李曉陽(yáng)，陶昭，張慰

1.北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京 100083 2.北京航空航天大學(xué) 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083

目前對(duì)于疲勞的研究已經(jīng)取得許多進(jìn)展，建立起描述疲勞裂紋擴(kuò)展的模型。通常，疲勞裂紋擴(kuò)展模型描述裂紋擴(kuò)展速率與材料、幾何形狀、載荷等因素的確定性因果關(guān)系。然而，在疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，由于材料組織和缺陷的不均勻性、環(huán)境條件變化等因素的影響，疲勞裂紋擴(kuò)展速率會(huì)隨時(shí)間波動(dòng)，表現(xiàn)出裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性，并且這種不確定性具有隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的特征。即使在控制良好的實(shí)驗(yàn)室條件下，疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)結(jié)果中通常也會(huì)表現(xiàn)出顯著的統(tǒng)計(jì)離散性，同樣也顯示出疲勞規(guī)律的統(tǒng)計(jì)特性。因此，為了進(jìn)一步準(zhǔn)確認(rèn)知疲勞裂紋擴(kuò)展規(guī)律，需要從疲勞裂紋擴(kuò)展的物理機(jī)理出發(fā)，建立描述疲勞裂紋擴(kuò)展的理論模型，通過(guò)對(duì)理論模型輸入變量的干預(yù)與控制，開(kāi)展疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證疲勞裂紋擴(kuò)展理論模型的正確性，并基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量化不確定性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性規(guī)律的準(zhǔn)確認(rèn)知，以及對(duì)時(shí)間維度不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征的正確量化。

從材料的微觀層面來(lái)研究疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程，有位錯(cuò)滑移和熱激活引起原子鍵破裂等物理解釋。由于材料微觀結(jié)構(gòu)的不均勻性和熱漲落的動(dòng)態(tài)性，帶來(lái)疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化，宏觀層面表現(xiàn)于疲勞裂紋擴(kuò)展速率隨時(shí)間波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性。近40年來(lái)，針對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性動(dòng)態(tài)變化開(kāi)展的建模研究可分為2類(lèi)：一類(lèi)是直接利用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程，從而建立疲勞裂紋擴(kuò)展隨機(jī)模型；另一類(lèi)是在疲勞裂紋擴(kuò)展確定性模型(即基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ突蚧跀嗔蚜W(xué)的理論模型)的基礎(chǔ)上，引入以隨機(jī)過(guò)程表征的隨機(jī)因子來(lái)建立疲勞裂紋擴(kuò)展隨機(jī)模型。直接利用隨機(jī)過(guò)程開(kāi)展的建模研究中，Bogdanoff和Kozin用馬爾可夫鏈來(lái)分析裂紋萌生和擴(kuò)展中損傷隨時(shí)間的變化。Hao等基于維納過(guò)程構(gòu)建出退化模型，并應(yīng)用于描述疲勞裂紋擴(kuò)展。這類(lèi)直接利用隨機(jī)過(guò)程建模的方法，本質(zhì)上屬于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，缺乏對(duì)物理過(guò)程的描述，從而導(dǎo)致人們對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展的本質(zhì)認(rèn)知不清。

而在基于物理機(jī)理構(gòu)建的疲勞裂紋擴(kuò)展確定性模型基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)過(guò)程的研究就能較好地解決上述問(wèn)題。Lin和Yang在疲勞裂紋擴(kuò)展速率模型中引入一個(gè)隨機(jī)因子來(lái)代表未知因素對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展速率隨時(shí)間變化的綜合影響，且考慮相關(guān)時(shí)間較短時(shí)將疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程視為擴(kuò)散馬爾可夫過(guò)程，并以隨機(jī)微分方程來(lái)表示。Li等的研究中引入的隨機(jī)因子考慮為對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，從而建立起隨機(jī)疲勞裂紋擴(kuò)展模型。Sobczyk引入一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)過(guò)程作為隨機(jī)因子建立了疲勞裂紋擴(kuò)展隨機(jī)模型，并分析了該非負(fù)隨機(jī)過(guò)程是高斯白噪聲時(shí)模型的特性。但是高斯白噪聲不能解釋疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的相關(guān)性，并且由于其服從高斯分布的特征，而不能滿足非負(fù)隨機(jī)因子的條件。對(duì)于高斯白噪聲的缺陷，研究中引入輔助隨機(jī)過(guò)程，構(gòu)建疲勞裂紋擴(kuò)展的兩態(tài)模型。例如，Spencer等引入輔助隨機(jī)過(guò)程和非負(fù)函數(shù)構(gòu)造隨機(jī)因子，考慮了疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的歷史依賴(lài)性，并以郎之萬(wàn)方程表示引入的輔助隨機(jī)過(guò)程，且郎之萬(wàn)方程中的噪聲項(xiàng)為高斯白噪聲。高斯白噪聲可以視為維納過(guò)程的導(dǎo)數(shù)形式dd(維納過(guò)程不可導(dǎo)，本文僅借此導(dǎo)數(shù)形式來(lái)展開(kāi)說(shuō)明)，因此第二類(lèi)方法構(gòu)建的疲勞裂紋擴(kuò)展隨機(jī)模型可以表示為隨機(jī)微分方程的形式，這表明隨機(jī)微分方程可以用于刻畫(huà)裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化。Allen基于伊藤隨機(jī)微分方程描述疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程，其中漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)表示為疲勞載荷循環(huán)次數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式。

