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        由一道模擬題引發(fā)的探索與反思

        2022-09-08 02:34:04江蘇江陰市璜塘中學(xué)214407陸琴花
        中學(xué)教學(xué)參考 2022年14期
        關(guān)鍵詞:折痕重合一題

        江蘇江陰市璜塘中學(xué)(214407)陸琴花

        基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求,近年的中考數(shù)學(xué)出現(xiàn)了不少創(chuàng)新試題。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,以具有較高研究價(jià)值的幾何圖形試題為載體,引導(dǎo)學(xué)生探索,從而使其發(fā)現(xiàn)題目的內(nèi)在聯(lián)系,掌握解題思路,提升解題能力。

        一、題目呈現(xiàn)

        如圖1 所示,在△ABC中,已知∠ABC=90°,且AB=6,BC=8,點(diǎn)M,N分別在邊AB,BC上,沿著直線MN把△ABC折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,如果AP∥BC,且AP=4,那么BN= _________。

        圖1

        圖2

        二、解法探索

        這道題對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說有一定的難度,這種難度不敢說可以難倒一大片,但會(huì)讓相當(dāng)一部分學(xué)生丟分。這道題旨在考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力,且在解題過程中對(duì)數(shù)學(xué)思維有一定的要求。下面我們分析解題思路的形成過程。如果把△ABC沿直線MN折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,那么很顯然MN垂直平分BP,欲在Rt△BHN中求BN的長,只需知道sin∠BNH即可。又因?yàn)椤螧NH=∠ABP,所 以sin∠BNH=sin∠ABP,得BN=。當(dāng)然也可以用△BNH∽△PBA對(duì)應(yīng)邊成比例得到BN的長。

        解法1:如圖3,由AP平行且等于,再利用三角形中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì),延長CP,BA交于點(diǎn)K,連接BP交MN于H,易得CK=。又因?yàn)椤螾BN=∠BCP,所以cos∠PBN=cos∠BCP,得BN=。

        圖3

        解法2:如圖4,把△ABC沿直線MN折疊,得出BN=PN和∠PBN=∠BPN,由AP∥BC得∠PBN=∠APB,所以∠BPN=∠APB,再利用角平分線性質(zhì)定理,過B點(diǎn)作BE⊥PN,垂足為E,易得EP=AP=4,BE=AB=6。根據(jù)勾股定理及方程思想設(shè)BN=x,就能列出方程62+(x-4)2=x2,解 得x=,即BN=。

        圖4

        解法3:如圖5,把△ABC沿直線MN折疊得出BN=PN,將求BN的長轉(zhuǎn)化為求PN的長,這樣就可以利用直角三角形的勾股定理求解。過N作NF⊥AP,垂足為F,易得AF=BN,NF=AB=6,設(shè)BN=x,則PN=x,PF=x-4,由此可列出方程62+(x-4)2=x2,解得x=,即BN=。

        圖5

        解法4:把△ABC沿直線MN折疊,得出∠MPN=∠B=90°,構(gòu)造三角形,同解法3 添加輔助線,過點(diǎn)N作NF⊥AP,垂足為F,得出△MAP∽△PFN,于是=,易得PM=,NF=6,得BN=。

        在圖形運(yùn)動(dòng)類問題中,圖形翻折及其性質(zhì)屬于高頻考點(diǎn)。從上述4 種解法可以看出,根據(jù)已知條件,通過聯(lián)想和類比能找到不同的解題思路。不管解題思路如何多元化,但是萬變不離其宗,都離不開圖形翻折的性質(zhì),即所得對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分。由此看來,這一類題的實(shí)質(zhì)是幾何計(jì)算中求線段長度問題。

        三、例題設(shè)計(jì)

        以翻折為背景的中考題并不少見,“圖形變換置于三角形或四邊形”為常見命題形式,目的是考查翻折性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形性質(zhì)等,主要考查學(xué)生的觀察能力和分析能力。教師在教學(xué)中應(yīng)突出活動(dòng)探究環(huán)節(jié),既要讓學(xué)生搞清楚圖形翻折的本質(zhì),又要讓學(xué)生理解數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化,這才是增強(qiáng)學(xué)生解題能力的關(guān)鍵點(diǎn)。

        (一)例題設(shè)計(jì),看清圖形翻折本質(zhì)

        圖形翻折的本質(zhì)有三點(diǎn):①相互重合的點(diǎn)以折痕為對(duì)稱軸,連接兩重合點(diǎn)的線段被折痕垂直平分;②相互重合的線段是以折痕為對(duì)稱軸的對(duì)稱線段;③相互重合的部分是全等的,也是以折痕為對(duì)稱軸的。針對(duì)這三點(diǎn),九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)可以進(jìn)行有針對(duì)性的拓展訓(xùn)練。

        [例1]菱形ABCD的邊長是1,且∠B=45°,AE為BC邊上的高,現(xiàn)在把△ABE沿AE翻折,請(qǐng)根據(jù)以上所給條件畫圖。

        這種逆向思維的出題方式,別具一格。這雖說是傳統(tǒng)意義上的一題多解,但它又不同于以往。教師應(yīng)圍繞圖形翻折的本質(zhì)進(jìn)行教學(xué),以此為核心和目標(biāo),使學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)解題萬變不離其宗。通過這種訓(xùn)練,不僅能開闊學(xué)生的視野,提高學(xué)生的創(chuàng)新能力,還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

