王卿文， 張 琴， 楊建生

(上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200444)

1 教育數(shù)學(xué)與一流課程建設(shè)

長期以來，數(shù)學(xué)課程的改革主要集中在教學(xué)方法方面，即以“自主、合作、探究”的教學(xué)理念為主軸進(jìn)行改革實踐，取得了很多成果，對數(shù)學(xué)教材教法的研究也有了很好的積累. 但是數(shù)學(xué)難教、數(shù)學(xué)難學(xué)而使許多人望而生畏的現(xiàn)象依然存在.

人們普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)創(chuàng)造的活動已經(jīng)集中在數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿，大學(xué)本科所學(xué)的數(shù)學(xué)是完全成熟了的定型知識. 這種思維定式導(dǎo)致教學(xué)改革僅僅局限于對教材的取舍和教法的改進(jìn)及測評方式的變化，而沒有考慮數(shù)學(xué)知識本身的改進(jìn)，這是數(shù)學(xué)教育長期以來難以破解難教與難學(xué)的癥結(jié)所在. 針對這種局面，張景中院士在他的專著《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》提出了介于數(shù)學(xué)和教育學(xué)之間以數(shù)學(xué)為主的交叉研究方向——教育數(shù)學(xué). 教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育不同但有密切關(guān)系：數(shù)學(xué)教育研究教什么和怎么教，即教材和教法，不承擔(dān)數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造. 教育數(shù)學(xué)是以數(shù)學(xué)教育為目的，為了數(shù)學(xué)的傳承研究數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的成果進(jìn)行再創(chuàng)造，改造數(shù)學(xué)的內(nèi)容、體系及表述、呈現(xiàn)形式使之更適于教和學(xué)及評價. 關(guān)于教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育，張院士曾打過形象的比喻：把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)比喻為吃核桃，數(shù)學(xué)教育研究改進(jìn)砸核桃技巧，教育數(shù)學(xué)則研究改良核桃品種，使其味更美、營養(yǎng)更豐富，更易破皮吃凈.

教育數(shù)學(xué)的核心思想是“因為教育的需要而研究數(shù)學(xué)”. 除了把數(shù)學(xué)變簡單，講明白之外，還研究如何培養(yǎng)學(xué)生以下兩種能力：將知識、能力、素質(zhì)有機融合，解決復(fù)雜問題的綜合能力；運用所學(xué)知識研究開放問題，提升學(xué)生的研究創(chuàng)新能力.

經(jīng)過多年的發(fā)展與實踐，教育數(shù)學(xué)對解決數(shù)學(xué)難教和難學(xué)問題發(fā)揮了重要作用，在國內(nèi)外產(chǎn)生了重大影響和輻射.

2019年10月底教育部發(fā)布了國家一流本科課程建設(shè)的基本要求. 明確提出了一流課程建設(shè)必須體現(xiàn)高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度. 從教育數(shù)學(xué)的理念可以看出，教育數(shù)學(xué)和國家一流本科課程要求的兩性一度是深度融合的，并對一流課程建設(shè)具有指導(dǎo)和推動作用.

2 教育數(shù)學(xué)指導(dǎo)下的線性代數(shù)教材建設(shè)

教育數(shù)學(xué)提出了三個任務(wù)：對數(shù)學(xué)研究成果進(jìn)行數(shù)學(xué)和教學(xué)法兩方面的再創(chuàng)造，將數(shù)學(xué)的原始形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，變成符合教育規(guī)律、容易傳承的知識體系；對于已有數(shù)學(xué)知識在體系結(jié)構(gòu)的簡約性和知識傳播的有效性上進(jìn)行再創(chuàng)造，以最簡潔明了、易于接受的邏輯體系向?qū)W生傳授最有價值的數(shù)學(xué)知識；優(yōu)化數(shù)學(xué)知識的表述方式，使得教材更加科學(xué)、更加平易，更加符合教育規(guī)律.

2020年，作者主持的線性代數(shù)課程獲批首批國家級一流本科線下課程. 同時，作者也獲批中國高等教育學(xué)會教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會重大委課題“教育數(shù)學(xué)與一流課程建設(shè)”、高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教改項目“基于教育數(shù)學(xué)思想的一流課程教材建設(shè)”、上海高校本科重點教改項目“創(chuàng)立和發(fā)展教育數(shù)學(xué)理論，重構(gòu)大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和課程內(nèi)容”. 在一流課程線性代數(shù)建設(shè)過程中形成的教材《線性代數(shù)》也由高等教育出版社在2022年出版.

下面談?wù)勛髡咭越逃龜?shù)學(xué)為指導(dǎo)建設(shè)《線性代數(shù)》教材(以下簡稱教材)的幾點做法和體會.