上述基于隨機(jī)微分方程構(gòu)建的疲勞裂紋擴(kuò)展隨機(jī)模型，實(shí)際上表征的是每個(gè)時(shí)間微元d下疲勞裂紋擴(kuò)展的規(guī)律，從小時(shí)間尺度(即宏觀上相對(duì)較小的時(shí)間單位，例如1個(gè)載荷循環(huán))出發(fā)進(jìn)行建模，并利用動(dòng)態(tài)噪聲解釋疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征。然而，基于隨機(jī)微分方程給出的疲勞裂紋擴(kuò)展速率表達(dá)式中動(dòng)態(tài)噪聲表示為dd，該項(xiàng)服從正態(tài)分布(0,1d)，時(shí)間微元d趨近無(wú)窮小時(shí)方差趨近于無(wú)窮大，從而表明疲勞裂紋擴(kuò)展速率趨近于無(wú)窮大，顯然與實(shí)際認(rèn)知相違背。在概率理論中，維納過(guò)程用來(lái)描述微觀粒子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)(即布朗運(yùn)動(dòng))，可由維納過(guò)程推出時(shí)間趨近無(wú)窮小時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)速度為無(wú)窮大，從微觀層面此結(jié)論與觀測(cè)是相符的，然而在宏觀層面以維納過(guò)程來(lái)描述系統(tǒng)狀態(tài)變化過(guò)程就會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)變化速率是無(wú)窮大的情況，這與實(shí)際認(rèn)知不符。為了解決這個(gè)問(wèn)題，在不確定理論中以Liu過(guò)程描述布朗運(yùn)動(dòng)，Liu過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程(詳見(jiàn)1.1節(jié)定義5)。在Liu過(guò)程的基礎(chǔ)上提出的不確定微分方程中用于表示動(dòng)態(tài)噪聲的項(xiàng)為L(zhǎng)iu過(guò)程的導(dǎo)數(shù)形式dd，該項(xiàng)服從正態(tài)不確定分布(0,1)，即方差恒為1，避免了隨機(jī)微分方程在時(shí)間微元無(wú)窮小時(shí)所描述的系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)變化速率無(wú)窮大的問(wèn)題。

通過(guò)上述調(diào)研和分析，本文在不確定理論框架下，考慮疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程是小時(shí)間尺度下?lián)p傷的動(dòng)態(tài)累積變化過(guò)程，結(jié)合疲勞裂紋擴(kuò)展確定性模型描述疲勞裂紋隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的確定性規(guī)律，基于不確定微分方程描述時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征；此外，本文還考慮物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量有限帶來(lái)的認(rèn)知不確定性，這些不確定性具有靜態(tài)特征，并基于不確定分布進(jìn)行量化；進(jìn)而，構(gòu)建出小時(shí)間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴(kuò)展模型，并推導(dǎo)出確信可靠度函數(shù)。

1 不確定理論與疲勞裂紋擴(kuò)展模型概述

本節(jié)介紹不確定理論的相關(guān)概念，以及描述疲勞裂紋擴(kuò)展確定性規(guī)律的模型，作為本文理論建模的基礎(chǔ)。

1.1 不確定理論的相關(guān)概念

本節(jié)主要介紹一些不確定理論的基礎(chǔ)知識(shí)以及本文中用到的定義定理等。

考慮一個(gè)非空集合，將集合上的-代數(shù)記為L(zhǎng)，L中的每個(gè)元素是一個(gè)事件，則不確定測(cè)度M是一個(gè)滿足以下4個(gè)公理的從到[0,1]的集函數(shù)：

(規(guī)范性)對(duì)于全集，M{}=1。

(對(duì)偶性)?∈L，M{}+M{}=1，式中：為的補(bǔ)集。

不確定變量是一個(gè)從不確定空間(,L，M)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)，即對(duì)于任意的Borel集，{∈}是一個(gè)事件。

不確定變量的不確定分布定義為()=M{≤}，其中為任意實(shí)數(shù)。相應(yīng)地，反函數(shù)()是不確定變量的逆不確定分布，其中為信度。

對(duì)于正態(tài)不確定變量，定義其不確定分布形式為

(1)

式中：為期望；為標(biāo)準(zhǔn)差，>0。將滿足式(1)的不確定分布記為(,)，相應(yīng)的逆不確定分布形式為

(2)

對(duì)于相互獨(dú)立的不確定變量,,…,，其不確定分布分別為,,…,，連續(xù)函數(shù)(,,…,)關(guān)于,,…,嚴(yán)格遞增且關(guān)于+1,+2,…,嚴(yán)格遞減，則不確定變量=(,,…,)的逆不確定分布為

(3)

對(duì)于不確定變量和正整數(shù)，的階矩表示為

(4)

對(duì)于不確定空間(,L，M)和全序集(如時(shí)間)，不確定過(guò)程是一個(gè)從×(,L，M)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)，即不確定過(guò)程在任意時(shí)刻都是一個(gè)不確定變量。Liu過(guò)程是一個(gè)滿足以下3個(gè)條件的不確定過(guò)程：①=0且?guī)缀跛械臉颖拒壍蓝际荓ipschitz連續(xù)的；②具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；③ 每個(gè)增量+Δ-是期望為0，方差為(Δ)的正態(tài)不確定變量。

對(duì)于給定的函數(shù)、和一個(gè)Liu過(guò)程，不確定微分方程表示為

d=(,)d+(,)d

(5)

在任意時(shí)刻滿足該方程的不確定過(guò)程稱(chēng)為該不確定微分方程的解。

1.2 考慮裂紋閉合和高載遲滯效應(yīng)的疲勞裂紋擴(kuò)展模型

本節(jié)介紹描述疲勞裂紋擴(kuò)展確定性規(guī)律的模型，這些模型考慮了裂紋閉合和高載遲滯效應(yīng)對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程的影響。本節(jié)僅給出本文理論建模中所必需的模型表達(dá)式，關(guān)于模型的具體建模過(guò)程可參考文獻(xiàn)[19]。

考慮裂紋閉合對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程的影響，疲勞裂紋擴(kuò)展速率表示為

(6)

式中：為裂紋長(zhǎng)度；為載荷循環(huán)次數(shù)；d/d為裂紋擴(kuò)展速率；和為與材料相關(guān)的參數(shù)；為最大應(yīng)力強(qiáng)度因子；為裂紋閉合時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子；為應(yīng)力強(qiáng)度因子。在疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)中，通常的計(jì)算公式由相應(yīng)的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)給出。例如在GB/T 6398—2017中，對(duì)于如圖1所示中心裂紋拉伸試樣，的計(jì)算公式為

