趙左平, 于靖東, 金山海
( 延邊大學(xué) 工學(xué)院, 吉林 延吉 133002 )
在反饋控制系統(tǒng)中,反饋回路通常由輸入信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成.但由于受環(huán)境干擾和傳感器精度等的影響,反饋回路中的輸入信號(hào)易含有噪聲,進(jìn)而會(huì)降低系統(tǒng)的控制性能;因此,濾除輸入信號(hào)中的噪聲并正確估計(jì)其導(dǎo)數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制具有重要意義.目前,數(shù)字濾波技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于數(shù)字控制系統(tǒng)中,其中線性濾波器因具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)受到學(xué)者們的關(guān)注;但線性濾波器在強(qiáng)降噪的情況下會(huì)產(chǎn)生較大的相位滯后,進(jìn)而會(huì)降低控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.針對(duì)線性濾波器所存在的缺陷,一些學(xué)者對(duì)非線性濾波器進(jìn)行了研究.1994年,韓京清等[1]提出了一類具有拋物線滑模面的2階滑模跟蹤微分器(TD- [1]),由于該濾波器的濾波效果顯著優(yōu)于線性濾波器,因此目前被廣泛應(yīng)用于各類控制系統(tǒng)中[2-4].但TD- [1]存在易產(chǎn)生超調(diào)的缺陷,對(duì)此Jin等[5]對(duì)TD- [1]進(jìn)行了改進(jìn)并提出了TD- [5],該方法可有效對(duì)超調(diào)進(jìn)行抑制.Lü等[6]在TD- [5]的基礎(chǔ)上提出了一種快速收斂的2階滑模跟蹤微分器(TD- [6]),TD- [6]可在不影響濾波效果的前提下提高系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度.由于上述微分器都只能估計(jì)輸入信號(hào)及其1階導(dǎo)數(shù),而無(wú)法估計(jì)輸入信號(hào)的高階導(dǎo)數(shù),因此Levant[7]研究了另一類能估計(jì)輸入信號(hào)高階導(dǎo)數(shù)的高階滑模跟蹤微分器(TD- [7]).TD- [7]雖具有高魯棒性、高精確性等優(yōu)點(diǎn)[8-10],但其在響應(yīng)階段會(huì)產(chǎn)生較大超調(diào),且在強(qiáng)噪聲情況下無(wú)法平衡濾波效果和跟蹤速度之間的權(quán)衡.為此,本文對(duì)TD- [7]進(jìn)行改進(jìn),提出一種新型可變?cè)鲆娓唠A滑模跟蹤微分器,并對(duì)其性能進(jìn)行了研究.
TD- [7]的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式為:
(1a)
…
(1b)
(1c)
(1d)
…
(1e)
(1f)
其中:nf=1,2,3,…;nd=0,1,2,3,…;k=1,2,3,…;nf+nd=k;u(t)為輸入信號(hào);z0(t),z1(t),…,znd(t)為輸入信號(hào)u(t)的nd階導(dǎo)數(shù)估計(jì);w1(t),w2(t),…,wnf(t)為輔助變量;λ0,λ1,λ2,…,λk>0是一組遞歸數(shù)列;L>0為系統(tǒng)增益;符號(hào)函數(shù)sgn()的表達(dá)式為:
(2)
圖1為1階TD - [7]在含噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果.由圖1可以看出,系統(tǒng)增益L取任何值時(shí)都會(huì)產(chǎn)生超調(diào).另外,增大L值雖然可加快系統(tǒng)的收斂速度,但同時(shí)會(huì)降低濾波效果,因此需要平衡系統(tǒng)的響應(yīng)速度與濾波效果.
本文提出的改進(jìn)型高階滑模跟蹤微分器(TD - M)的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式為:
(3a)
…
(3b)
(3c)
(3d)
…
(3e)
(3f)
其中0 <β≤1.
圖2為1階TD- [7](L=100)和1階TD -M(L=375,β=0.5)在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果.圖2中,為了使TD- [7]和TD - M的收斂速度相同,本文增加了TD - M的增益取值.由圖2可以看出,在t1時(shí)刻之前,z0(t)-u(t)的符號(hào)未發(fā)生改變,因此w1(t)始終朝一個(gè)方向進(jìn)行累積;在t1時(shí)刻之后,z0(t)-u(t)的符號(hào)發(fā)生改變,且此時(shí)w1(t)已經(jīng)累積了一定數(shù)值,因此w1(t)的符號(hào)在t2時(shí)刻才能發(fā)生改變并需要一定的時(shí)間才能收斂到0.由以上可知,TD - [7]和TD - M都會(huì)產(chǎn)生超調(diào),但由于TD - M的各階系統(tǒng)狀態(tài)都增加了β項(xiàng),因此w1(t)的改變點(diǎn)相比TD - [7]出現(xiàn)得更早,且收斂到0的速度更快,即TD - M在系統(tǒng)響應(yīng)階段所產(chǎn)生的超調(diào)小于TD- [7].
(a) 輸入信號(hào)u(t)和輸出信號(hào)z0(t) (b) 圖(a)的局部放大 圖1 TD - [7]在含噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果
(a) TD- [7]的z0(t)-u(t)和10w1(t) (b) TD - M的z0(t)-u(t)和10w1(t)圖2 1階TD - [7]和1階TD - M在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果
圖3 1階TD - M在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)下β取不同值時(shí)的響應(yīng)結(jié)果
圖3為1階TD - M在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)下取不同β值的響應(yīng)結(jié)果.由圖3可以看出,增益L值不變時(shí)系統(tǒng)的收斂速度和超調(diào)均隨β值的減小而減小.
