重慶市合川中學(xué) 黃富國(guó) 王安國(guó) 唐義恒 401520

1 試題呈現(xiàn)

試題：（2021 年新高考Ⅰ卷第19 題）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC.

本題為平面幾何與三角的綜合，主要考察使用正、余弦定理求三角的邊長(zhǎng)和內(nèi)角的余弦等內(nèi)容；能力層面突出考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力、辯證思維能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，側(cè)重考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng).試題分兩問(wèn)，梯度明顯，既能讓絕大數(shù)考生有所收獲，又能區(qū)分不同層次的學(xué)生.試題常規(guī)，但內(nèi)涵豐富，解法多樣，極具探究?jī)r(jià)值，是一道值得研究的好題.試題（1）由題設(shè)，BD=，由正弦定理知，又b2=ac，∴BD=b，得證.下面著重探討第（2）問(wèn).

2 解法探究

評(píng)注：試題為有一個(gè)公共邊的兩個(gè)三角形結(jié)構(gòu)模型，BD為公共邊，∠ADB,∠CDB互補(bǔ)，分別在兩個(gè)三角形中使用余弦定理，成功地將兩個(gè)三角形的邊、角銜接起來(lái)，從而得到試題的解答.這種解法常規(guī)，也是學(xué)生最容易想到，但要注意多解的取舍、漏解、錯(cuò)解等現(xiàn)象.

評(píng)注：有一個(gè)公共邊的兩個(gè)三角形結(jié)構(gòu)模型也可以用向量表示，把表示，借助向量的數(shù)量積運(yùn)算，得到三角形邊角等式，使用余弦定理，進(jìn)而得到答案.從解答過(guò)程來(lái)看，向量法與解法一的三余弦法本質(zhì)上是一致的.實(shí)際上，對(duì)于余弦定理的證明教材上也是采用向量法.

評(píng)注：考慮到向量用坐標(biāo)表示，在△ABC中，先確定點(diǎn)A、C坐標(biāo)，再探究滿足條件點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡.自然會(huì)想到，通過(guò)建系、設(shè)點(diǎn)，求點(diǎn)B的軌跡方程，得點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)，再把條件b2=ac坐標(biāo)化，得到關(guān)于點(diǎn)B方程組，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.相比于解法一、二，解析法不但能減少運(yùn)算，還形象直觀展示滿足條件的三角形，避免了三角形多解的討論.

解法四（平面幾何法）:由條件b2=ac，從數(shù)列角度來(lái)看，a,b,c成等比數(shù)列，且b為等比中項(xiàng)，則有a＞b＞c或c＞b＞a，所以∠ABC為銳角.下面分別討論a＞b＞c或c＞b＞a時(shí)三角形△ABC的圖形.

當(dāng)a＞b＞c時(shí)，BD=b，∠ABC為銳角，滿足條件的三角形△ABC如圖2所示.由于，所以sin ∠ABC=sin ∠BDC,又∠BDC為鈍角，故∠ABC=∠ADB.在△ABC和△ABD中，∠A=∠A，∠ABC=∠ADB,所以△ABC～△ABD.時(shí)，，所以cos ∠ABC=.當(dāng)c＞b＞a時(shí)，BD=b，∠ABC為銳角，滿足條件的三角形△ABC如圖3 所示.同理，△ABC～△BCD,，不合題意.綜上，cos ∠ABC=.

圖2

圖3

3 試題拓展

從上面的解法中，自然會(huì)聯(lián)想到，如果點(diǎn)D在AC邊上移動(dòng)時(shí)，cos ∠ABC的取值如何變化；當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到什么位置時(shí)只有一解，什么位置時(shí)又存在兩解.受到解法四的啟發(fā)，下面我們嘗試從平面幾何的角度對(duì)試題進(jìn)行拓展.

拓展2：記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊CA上或AC的延長(zhǎng)線上，BD=b.若AD=λCD(λ＞0)，求cos ∠ABC.