(0707 1-0007 2+0007 0)

(7)

式中：為中間變量，且=π(2)；為載荷，與應(yīng)力可以相互轉(zhuǎn)化；和分別為樣件的厚度和寬度。因此，本文將給定試樣幾何尺寸時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式統(tǒng)一記為=(,,,)，其中表示函數(shù)，那么式(6)可以寫(xiě)為

圖1 中心裂紋拉伸試樣(2W≤75 mm)Fig.1 Center cracked tension specimen (2W≤75 mm)

(8)

式中：為最大應(yīng)力水平；為裂紋閉合應(yīng)力水平。

對(duì)于裂紋閉合應(yīng)力水平的研究，Zhang和Liu通過(guò)考慮裂紋尖端塑性區(qū)與裂紋擴(kuò)展過(guò)程的關(guān)系，給出下列計(jì)算公式：

(9)

式中：為材料的屈服應(yīng)力；為加載過(guò)程中的正向塑性區(qū)尺寸；和分別為最大應(yīng)力水平和最小應(yīng)力水平。在Zhang和Liu的研究中考慮裂紋尖端塑性區(qū)尺寸遠(yuǎn)小于裂紋長(zhǎng)度，即?，對(duì)于恒幅載荷加載的疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程，易解得=(2+3)/5。

考慮高載引起的遲滯效應(yīng)，最大應(yīng)力水平表示為

(10)

式中：為高載幅值；為恒幅載荷的最大應(yīng)力水平；為過(guò)載比，即與的比值。

2 疲勞可靠性建模方法

2.1 基于不確定微分方程的疲勞可靠性模型

2.1.1 小時(shí)間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴(kuò)展模型

疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程是小時(shí)間尺度下?lián)p傷隨時(shí)間的累積變化過(guò)程，裂紋長(zhǎng)度隨時(shí)間增長(zhǎng)呈現(xiàn)出確定性趨勢(shì)，同時(shí)也伴隨著時(shí)間維度的不確定性。疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程是確定性趨勢(shì)和不確定性的綜合體現(xiàn)，同時(shí)確定性趨勢(shì)和不確定性在該過(guò)程中都是動(dòng)態(tài)變化的。因此，對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的建模需要綜合考慮小時(shí)間尺度下的確定性趨勢(shì)和不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征。

小時(shí)間尺度下通常以疲勞裂紋擴(kuò)展速率來(lái)描述疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程，本文以疲勞裂紋擴(kuò)展速率式(8)來(lái)表征疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)，在此基礎(chǔ)上考慮疲勞裂紋擴(kuò)展速率加上動(dòng)態(tài)噪聲來(lái)解釋不確定性的動(dòng)態(tài)變化。在不確定理論框架下，本文假設(shè)該動(dòng)態(tài)噪聲項(xiàng)為·dd，其中常數(shù)為擴(kuò)散系數(shù)，且>0；為L(zhǎng)iu過(guò)程，服從正態(tài)不確定分布(0,)；為累積載荷循環(huán)次數(shù)。因此，小時(shí)間尺度下描述疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性趨勢(shì)以及不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征的方程為

(11)

式中：為累積載荷循環(huán)次數(shù)為時(shí)的裂紋長(zhǎng)度，初始裂紋長(zhǎng)度為；函數(shù)(,)為疲勞裂紋擴(kuò)展速率，表達(dá)式如式(8)所示。進(jìn)一步，將式(11) 表示為不確定微分方程的形式：

d=[(,,,)-

(,,,)]d+d

(12)

如引言所述，樣件自身物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面也存在不確定性，并且這些不確定性具有靜態(tài)特征。本文將基于文獻(xiàn)[19]對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)和量化，具體將從如下3個(gè)方面展開(kāi)說(shuō)明：

1) 在物理屬性方面。當(dāng)樣件數(shù)量有限時(shí)帶來(lái)物理屬性的認(rèn)知不確定性。假設(shè)物理屬性的不確定性?xún)H來(lái)源于材料特性。式(6)在描述疲勞裂紋擴(kuò)展時(shí)，和都代表與材料相關(guān)的參數(shù)，如果我們認(rèn)為和都是具有不確定性，那么多個(gè)材料參數(shù)就需要對(duì)應(yīng)多個(gè)不確定性來(lái)源，而顯然當(dāng)前只有材料特性這一個(gè)來(lái)源。所以，只需用和的其中一個(gè)來(lái)表征這類(lèi)不確定性即可。根據(jù)文獻(xiàn)[19，23]中基于實(shí)際數(shù)據(jù)得到的材料參數(shù)和的估計(jì)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)通常的變異系數(shù)相比更大，表明的分散性更加顯著。因此，本文以材料參數(shù)來(lái)刻畫(huà)物理屬性方面的不確定性，并假設(shè)材料參數(shù)服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

2) 在外界載荷方面。本文考慮與高載信息相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不足帶來(lái)的認(rèn)知不確定性，假設(shè)高載施加的條件是確定的，高載幅值具有不確定性，這種不確定性可以用過(guò)載比來(lái)刻畫(huà)。因此，假設(shè)過(guò)載比服從期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

3) 在裂紋閾值方面。以裂紋長(zhǎng)度為性能參數(shù)，對(duì)應(yīng)的閾值即為臨界裂紋長(zhǎng)度，臨界裂紋長(zhǎng)度表示材料斷裂時(shí)的裂紋長(zhǎng)度，記為。當(dāng)樣件數(shù)量有限時(shí)帶來(lái)臨界裂紋長(zhǎng)度的認(rèn)知不確定性，本文假設(shè)其服從期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)不確定分布(,)，其分布形式如式(1)所示。

