度和黏度等參數(shù)的修正問題一直是亟待解決的問題，也是影響相態(tài)計算的重要因素。

4 結(jié)語

黑油模型作為解釋CO2驅(qū)入滲模型的基礎(chǔ)，具有良好的穩(wěn)定性。與這兩種模型相比，組分模型在考慮傳質(zhì)問題方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。它使用狀態(tài)方程計算相間的成分分布，可以很好模擬混相驅(qū)油的過程。但是，穩(wěn)定性卻不如黑油模型，而且計算量很大。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)值模擬與機器學(xué)習(xí)算法相結(jié)合是大勢所趨，這也給與了新思路，可以摒棄大量的計算，實現(xiàn)更優(yōu)質(zhì)的模擬。從20世紀(jì)二氧化碳驅(qū)油這一想法的提出；有關(guān)二氧化碳驅(qū)油數(shù)值模擬的相關(guān)數(shù)學(xué)模型也在趨于成熟。后來雙碳計劃的提出，國家對二氧化碳驅(qū)油技術(shù)也更加關(guān)注。因為它為如何對二氧化碳進行埋存做出了解答，緩解了溫室效應(yīng)對全球環(huán)境的影響，切實響應(yīng)了國家乃至全球的戰(zhàn)略號召。