圖4

圖5

4 反思與小結(jié)

4.1 回歸教材，立足通性通法

考題的模型來(lái)源于課本例題和習(xí)題模型，有一條公共邊的兩個(gè)三角形.這條公共邊可以是三角形的中線、角平分線或任意一條邊.在人教B版教材必修5中，這一模型的試題出現(xiàn)多次，如教材P5 例2，教材P10 習(xí)題1-1B：4，教材P20自測(cè)與評(píng)估第2題、第5題，這些題的公共邊為角平分線或中線；又如在教材1.2 應(yīng)用舉例問(wèn)題2 中，測(cè)量地面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離——兩海島之間的距離.銜接兩個(gè)斜三角形的公共邊就是任意的一條邊.此類問(wèn)題求解的基本思路都是利用公共邊和兩角互補(bǔ)，去銜接兩個(gè)三角形，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.由此可見，高考要考查的考點(diǎn)與教材所要傳達(dá)的知識(shí)點(diǎn)是一脈相承的，課本上著重要傳達(dá)的思想、解決問(wèn)題的方法及對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)就是高考中的考點(diǎn).因此，教師在教學(xué)中做到回歸基礎(chǔ)，從教材中最基本的解決問(wèn)題的方法入手，總結(jié)出同類問(wèn)題的通性通法.

4.2 重視知識(shí)間的聯(lián)系

“課標(biāo)（2017 年版）”指出：教學(xué)中注意溝通各內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過(guò)類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.

就本題而言，關(guān)鍵是對(duì)“有一個(gè)公共邊的兩個(gè)三角形”結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)，利用兩角互補(bǔ)銜接兩個(gè)三角形得到解法1；聯(lián)想到這一結(jié)構(gòu)可以用向量表示就有了解法2；考慮到滿足條件的三角線的形狀，進(jìn)而探究點(diǎn)的軌跡也就有了解法3；想到b2=ac可以看成等比數(shù)列，也可以看成兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)邊成比例，于是就有了解法4.可見，每一種解法的背后都是知識(shí)與方法的交融.以上的四種方法溝通了代數(shù)、幾何、向量、解析幾何的聯(lián)系，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的求解，讓學(xué)生感受代數(shù)法、向量法、解析法、平面幾何的應(yīng)用，體會(huì)到分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，深化了學(xué)生對(duì)知識(shí)、思想、方法的理解.我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中要幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).在不斷學(xué)習(xí)的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈感，提升學(xué)生的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.3 重視平面幾何知識(shí)在解三角中的應(yīng)用

三角形是最基本的幾何圖形，解三角形主要是利用正余弦定理研究三角形邊長(zhǎng)、角度、面積和周長(zhǎng)等，本質(zhì)還是幾何問(wèn)題.初中通過(guò)平面幾何的性質(zhì)研究幾何圖形，如特殊的三角形、勾股定理、三角形相似與全等；高中強(qiáng)調(diào)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，所以在高中幾何學(xué)習(xí)中學(xué)生容易忽視圖形的幾何性質(zhì).一些學(xué)生存在一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為高中的知識(shí)“高級(jí)”，對(duì)初中學(xué)過(guò)的平面幾何知識(shí)不屑一顧，不重視平面幾何知識(shí)在解三角形的應(yīng)用.高考通常以解三角形、解析幾何試題為載體來(lái)考察平面幾何知識(shí).從解法4可以看到，利用圖形幾何性質(zhì),借助平面幾何的知識(shí)，不但能避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解決問(wèn)題的過(guò)程得到簡(jiǎn)化,而且能更好地揭示問(wèn)題的本質(zhì).

總之，解三角形在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是高考的重點(diǎn).試題注重考察基礎(chǔ)性和綜合性.在高中復(fù)習(xí)中，要回歸教材，注重通性通法，對(duì)試題進(jìn)行一題多解，挖掘知識(shí)間的聯(lián)系，嘗試對(duì)試題進(jìn)行拓展，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí)，感受數(shù)學(xué)和諧與統(tǒng)一之美.