綜上所述，式(12)對(duì)于疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性趨勢(shì)和不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征進(jìn)行了量化描述，同時(shí)正態(tài)不確定分布(,)、(,)和(,)分別對(duì)物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面的認(rèn)知不確定性的靜態(tài)特征進(jìn)行了量化描述，從而構(gòu)建出小時(shí)間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴(kuò)展模型。

2.1.2 確信可靠度函數(shù)

在確信可靠性理論中，可靠度被定義為產(chǎn)品裕量大于0的可能性。首先，確信可靠度和常規(guī)可靠度都是嚴(yán)格遵循可靠度的基本定義的，即規(guī)定條件下規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品完成規(guī)定功能的能力。然而，常規(guī)可靠度并不區(qū)分隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性(比如小樣本帶來(lái)的認(rèn)知不確定性)，均將可靠性定義中的“能力”定義為概率。而確信可靠性理論對(duì)隨機(jī)和認(rèn)知2類(lèi)不確定性進(jìn)行了區(qū)分，隨機(jī)不確定性情況下可靠度仍然采用概率度量，而小樣本認(rèn)知不確定性情況下，由不確定測(cè)度度量。

在確信可靠性理論中，為了推導(dǎo)疲勞確信可靠度函數(shù)，首先需要建立裕量方程(該方程也即機(jī)械、力學(xué)領(lǐng)域普遍的極限狀態(tài)方程)。本文以裂紋長(zhǎng)度作為性能參數(shù)，臨界裂紋長(zhǎng)度作為閾值，則疲勞裂紋擴(kuò)展的裕量定義為臨界裂紋長(zhǎng)度與當(dāng)前裂紋長(zhǎng)度的距離，即裂紋裕量方程表示為

=-

(13)

式中：為裂紋裕量；為臨界裂紋長(zhǎng)度；為當(dāng)前累積載荷循環(huán)次數(shù)為時(shí)的裂紋長(zhǎng)度。

式(8)～式(10)描述了疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性規(guī)律，隨著的增加，當(dāng)前裂紋長(zhǎng)度增加，對(duì)應(yīng)的裂紋裕量減小。式(12)以及(,)、(,)和(,)則表征了疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中不確定性的量化結(jié)果，即材料參數(shù)、過(guò)載比、臨界裂紋長(zhǎng)度以及裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的動(dòng)態(tài)變化均存在不確定性，且均采用不確定測(cè)度進(jìn)行量化。因此，根據(jù)式(13)可知，裂紋裕量也是一個(gè)不確定變量，且相應(yīng)的疲勞確信可靠度定義為裂紋裕量大于0的信度。當(dāng)樣件給定時(shí)，裂紋裕量與恒幅載荷的最大應(yīng)力水平和累積載荷循環(huán)次數(shù)有關(guān)，則將裂紋裕量記為(,)，其不確定分布記為()。那么確信可靠度函數(shù)的表達(dá)式為

(,)=M{(,)>0}=1-(0)

(14)

(15)

設(shè)滿足式(12)所示不確定微分方程的解為=(,,)，即表示為材料參數(shù)、過(guò)載比和Liu過(guò)程的函數(shù)，的函數(shù)形式由式(9)、式(10)和式(12)唯一確定。通過(guò)附錄A的分析得到，(,,)關(guān)于材料參數(shù)和Liu過(guò)程嚴(yán)格遞增，關(guān)于過(guò)載比嚴(yán)格遞減，因此根據(jù)定理1得到

(16)

(17)

2.2 統(tǒng)計(jì)分析方法

基于不確定微分方程的廣義矩估計(jì)方法，根據(jù)每個(gè)樣件施加高載前的裂紋長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)估計(jì)未知參數(shù){,,,}。

1) 根據(jù)式(18)計(jì)算變量(=1, 2, …,;=1, 2, …,-1)，該變量服從正態(tài)不確定分布(0,1)。

(18)

式中：Δ,為第個(gè)樣件第次檢測(cè)的裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的有效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍，且有效應(yīng)力強(qiáng)度因子范圍Δ表達(dá)式為Δ=-。施加高載前裂紋在恒幅載荷下擴(kuò)展，此時(shí)Δ,計(jì)算公式為

(19)

2) 根據(jù)式(20)計(jì)算不確定變量的階矩(=1, 2, 3, 4)。

(20)

3) 求解如下問(wèn)題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,,,}的廣義矩估計(jì)。

(21)

基于不確定最小二乘方法，根據(jù)高載幅值數(shù)據(jù)估計(jì)未知參數(shù){,}。

1) 計(jì)算過(guò)載比ol,：

(22)

(23)

3) 基于最小二乘原理，求解如下問(wèn)題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,}的估計(jì)值。

(24)

基于不確定最小二乘方法，根據(jù)臨界裂紋長(zhǎng)度數(shù)據(jù)估計(jì)未知參數(shù){,}。

1) 將樣件斷裂前最后一次檢測(cè)時(shí)的裂紋長(zhǎng)度′(=1, 2, …,)作為臨界裂紋長(zhǎng)度，然后將′按照升序排列得到(為秩次，=1, 2, …,)，并依據(jù)近似中位秩公式給定信度：

(25)

2) 基于最小二乘原理，求解如下問(wèn)題的最優(yōu)解，得到未知參數(shù){,}的估計(jì)值。

(26)

3 疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)及模型應(yīng)用分析

3.1 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)

3.1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本案例的數(shù)據(jù)來(lái)源于采用7075-T6鋁合金開(kāi)展的疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中5個(gè)樣件的尺寸如圖2所示，樣件的載荷譜以及詳細(xì)的載荷信息分別如圖3和表1所示，在裂紋長(zhǎng)度達(dá)到17.5 mm和22.5 mm時(shí)分別施加高載。表示恒幅載荷最大值，表示恒幅載荷最小值，表示裂紋長(zhǎng)度17.5 mm時(shí)的高載幅值，表示裂紋長(zhǎng)度22.5 mm時(shí)的高載幅值。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中包含3個(gè)應(yīng)力水平，每個(gè)應(yīng)力下2個(gè)樣件，但是恒幅載荷最大值20 kN下的另一個(gè)樣件由于應(yīng)力加載方式存在缺陷造成數(shù)據(jù)結(jié)果不合理，因此20 kN下只得到一個(gè)樣件的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這也是本文采用不確定理論解決此類(lèi)小樣本問(wèn)題的原因。

