劉英姿, 李忠, 何夢昕

( 1.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 福州 350108; 2.閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 福州 350108 )

0 引言

捕食者- 食餌模型是描述種群關(guān)系的一個重要模型.研究發(fā)現(xiàn)，捕食者的存在會改變食餌自身的生理機能,例如食餌會因為擔(dān)心被捕食者而降低自身的繁殖能力或改變棲息地,學(xué)者們將這種現(xiàn)象稱為恐懼效應(yīng)[1].2016年, Wang等[2]首次將恐懼效應(yīng)考慮到捕食者- 食餌模型中,研究顯示較大的恐懼可以促進系統(tǒng)的穩(wěn)定.2017年, Sasmal[3]提出了一種具有恐懼效應(yīng)和Allee效應(yīng)的捕食者- 食餌模型,研究顯示該模型會使系統(tǒng)產(chǎn)生雙穩(wěn)現(xiàn)象.2019年, Zhang等[4]提出了一種將恐懼效應(yīng)和避難所相結(jié)合的捕食者- 食餌模型,研究發(fā)現(xiàn)恐懼效應(yīng)和避難所會改變食餌和捕食者的種群密度,同時恐懼效應(yīng)也會促進系統(tǒng)的穩(wěn)定.2020年, Wang等[5]討論了一種具有恐懼效應(yīng)的Leslie - Gower捕食者- 食餌模型,并分析了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支.基于上述研究,本文研究如下具有恐懼效應(yīng)和食餌避難所的Leslie - Gower捕食者- 食餌模型的動力學(xué)行為:

(1)

(2)

1 預(yù)備定理

定義系統(tǒng)(2)的初值條件滿足x>0,y≥0, 則由此易得正y軸是系統(tǒng)(2)的不變集,且系統(tǒng)(2)的解都是正的.

定理1系統(tǒng)(2)的解是有界的.

由于原點在系統(tǒng)(2)的右端沒有意義,無法通過雅克比矩陣分析原點的穩(wěn)定性,所以本文利用吹脹方法來討論原點的穩(wěn)定性.

定理2系統(tǒng)(2)的原點是一個不穩(wěn)定的點.

證明利用水平吹脹的方法令x=u和y=uv,則系統(tǒng)(2)可變?yōu)槿缦孪到y(tǒng):

(3)

其中P(u,v)和Q(u,v)是不低于3次的解析函數(shù).利用文獻[6]中的定理7.1進行判定可知,當(dāng)s=1時由系統(tǒng)(2)的原點吹脹出來的點(0,0)是一個排斥的鞍結(jié)點.再利用垂直吹脹的方法即令x=ηw,y=η和dt=(1-h)dτ(仍然用t表示τ),則系統(tǒng)(2)可變?yōu)槿缦孪到y(tǒng):

(4)

2 平衡點的穩(wěn)定性

(5)

定理3系統(tǒng)(2)的邊界平衡點E0是一個鞍點.

定理4系統(tǒng)(2)的正平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)在E1點的雅可比矩陣JE1及其行列式和跡分別為:

由以上易知Det(JE1)>0, Tr(JE1)<0, 所以正平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的,證畢.

定理5系統(tǒng)(2)的唯一正平衡點E1是全局漸近穩(wěn)定的.

3 恐懼效應(yīng)和食餌避難所對種群密度的影響

正平衡點E1(x1,y1)滿足如下方程:

(6)

利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求x1和y1對k的導(dǎo)函數(shù)可得:

下面討論食餌避難所對食餌和捕食者種群密度的影響.利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求x1和y1對h的導(dǎo)函數(shù)可得:

下面用兩個例子來分別說明恐懼效應(yīng)和食餌避難所對種群密度的影響.

圖1 恐懼效應(yīng)對種群密度的影響

(7)

取k=1, 則系統(tǒng)(7)的唯一正平衡點為E1(0.745,0.372); 若取k=5, 則系統(tǒng)(7)的唯一正平衡點為E1(0.612,0.306).圖1為恐懼效應(yīng)對種群密度的影響.由圖1可以看出,隨著k值的增大,食餌和捕食者最終均達到穩(wěn)定的種群密度(分別由0.745降到0.612, 由0.372降到0.306), 由此可知恐懼效應(yīng)不利于食餌和捕食者種群密度的增加.

例2對系統(tǒng)(2)取參數(shù)k=1,s=2,q=4,即考慮如下的系統(tǒng):

圖2為食餌避難所對食餌種群密度的影響.由圖2可以看出,食餌的種群密度隨著避難所h的增大而增大,說明增加食餌避難所有利于食餌種群密度的增加.圖3是食餌避難所對捕食者種群密度的影響.從圖3可以看出，當(dāng)h的取值為00.548), 較多的食餌會進入避難所,因此此時捕食者能夠捕獲的食餌變少,即較大的食餌避難所不利于捕食者種群密度的增加.

圖2 食餌避難所對食餌種群密度的影響 圖3 食餌避難所對捕食者種群密度的影響

4 結(jié)論

本文考慮了一類具有恐懼效應(yīng)和食餌避難所的Leslie - Gower捕食者-食餌系統(tǒng),證明了該系統(tǒng)具有唯一的正平衡點，且該點是全局漸近穩(wěn)定的.研究還表明：恐懼效應(yīng)和食餌避難所對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響,但是恐懼效應(yīng)和食餌避難所會改變食餌和捕食者的種群密度.其中恐懼效應(yīng)會降低食餌和捕食者的種群密度，食餌避難所會增加食餌的種群密度,較小的食餌避難所會增加捕食者的種群密度,較大的食餌避難所會降低捕食者的種群密度.該結(jié)果可為調(diào)整種群密度提供參考.本文模型考慮的是相對簡單的Holling I型功能性反應(yīng)函數(shù),在今后的研究中我們將考慮一些更為復(fù)雜的功能性反應(yīng)函數(shù),以此進一步研究具有恐懼效應(yīng)和食餌避難所的捕食者-食餌模型的動力學(xué)行為.