圖4為1階TD - [7](L=100)和1階TD - M (L=375,β=0.5)在含噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果.由圖4可見(jiàn),二者在響應(yīng)速度相近時(shí)TD - M產(chǎn)生的超調(diào)小于TD - [7],但在穩(wěn)態(tài)階段下二者的濾波效果相似.
(a) TD - [7]的z0(t)和TD -M的z0(t) (b) 圖(a)的局部放大 圖4 1階TD - [7]和1階TD - M在含噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果
為了進(jìn)一步提升TD- M的噪聲抑制能力,本文提出了一種可變?cè)鲆娓唠A滑模跟蹤微分器(TD- N),即用Sigmoid變?cè)鲆婧瘮?shù)代替常數(shù)增益L對(duì)系統(tǒng)的跟蹤性能進(jìn)行調(diào)整.利用該方法可使系統(tǒng)在跟蹤誤差較大時(shí),能夠通過(guò)增大增益來(lái)提高收斂速度,而在跟蹤誤差較小時(shí)能夠通過(guò)減小增益來(lái)提高濾波效果.TD- N的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式為:
(4a)
…
(4b)
(4c)
(4d)
…
(4e)
(4f)
圖5為參數(shù)a和b取不同值時(shí)Sigmoid變?cè)鲆婧瘮?shù)的變化曲線.由圖5可以看出,通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)a可改變Sigmoid變?cè)鲆婧瘮?shù)的斜率,通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)b可改變Sigmoid變?cè)鲆婧瘮?shù)的下限.
圖5 參數(shù)a和b取不同值時(shí)Sigmoid變?cè)鲆婧瘮?shù)的曲線變化
圖6 TD - N在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果
圖6為T(mén)D - N在無(wú)噪聲階躍輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)結(jié)果.從圖可以看出,當(dāng)跟蹤誤差較大時(shí),系統(tǒng)處于響應(yīng)階段.此時(shí)函數(shù)G(t)的值無(wú)限趨近于上限,從而可加快系統(tǒng)的狀態(tài)收斂.而當(dāng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)和跟蹤誤差較小時(shí),函數(shù)G(t)的值趨于下限,從而可提高濾波效果.
本文采用如下三角波、方波及變頻正弦波輸入信號(hào)對(duì)TD - N的有效性進(jìn)行驗(yàn)證:
(5)
(6)
(7)
其中:δ(t)~N(0,1)是均值為零的單位高斯白噪聲.TD - [7]和TD - N的參數(shù)取值見(jiàn)表1,仿真采樣周期取T=0.001 s.此外,由于TD - [7]的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式(1)和TD - N的連續(xù)時(shí)間表達(dá)式(4)無(wú)法在數(shù)字處理器中直接運(yùn)行,因此采用前進(jìn)歐拉離散法對(duì)其進(jìn)行離散化后再在數(shù)字處理器中進(jìn)行運(yùn)行[12].
表1 TD - [7]和TD - N的參數(shù)取值
使用以下兩個(gè)評(píng)估函數(shù)定量評(píng)估系統(tǒng)的濾波效果和超調(diào)量:
式中:AE是平均誤差,us(t)為輸入信號(hào)的無(wú)噪聲分量,MO是最大超調(diào)量.
圖7—圖15分別為T(mén)D- [7]、TD- N在輸入信號(hào)為式(5)—(7)時(shí)的性能. 由圖可以看出,在該3種輸入信號(hào)下,TD- N和TD- [7]的收斂速度雖然接近,但TD- N的最大超調(diào)量明顯小于TD- [7].此外,在穩(wěn)態(tài)階段TD- N的濾波性能也顯著優(yōu)于TD- [7].由此可知,在不影響收斂速度的前提下 TD- N的超調(diào)抑制能力和噪聲濾除能力均優(yōu)于TD- [7].
圖7 輸入信號(hào)為式(5)時(shí)TD- [7]和TD- N的響應(yīng)結(jié)果
圖9 輸入信號(hào)為式(7)時(shí)TD- [7]和TD- N的響應(yīng)結(jié)果
圖10輸入信號(hào)為式(5)時(shí)TD- [7]和TD- N的平均誤差
圖11輸入信號(hào)為式(6)時(shí)TD- [7]和TD- N的平均誤差
圖12輸入信號(hào)為式(7)時(shí)TD- [7]和TD- N的平均誤差
圖14輸入信號(hào)為式(6)時(shí)TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量
圖13輸入信號(hào)為式(5)時(shí)TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量
圖15輸入信號(hào)為式(7)時(shí)TD- [7]和TD- N的最大超調(diào)量
研究表明,本文提出的新型可變?cè)鲆娓唠A滑模跟蹤微分器(TD- N)產(chǎn)生的超調(diào)不僅小于TD- [7],而且在不影響收斂速度的前提下可有效提高濾波效果;因此,TD- N的性能顯著優(yōu)于TD- [7], 并有望在強(qiáng)噪聲和寬輸入信號(hào)頻率的環(huán)境下得到應(yīng)用.本文在研究中僅對(duì)TD- N的部分參數(shù)進(jìn)行了分析,因此在今后的工作中我們將進(jìn)一步研究其他參數(shù)對(duì)TD- N的性能的影響,以得到更好的TD- N.