圖2 樣件幾何尺寸Fig.2 Geometry of components

圖3 疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)載荷譜示意圖Fig.3 Illustration of loading spectrum of fatigue crack growth experiment

表1 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)載荷大小

實(shí)驗(yàn)中采用讀數(shù)顯微鏡監(jiān)測(cè)裂紋長(zhǎng)度，分度值為0.01 mm，并且在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中使用安裝在顯微鏡上的叉絲作為參考線。疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)(FCGE)中記錄了裂紋長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)，數(shù)據(jù)如圖4所示。另外，將每個(gè)樣件斷裂前最后一次檢測(cè)時(shí)的裂紋長(zhǎng)度作為臨界裂紋長(zhǎng)度，如表2所示。

圖4 7075-T6鋁合金疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)的 裂紋長(zhǎng)度與載荷循環(huán)次數(shù)Fig.4 Crack length and number of load cycles of FCGE with aluminium alloy 7075-T6

表2 樣件的臨界裂紋長(zhǎng)度Table 2 Critical crack length of components

3.1.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果及確信可靠度評(píng)估結(jié)果

對(duì)于本案例的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將圖4中每個(gè)樣件施加高載前的裂紋長(zhǎng)度和對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)，表1中恒幅載荷幅值和高載幅值，以及表2中臨界裂紋長(zhǎng)度作為統(tǒng)計(jì)分析的輸入數(shù)據(jù)，然后按照2.2節(jié)統(tǒng)計(jì)分析方法，得到未知參數(shù)的估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 未知參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 3 Estimation results of unknown parameters

同時(shí)，給出不確定變量、過(guò)載比和臨界裂紋長(zhǎng)度的分布擬合結(jié)果，分別如圖5～圖7所示，從圖中可以發(fā)現(xiàn)不確定變量、過(guò)載比和臨界裂紋長(zhǎng)度的信度計(jì)算值和各自相應(yīng)的正態(tài)不確定分布接近，說(shuō)明了未知參數(shù)估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性。另外，不確定變量服從正態(tài)不確定分布的推論與材料參數(shù)服從正態(tài)不確定分布的假設(shè)有直接聯(lián)系，根據(jù)文獻(xiàn)[26]中的分布假設(shè)檢驗(yàn)方法，結(jié)合圖5～圖7所示分布擬合結(jié)果，材料參數(shù)、過(guò)載比和臨界裂紋長(zhǎng)度服從正態(tài)不確定分布通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)，驗(yàn)證了2.1節(jié)建模方法中模型假設(shè)的合理性。

圖5 不確定變量hjl的分布擬合結(jié)果Fig.5 Fit result of uncertainty distribution of uncertain variable hjl

圖6 過(guò)載比的分布擬合結(jié)果Fig.6 Fit result of uncertainty distribution of overload ratio

圖7 臨界裂紋長(zhǎng)度的分布擬合結(jié)果Fig.7 Fit result of uncertainty distribution of critical crack length

根據(jù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果和確信可靠度函數(shù)式(14)， 計(jì)算確信可靠度隨恒幅載荷最大值和載荷循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系，結(jié)果如圖8所示。

圖8 7075-T6鋁合金試樣的確信可靠度評(píng)估結(jié)果Fig.8 Result of belief reliability evaluation of specimens with taluminium alloy 7075-T6

3.1.3 裂紋擴(kuò)展過(guò)程確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)

為了預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)，以表3中不確定變量的期望,,分別代表不確定變量、和，結(jié)合式(8)～式(10)預(yù)測(cè)恒幅載荷最大值分別為20 kN、23 kN和26 kN時(shí)的裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性趨勢(shì)。預(yù)測(cè)結(jié)果如圖9所示，在圖中同時(shí)展示了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較接近，說(shuō)明本文提出的模型對(duì)于疲勞裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)的預(yù)測(cè)較準(zhǔn)確。

圖9 7075-T6鋁合金試樣裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)Fig.9 Predicted determinate trends of crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

3.1.4 模型對(duì)比分析

本文所提出的模型考慮了小時(shí)間尺度下疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征以及物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面的認(rèn)知不確定性的靜態(tài)特征，記為模型，本節(jié)對(duì)該模型在疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)描述和不確定性量化中的表現(xiàn)展開(kāi)討論和分析。為此，需要選擇不同的對(duì)比模型。

文獻(xiàn)[19]中考慮了疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)中物理屬性、外界載荷和裂紋閾值的認(rèn)知不確定性，并采用不確定分布量化描述(記為模型)。其模型形式為在式(8)～式(10)的基礎(chǔ)上，假設(shè)其、和分別服從正態(tài)不確定分布，具體模型可參考文獻(xiàn)[19]。模型與本文所提出模型都是在不確定理論框架下量化不確定性，主要區(qū)別在于未考慮時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征。該文獻(xiàn)中為了對(duì)比概率論和不確定理論在不確定性量化方面的表現(xiàn)，用于與對(duì)比的模型考慮物理屬性、外界載荷和裂紋閾值具有隨機(jī)不確定性，并采用概率分布量化(記為模型)。其模型形式為在式(8) ～式(10)的基礎(chǔ)上，假設(shè)其中的、和分別服從正態(tài)分布。相比本文所提出的模型，模型未考慮時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征，并且在概率論框架下量化不確定性。

