吳羅義

( 武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院， 福建 武夷山 354300 )

0 引言

捕食者- 食餌系統(tǒng)是生物數(shù)學(xué)研究的重要對象之一.從捕食者的生長函數(shù)與捕食函數(shù)關(guān)系考慮，可將相應(yīng)的捕食者-食餌模型分為兩類：一類是捕食者的生長函數(shù)與捕食函數(shù)一致，如經(jīng)典的Gause型模型[1]；另一類是捕食者的生長函數(shù)與捕食函數(shù)不同，如Leslie - Gower模型[2]：

(1)

其中u(t)和v(t)分別為食餌和捕食者的密度，其他參數(shù)為正常數(shù)(生物意義參考文獻(xiàn)[2]).Hsu等[3]研究表明，模型(1)的唯一正平衡在所有生物學(xué)允許的參數(shù)內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.為了研究不同捕食功能函數(shù)以及物種在較大范圍內(nèi)的空間移動對模型(1)的影響，一些學(xué)者對模型(1)進(jìn)行了改進(jìn).例如： Huang[4]等提出了一類具有廣義Holling III功能反應(yīng)的Leslie模型，并證明了該模型在兩個退化平衡點(diǎn)處分別經(jīng)歷了亞臨界Hopf分支和Bogdanov - Takens分支；張麗娜等[5]提出了一類修正的Leslie - Gower捕食者- 食餌擴(kuò)散模型，并研究了該模型正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性；魯引兒等[6]研究了一類具有非線性收獲的Leslie - Gower捕食者- 食餌擴(kuò)散模型，并討論了其Hopf分支的存在性.

在模型(1)中，如果食餌是害蟲，則害蟲是不可能被消滅的(模型(1)不存在食餌滅絕的平衡點(diǎn)).研究表明，給捕食者提供額外食物可使模型產(chǎn)生食餌滅絕的平衡點(diǎn).例如： Basheer等[7]在Holling - Tanner模型的基礎(chǔ)上建立了一類提供額外食物的Holling - Tanner模型，并研究了附加食物對食餌種群的影響.本文根據(jù)文獻(xiàn)[7]的建模機(jī)理，在假定捕食者對食餌與附加食物的選擇無偏好的基礎(chǔ)上，將模型(1)改進(jìn)為如下形式：

(2)

(3)

本文將研究模型(3)的局部與全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，以及非雙曲平衡點(diǎn)在適當(dāng)參數(shù)擾動下所產(chǎn)生的分支等動力學(xué)行為.

1 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

對J(E0)和J(E1)的特征值進(jìn)行計算可知，E0(0,0)是不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，E1(1,0)是鞍點(diǎn).

(4)

對式(4)作線性變換(U=x,V=nx+y)可得：

(5)

2 分支分析

WT[DFβ(E2;βTB)V]=

于是由Sotomayor定理[8]可知，系統(tǒng)在β=βTB處圍繞E2存在跨臨界分支，即當(dāng)參數(shù)β從βTB的一端跨越到另一端時，E2的穩(wěn)定性發(fā)生改變.

3 全局穩(wěn)定性

引理1系統(tǒng)(3)是最終有界的，且Ω={(u,v)|0

上式說明當(dāng)v≤2mnβ時，捕食者總是遞增的，即當(dāng)t充分大時v≥2mnβ.

引理2系統(tǒng)(3)在R2+上不存在閉軌.

證明取Dulac函數(shù)B(u,v)=uα -1vγ -1， 其中α和γ為待定常數(shù)，則有：

定理5當(dāng)0<β<1/(2kmn-1)時，E3在R2+上全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

4 數(shù)值模擬

(6)

圖1 β=1.5時系統(tǒng)(6)的相圖 圖2 β=1.0時系統(tǒng)(6)的相圖

圖3 β=0.5時系統(tǒng)(6)的相圖