甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 趙忠平 737200

2021 年高考全國數(shù)學(xué)I(乙)卷命題聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)聯(lián)，穩(wěn)中求新，滿足了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求.其中第21 題為全卷的壓軸題，命題角度新，突破口寬，但深入解答難，很好的考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者談?wù)勥@道題目的解題突破方法，以及解析幾何教學(xué)的備考策略，供參考.

1 高考試題及突破方法分析

題目：已知拋物線C:x2=2py()p＞0 的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上的點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；（2）若點(diǎn)P在圓M上，PA、PB是C的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值.

本題第（1）問易求p=2;第（2）問可以從多個(gè)角度切入，下面具體分析：

點(diǎn)評(píng):求面積的最值問題一般轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)問題處理，所以設(shè)直線AB方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求出底邊長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出高，從而得到面積表達(dá)式，利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

點(diǎn)評(píng)：本解法選擇以切線方程為切入點(diǎn)，運(yùn)用判別式表征相切關(guān)系，利用減元思想及整體代換，實(shí)現(xiàn)問題的求解.

策略3：設(shè)出A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用導(dǎo)數(shù)方法表示出切線斜率，進(jìn)一步寫出兩條切線方程，利用同構(gòu)方程得到切點(diǎn)弦方程.

點(diǎn)評(píng)：本解法選擇以坐標(biāo)為切入點(diǎn)的策略，從導(dǎo)數(shù)的視角研究切點(diǎn)，推導(dǎo)出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)一步求出弦長(zhǎng)和P到直線AB的距離，表示出面積再利用函數(shù)單調(diào)性求最值.此處也可以推導(dǎo)出拋物線切點(diǎn)弦方程的一般形式，即過P(x0,y0)做拋物線x2=2py(p＞0)的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，則直線AB方程為x0x=p(y0+y)，如果直接利用這個(gè)結(jié)論則更容易求解.

策略4：以設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為切入點(diǎn)，得到AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)和兩條切線PA、PB交 點(diǎn)P的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)PN∥y軸，把△PAB分割成兩個(gè)三角形求面積的和.

點(diǎn)評(píng)：在求圖形面積時(shí)將圖形分割成若干小的圖形求面積之和是常見解題策略，本題在求解過程中發(fā)現(xiàn)PN∥y軸，從而將△PAB分割成兩個(gè)三角形求其面積之和，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化.

2 備考策略

2.1 重視學(xué)生數(shù)學(xué)多元表征能力和數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

解析幾何教學(xué)中要教會(huì)學(xué)生“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán)[1].在解析幾何解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一個(gè)條件，從不同角度、利用不同語言進(jìn)行表征，比較表征結(jié)果的優(yōu)劣，在解題教學(xué)中要對(duì)不同的表征方法做出示范，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同表征方式對(duì)于解題過程的具體影響，從中選擇最優(yōu)表征方法.例如對(duì)于曲線的切線問題有代數(shù)法、幾何法、導(dǎo)數(shù)法等多種表征方法.

2.2 重視解析幾何中學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

解析幾何試題對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求很高，因此解析幾何教學(xué)中要把握解析幾何運(yùn)算的特點(diǎn)，低起點(diǎn)、緩坡度、有預(yù)見性地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解析幾何運(yùn)算，讓學(xué)生體會(huì)、感悟、總結(jié)解析幾何運(yùn)算技巧.另外，解析幾何教學(xué)中，提高運(yùn)算能力不能僅僅要從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，要在落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想上下功夫[1].

2.3 重視解析幾何與其他知識(shí)交匯點(diǎn)的教學(xué)

高考試題突出以“一核四層四翼”的高考評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，突出以知識(shí)立意、能力立意向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變，因此在解析幾何教學(xué)中要重視知識(shí)交匯點(diǎn)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)交匯問題進(jìn)行深度體驗(yàn)、發(fā)散思考、拓展延伸，使學(xué)生在自主體驗(yàn)中積累經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會(huì)思考、提升素養(yǎng).