本文選用模型和作為對(duì)比模型展開(kāi)討論分析，且模型中不確定分布的參數(shù)估計(jì)以及模型中概率分布的參數(shù)估計(jì)均基于最小二乘原理，詳細(xì)參數(shù)估計(jì)方法可參考文獻(xiàn)[19]。

1) 確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)對(duì)比

根據(jù)圖4、表1和表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析分別得到模型和的未知參數(shù)估計(jì)值。與3.1.3節(jié)方法一樣，利用、和的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合式(8)～式(10)得到裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖10所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，模型對(duì)于裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)的預(yù)測(cè)相比和更為準(zhǔn)確，并且模型和的預(yù)測(cè)結(jié)果基本重合。進(jìn)一步地，本文提出預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的均方根誤差RMSE作為確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的衡量指標(biāo)，其計(jì)算公式為

(27)

圖10 模型M1、M2和M3對(duì)于7075-T6鋁合金試樣疲勞裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)的對(duì)比Fig.10 Comparison of models M1, M2 and M3 in predicting determinate trends of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

2) 不確定性量化結(jié)果對(duì)比

對(duì)不確定性是否細(xì)致分類(lèi)和科學(xué)量化，會(huì)影響裂紋擴(kuò)展過(guò)程的預(yù)測(cè)，為此本文利用模型、和在預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程時(shí)的90%置信區(qū)間進(jìn)行對(duì)比分析。

通過(guò)仿真得到500組裂紋擴(kuò)展曲線，并將這500組裂紋擴(kuò)展曲線上裂紋長(zhǎng)度的第5和95百分位數(shù)分別作為下邊界和上邊界，從而得到模型、和預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程時(shí)的90%置信區(qū)間。通過(guò)上述方法計(jì)算不同模型在預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程時(shí)的90%置信區(qū)間，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖11所示。從圖中可以看出，模型的90%置信區(qū)間的范圍相比模型和更小，體現(xiàn)了本文所提出的模型在不確定性量化結(jié)果中的優(yōu)勢(shì)。

圖11 模型M1、M2和M3對(duì)于7075-T6鋁合金試樣疲勞裂紋擴(kuò)展中不確定性量化的對(duì)比Fig.11 Comparison of models M1, M2 and M3 in quantifying the uncertainty of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 7075-T6

通過(guò)上述模型對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，本文所提出模型在裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)和不確定性量化結(jié)果中均體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。一方面是因?yàn)楸疚乃岢龅哪Ｐ蛷男r(shí)間尺度出發(fā)，基于不確定微分方程進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展建模，能夠更加細(xì)致刻畫(huà)裂紋擴(kuò)展過(guò)程和充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，從而在確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)中更加準(zhǔn)確；另一方面是因?yàn)楸疚乃岢龅哪Ｐ拖啾饶Ｐ秃涂紤]了疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程在時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征，更加全面地考慮了不確定性的來(lái)源，同時(shí)基于不確定理論量化描述了不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征，從而在不確定性量化方面所得到的區(qū)間范圍更接近實(shí)際數(shù)據(jù)。這表明從小時(shí)間尺度出發(fā)進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展建模以及對(duì)不確定性進(jìn)行細(xì)致分類(lèi)和科學(xué)量化的重要意義。

表4 模型M1、M2和M3對(duì)于確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)的RMSE計(jì)算結(jié)果

3.1.5 參數(shù)不確定性的敏感性分析

在工程應(yīng)用中，可以通過(guò)控制或干預(yù)不確定性來(lái)減小風(fēng)險(xiǎn)，那么就需要辨識(shí)各種不確定性的影響，即物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面的不確定性的靜態(tài)特征以及時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)特征對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響。

物理屬性、外界載荷和時(shí)間維度的不確定性會(huì)影響整個(gè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程，而裂紋閾值的不確定性?xún)H影響裂紋擴(kuò)展過(guò)程的終止條件。因此進(jìn)行物理屬性、外界載荷和時(shí)間維度3個(gè)方面的參數(shù)不確定性的敏感性分析時(shí)，采用3.1.4節(jié)中的方法比較裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間。而對(duì)于裂紋閾值的參數(shù)不確定性的敏感性分析，因?yàn)榱鸭y閾值對(duì)于裕量的影響伴隨著整個(gè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程，因此采用裂紋裕量的90%置信區(qū)間來(lái)表征裂紋閾值的不確定性的影響。

時(shí)間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個(gè) 方面的不確定性分別以動(dòng)態(tài)噪聲項(xiàng)·dd、 材料參數(shù)、過(guò)載比和臨界裂紋長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表征，為了比較這4個(gè)方面的不確定性對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響，作以下分析和計(jì)算：

1) 在時(shí)間維度方面。式(11)中擴(kuò)散系數(shù)表示了動(dòng)態(tài)噪聲項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而反映時(shí)間維度的不確定性大小，因此設(shè)置擴(kuò)散系數(shù)分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為3.420 9×10，4組擴(kuò)散系數(shù)設(shè)置下其余模型參數(shù)均如表3所示。4組不同的擴(kuò)散系數(shù)設(shè)置下通過(guò)仿真分別得到500組裂紋擴(kuò)展曲線，從而計(jì)算裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間，結(jié)果如圖12(a)所示。

2) 在物理屬性方面。設(shè)置材料參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為7.605 9×10，4組材料參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下其余模型參數(shù)與表3一致，然后通過(guò)仿真方法計(jì)算裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間，結(jié)果如圖12(b)所示。在外界載荷方面，過(guò)載比標(biāo)準(zhǔn)差的設(shè)置方法以及裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間計(jì)算方法與物理屬性方面類(lèi)似，不再贅述，結(jié)果如圖12(c)所示。

3) 在裂紋閾值方面。設(shè)置臨界裂紋長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.5、0.8、1.2和1.5，其中的取值為1.58，4組臨界裂紋長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下其余模型參數(shù)與表3一致。通過(guò)500次仿真得到500組裂紋擴(kuò)展曲線和500組裂紋閾值，然后分別以裂紋閾值減去裂紋長(zhǎng)度得到裂紋裕量的變化曲線，從而計(jì)算裂紋裕量的90%置信區(qū)間，結(jié)果如圖12(d)所示。