        (二)數(shù)形結(jié)合,理解數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化

        在復(fù)習(xí)教學(xué)中,要抓住翻折題型的數(shù)形轉(zhuǎn)化,并且要指導(dǎo)學(xué)生以此為學(xué)習(xí)突破口,這其中的重點(diǎn)在于“數(shù)”和“形”。比如說軸對(duì)稱、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的變化;而線段之間、角與角之間的數(shù)量關(guān)系則是“翻折”中“數(shù)”的變化,這其中的種種聯(lián)系,就是“翻折”中的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”。針對(duì)這一點(diǎn),筆者結(jié)合班情、學(xué)情設(shè)計(jì)例題。

        [例2]矩形ABCD的邊AB=1,AD=2,把矩形ABCD折疊,讓折痕過點(diǎn)B,且與邊AD交于點(diǎn)M,點(diǎn)A翻折到點(diǎn)E,直線ME與邊BC交于點(diǎn)P。(1)當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)D重合,請(qǐng)求出PC的長;(2)在求PC長度時(shí),發(fā)現(xiàn)MP=BP,隨著折痕移動(dòng),這兩線段之間的關(guān)系有什么變化?(3)假設(shè)AM=x,PC=y,請(qǐng)寫出x與y的函數(shù)關(guān)系式,并給出定義域。

        數(shù)形轉(zhuǎn)化是翻折題型的“不變核心”,通過前面例子的一題多解,我們不難找到“數(shù)”與“形”之間的變化和聯(lián)系。值得注意的是,探索一題多解是一個(gè)具有趣味性的過程,教法不應(yīng)死板,教師應(yīng)該結(jié)合基本學(xué)情而設(shè)定,要以“趣”為引,“激情”導(dǎo)入,使學(xué)生在愉快的氛圍中養(yǎng)成“勤思考,多動(dòng)腦”和“勤鍛煉,多動(dòng)手”的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

        學(xué)生通過翻折題型的歸納總結(jié),進(jìn)一步了解了折痕對(duì)稱軸,明確了線段相等重合,知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通過線段的數(shù)量關(guān)系,利用勾股定理和銳角三角形比例方程及相似比等,完成數(shù)形轉(zhuǎn)化,進(jìn)行問題求解。

        四、教學(xué)反思

        不可否認(rèn),“一題多解”是數(shù)學(xué)學(xué)科的奇妙所在,尤其體現(xiàn)在幾何教學(xué)的過程當(dāng)中。在一般情況下,通過一題多解,學(xué)生獲得的不僅僅是“多元化”數(shù)學(xué)思維,更多的是學(xué)習(xí)興趣及個(gè)人“滿足感”的獲得。從現(xiàn)實(shí)角度來看,當(dāng)“知識(shí)”和“興趣”只能選擇某一方時(shí),我們以情感需求為出發(fā)點(diǎn),通常會(huì)不自覺地傾向于“興趣”。由此得出教學(xué)反思:相較于知識(shí)與能力的獲得,學(xué)生更傾向于情感態(tài)度與價(jià)值觀的獲取。

        [例3]把A4 紙張ABCD,按照?qǐng)D6 所示,依照順序折疊,使點(diǎn)A、點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線BD上,得到菱形BEDF,若BC=6,那么AB的長是多少?

        圖6

        在此例教學(xué)中,教師若想嘗試用“一題多解”的教法,就得多層面、多角度、多維度地提出設(shè)想。但是,“一題多解”應(yīng)建立在“因材施教”的基礎(chǔ)之上,這是要符合學(xué)生的基本學(xué)情的。一題多解的方法雖好,但并不代表一道題必須變著花樣地給出多種解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”,則很容易弄巧成拙,違背教學(xué)規(guī)律和基本學(xué)情,使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣。

        解題時(shí),可設(shè)DC=x,通過題意得知BD=2DC=2x,在直角三角形BDC中,(2x)2-x2=62,解得x=

        由此得出結(jié)論,“一題多解”的核心不應(yīng)該脫離本質(zhì),就像例3,不能脫離“圖形的折疊及性質(zhì)”這個(gè)本質(zhì),教師必須讓學(xué)生知道它的考點(diǎn)在哪里、難點(diǎn)在哪里,然后根據(jù)考點(diǎn)和難點(diǎn),系統(tǒng)復(fù)習(xí)勾股定理和二次根式的化簡等知識(shí),繼而把代數(shù)與幾何融合學(xué)精學(xué)透。若有條件,且基本學(xué)情允許,教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試一題多解。

        總之,要使學(xué)生通過“多解”的過程,獲得思維創(chuàng)造上的快樂、個(gè)人滿足感以及強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)自信心,以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,使學(xué)生在愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境中有效學(xué)習(xí)。

        把一道題研究“精”、研究“透”,這可不是一件容易的事,而教學(xué)生把一道題研究“精”、研究“透”,更不是一件容易的事。教師在教學(xué)中應(yīng)注重“授人以漁”而不是只在表面下功夫,對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題,要教會(huì)學(xué)生根據(jù)“已知條件”不斷“探索研究未知”,即通過發(fā)散思維善于聯(lián)系、善于多角度地深入思考,以此獲得多種不同的解決途徑,同時(shí)也要提倡自主學(xué)習(xí),要讓學(xué)生進(jìn)行“我的發(fā)言”。要在喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí),有效揭示知識(shí)“遷移”和“產(chǎn)生”的過程,繼而引人入勝,使學(xué)生大膽嘗試,這樣才能使學(xué)生暴露自己的思維過程,讓教師明白學(xué)生的見解,進(jìn)而使教師更加了解學(xué)情,進(jìn)一步給出具有針對(duì)性、有效性的建議和指導(dǎo)。

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