圖12 恒幅載荷最大值為20 kN時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下裂紋長(zhǎng)度或裂紋裕量的90%置信區(qū)間Fig.12 90% confidence intervals of crack length or crack margin under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 20 kN

圖12展示了恒幅載荷最大值為20 kN時(shí)時(shí)間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個(gè)方面不同標(biāo)準(zhǔn)差大小設(shè)置下裂紋長(zhǎng)度或者裂紋裕量的90%置信區(qū)間，反映了各方面的不確定性大小對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響。從圖中可以看出，材料參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大小對(duì)于裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間影響較為明顯，即標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置越大，裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間越寬；在不同的時(shí)間維度擴(kuò)散系數(shù)和過(guò)載比的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下計(jì)算得到的裂紋長(zhǎng)度的90%置信區(qū)間比較接近，表明時(shí)間維度和過(guò)載比的不確定性大小對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響較弱；而臨界裂紋長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差大小會(huì)對(duì)裂紋裕量的90%置信區(qū)間產(chǎn)生顯著影響。

進(jìn)一步，提出平均相對(duì)誤差MRE這一量化指標(biāo)來(lái)對(duì)比不同參數(shù)的不確定性大小對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響，即

×100%

(28)

根據(jù)式(28)計(jì)算恒幅載荷最大值為20 kN時(shí)時(shí)間維度、物理屬性、外界載荷和裂紋閾值4個(gè)方面在0.5倍、0.8倍、1.2倍和1.5倍標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下相比1倍標(biāo)準(zhǔn)差下所預(yù)測(cè)的90%置信區(qū)間的MRE，計(jì)算結(jié)果如圖13所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，材料參數(shù)和臨界裂紋長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差在不同設(shè)置下得到的MRE值相比時(shí)間維度和過(guò)載比較大，表明材料參數(shù)的不確定性對(duì)于裂紋長(zhǎng)度預(yù)測(cè)的影響較大，同樣臨界裂紋長(zhǎng)度的不確定性對(duì)于裂紋裕量預(yù)測(cè)的影響較大。采用同樣的方法分別計(jì)算恒幅載荷最大值為23 kN和26 kN時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下的MRE值，計(jì)算結(jié)果如圖14和圖15所示。圖14結(jié)果表明材料參數(shù)和臨界裂紋長(zhǎng)度的不確定性對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響較大，而圖15中在0.8倍和1.5倍標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下，過(guò)載比對(duì)應(yīng)的MRE值均最大，分析原因是恒幅載荷最大值為26 kN時(shí)，過(guò)載比標(biāo)準(zhǔn)差的變化會(huì)造成高載幅值范圍更大程度的變化，而高載幅值會(huì)影響裂紋尖端的力學(xué)特性，進(jìn)而對(duì)裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)產(chǎn)生較大影響。

圖13 恒幅載荷最大值為20 kN時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下的MRE計(jì)算結(jié)果Fig.13 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 20 kN

圖14 恒幅載荷最大值為23 kN時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下的MRE計(jì)算結(jié)果Fig.14 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 23 kN

圖15 恒幅載荷最大值為26 kN時(shí)不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下的MRE計(jì)算結(jié)果Fig.15 Calculation results of MRE under different standard deviations when the maximum of constant amplitude loadings is 26 kN

進(jìn)一步，計(jì)算不同恒幅載荷最大值下MRE結(jié)果的平均值，結(jié)果如表5所示。表5中不同標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置下材料參數(shù)和臨界裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的MRE值相比時(shí)間維度和過(guò)載比均較大，這與圖13～圖15所分析的結(jié)果相對(duì)應(yīng)，表明了材料參數(shù)和臨界裂紋長(zhǎng)度的不確定性對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程預(yù)測(cè)的影響需要重點(diǎn)考慮。

表5 不同恒幅載荷最大值下MRE的平均值

工程生產(chǎn)中，控制或干預(yù)材料參數(shù)的不確定性可以通過(guò)篩選材料、鑒定力學(xué)特性和保證產(chǎn)品加工質(zhì)量(如表面光潔度)等措施來(lái)完成。臨界裂紋長(zhǎng)度的不確定性是很難控制或干預(yù)的，因此可以設(shè)計(jì)裂紋長(zhǎng)度的安全閾值，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度接近安全閾值時(shí)采取維修或更換措施，從而降低產(chǎn)品生產(chǎn)和使用風(fēng)險(xiǎn)，例如將95%置信水平下臨界裂紋長(zhǎng)度的單側(cè)置信限作為安全閾值，即通過(guò)求解式(29)所示方程，結(jié)果為27.61mm。

M{≤}=1-()=095

(29)

3.2 基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集的分析

3.2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本節(jié)基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集分析并驗(yàn)證本文提出模型的有效性。Virkler等的疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)中用2024-T3鋁合金制備了預(yù)制裂紋長(zhǎng)度為9 mm的中心裂紋拉伸試樣，在相同的恒幅載荷條件和環(huán)境條件下進(jìn)行了68次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)記錄了9～49.8 mm范圍內(nèi)共計(jì)164組裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)。試樣幾何尺寸和實(shí)驗(yàn)條件的詳細(xì)信息可參考文獻(xiàn)[1]。該實(shí)驗(yàn)得到的疲勞數(shù)據(jù)如圖16所示。

圖16 Virkler等的疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[1]Fig.16 Data of FCGE of Virkler et al.[1]

3.2.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果及確信可靠度評(píng)估結(jié)果

對(duì)照本文所提出的模型，Virkler疲勞數(shù)據(jù)集中體現(xiàn)出物理屬性的不確定性的靜態(tài)特征和時(shí)間維度不確定性的動(dòng)態(tài)特征，實(shí)驗(yàn)中不施加高載，臨界裂紋長(zhǎng)度取常值49.8 mm，這種情況下本文所提出模型依然適用。因此，根據(jù)圖16中裂紋長(zhǎng)度和載荷循環(huán)次數(shù)，通過(guò)2.2節(jié)統(tǒng)計(jì)分析方法，得到未知參數(shù)的估計(jì)結(jié)果如表6所示。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不含高載信息，所以與高載幅值相關(guān)的未知參數(shù){,}缺省。另外，對(duì)于固定的臨界裂紋長(zhǎng)度，其標(biāo)準(zhǔn)差取0。

表6 基于Virkler等的疲勞數(shù)據(jù)集的未知參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表6參數(shù)估計(jì)結(jié)果和確信可靠度函數(shù)式(14)，計(jì)算確信可靠度在恒幅載荷最大值為23.35 kN下(即實(shí)驗(yàn)載荷條件)隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化關(guān)系，得到確信可靠度評(píng)估結(jié)果如圖17所示。

圖17 2024-T3鋁合金試樣的確信可靠度評(píng)估結(jié)果Fig.17 Result of belief reliability evaluation of specimens with aluminium alloy 2024-T3

3.2.3 模型驗(yàn)證分析

本節(jié)將進(jìn)一步從疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性規(guī)律描述和不確定性量化方面展開(kāi)分析，基于、和開(kāi)展對(duì)比分析，驗(yàn)證本文模型的有效性。

3.1.4節(jié)以模型預(yù)測(cè)的疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的均值和90%置信區(qū)間分別表征確定性趨勢(shì)和不確定性量化結(jié)果，對(duì)模型、和進(jìn)行了對(duì)比分析。本節(jié)基于Virkler疲勞數(shù)據(jù)集，采用與3.1.4節(jié)相同的方法分別計(jì)算模型、和預(yù)測(cè)的疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的均值和90%置信區(qū)間，詳細(xì)計(jì)算方法和過(guò)程不再贅述，計(jì)算結(jié)果分別如圖18和圖19所示。

圖18展示了實(shí)際數(shù)據(jù)的均值，以及模型、和對(duì)于裂紋擴(kuò)展過(guò)程確定性趨勢(shì)的描述結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)模型、和預(yù)測(cè)的均值都未完全符合實(shí)際數(shù)據(jù)均值，并且模型和預(yù)測(cè)的均值基本接近。直觀上不容易對(duì)比模型、和預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性趨勢(shì)的準(zhǔn)確性，因此以給定裂紋長(zhǎng)度下不同模型預(yù)測(cè)均值曲線上對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)相比實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的載荷循環(huán)次數(shù)均值的平均相對(duì)誤差來(lái)表征模型的準(zhǔn)確性。模型、和對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果分別為4.50%、6.54%和6.66%，表明本文模型在裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)中相比和更加準(zhǔn)確。圖19展示了全部實(shí)際數(shù)據(jù)，以及模型、和預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程時(shí)的90%置信區(qū)間，可以直觀地發(fā)現(xiàn)，模型預(yù)測(cè)的區(qū)間范圍相比模型和更窄，而且模型預(yù)測(cè)的區(qū)間范圍更接近實(shí)際數(shù)據(jù)的邊界，體現(xiàn)出本文模型在不確定性量化結(jié)果中的優(yōu)勢(shì)。

圖18 模型M1、M2和M3對(duì)于2024-T3鋁合金試樣疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)的對(duì)比Fig.18 Comparison of models M1, M2 and M3 in predicting the determinate trends of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 2024-T3

圖19 模型M1、M2和M3對(duì)于2024-T3鋁合金試樣疲勞裂紋擴(kuò)展中不確定性量化的對(duì)比Fig.19 Comparison of models M1, M2 and M3 in quantifying uncertainty of fatigue crack growth of specimens with aluminium alloy 2024-T3

通過(guò)Virkler疲勞數(shù)據(jù)集的分析，本文所提出的模型相比模型和在疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)和不確定性量化方面都具有優(yōu)勢(shì)，與3.1.4節(jié)得到的結(jié)論相一致，驗(yàn)證了本文所提出模型的有效性。關(guān)于模型、和的區(qū)別以及模型區(qū)別對(duì)于確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)和不確定性量化結(jié)果的影響在3.1.4節(jié)已經(jīng)詳細(xì)說(shuō)明，這里不再贅述。

4 結(jié) 論

1) 不確定性具有靜態(tài)特征或者隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)特征，本文對(duì)物理屬性、外界載荷和裂紋閾值3個(gè)方面的不確定性的靜態(tài)特征以及時(shí)間維度的不確定性的動(dòng)態(tài)特征進(jìn)行了量化描述。

2) 本文考慮了疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程的確定性趨勢(shì)和時(shí)間維度的不確定性在小時(shí)間尺度下的動(dòng)態(tài)變化特征，構(gòu)建出小時(shí)間尺度下基于不確定微分方程的疲勞裂紋擴(kuò)展模型，并推導(dǎo)出確信可靠度函數(shù)，同時(shí)給出了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析方法來(lái)估計(jì)模型未知參數(shù)。

3) 在疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)的案例應(yīng)用中，本文給出了確信可靠度評(píng)估結(jié)果，并驗(yàn)證了所建立的模型對(duì)于裂紋擴(kuò)展確定性趨勢(shì)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

4) 通過(guò)模型對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，相比未從小時(shí)間尺度出發(fā)描述裂紋擴(kuò)展過(guò)程并考慮時(shí)間維度不確定性的動(dòng)態(tài)變化特征的模型，本文所建立的模型在疲勞裂紋擴(kuò)展的確定性趨勢(shì)描述和不確定性量化中表現(xiàn)更好，同時(shí)也表明了在小時(shí)間尺度下進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展建模以及更加全面地考慮不確定性來(lái)源并進(jìn)行科學(xué)量化的重要性。