2.1 基于教育數(shù)學(xué)思想和任務(wù)調(diào)整優(yōu)化線性代數(shù)課程體系和內(nèi)容

基于教育數(shù)學(xué)的思想及任務(wù)，筆者確定了教材編寫的指導(dǎo)思想：將線性代數(shù)的基本理論和方法，以嚴(yán)謹(jǐn)新穎、深入淺出的形式展現(xiàn)給不同層次的讀者，凸顯方法簡捷、觀點高遠(yuǎn)、趨向前沿、反映現(xiàn)代，力圖使教師好教并且學(xué)生易學(xué).

教材圍繞矩陣的三種重要等價關(guān)系——矩陣的相抵、相似和相合展開，先從矩陣的相抵講起，濃墨重彩矩陣的初等變換、矩陣的分塊、矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形等重要工具后，直接進(jìn)入線性代數(shù)的主要研究對象——線性空間，將線性方程組作為子空間和矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形的直接應(yīng)用，建立簡捷的實用解法，之后進(jìn)入線性變換，聚焦線性變換與矩陣的一一對應(yīng)，最后著重討論矩陣的化簡——相似與相合.

上述內(nèi)容順序和處理方法與傳統(tǒng)教材不同，既涵蓋了國內(nèi)現(xiàn)行線性代數(shù)課程的所有內(nèi)容和教學(xué)要求，又能在課時較少的情況下，保障學(xué)生能夠快速進(jìn)入線性代數(shù)的主要研究對象，既好又快地學(xué)習(xí)和掌握線性代數(shù)的核心理論.

2.2 以實現(xiàn)教育數(shù)學(xué)任務(wù)的主要途徑建設(shè)線性代數(shù)教材

提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味是實現(xiàn)教育數(shù)學(xué)所提任務(wù)的主要途徑. 以此為指導(dǎo)，在一流本科課程線性代數(shù)教材建設(shè)中采取了如下卓有成效的措施.

① 著重闡述知識的來龍去脈，引領(lǐng)讀者用已有知識和方法去“發(fā)現(xiàn)”后面要學(xué)習(xí)的知識. 每一章節(jié)開始，大都介紹要學(xué)習(xí)知識的由來和動機；從例子入手，概括出一般，引入新概念；從特殊情況出發(fā)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)出定理；從讀者的角度考慮，盡力使所展現(xiàn)的理論和方法具有新穎性、趣味性和可讀性. 譬如，傳統(tǒng)教材中線性空間的定義是學(xué)生首次接觸到的一個擁有兩種代數(shù)運算、8條運算律的用公理化體系建立的概念. 不少學(xué)生不僅對線性空間概念難以理解，就是對向量的加法、數(shù)乘兩種運算的本質(zhì)也是一頭霧水，更不能理解8條運算律中的第一條加法的交換律不獨立(即可由其余7條推出)，但卻不能去掉. 為避免上述問題的發(fā)生，本教材先從復(fù)數(shù)和矩陣等的加法及矩陣和多項式的數(shù)乘的特征出發(fā)，概括出加法和數(shù)乘滿足的運算律，推廣到一般的非空集合和數(shù)域，在給出加法和數(shù)乘運算定義的基礎(chǔ)上簡潔地定義線性空間. 具體如下：

集合V中的加法：V×V到V的一個代數(shù)運算滿足：?α，β，γ∈V，有

(i) 交換律：α+β=β+α；

(ii) 結(jié)合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ；

(iii) 有零元素：?α∈V，α+0=α；

(iv) 每個元素有負(fù)元素：α+(-α)=0.

集合V中的數(shù)乘：F×V到V的一個代數(shù)運算滿足：?k，l∈F，?α∈V，有

(i) (kl)α=k(lα)；

(ii) 1α=α.

基于定義的集合中的加法和數(shù)乘運算，給出線性空間的定義：

定義對于非空集合V和數(shù)域F，若V中有加法和數(shù)乘運算，且滿足分配律：?k，l∈F，

(i) (k+l)α=kα+lα；

(ii)k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為F上的一個線性空間，F(xiàn)為V的基域.

上述處理可使讀者既能容易理解什么是一般的加法和數(shù)乘，又能輕松把握線性空間的定義，避免了初學(xué)者很難理解線性空間傳統(tǒng)的定義，打消了加法交換律不獨立但又不能去掉的疑惑.

② 突出數(shù)學(xué)思想和方法的運用，力圖以簡捷方式展現(xiàn)線性代數(shù)的核心理論和方法.譬如，矩陣的分塊思想、標(biāo)準(zhǔn)單位向量、矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)形、子空間基的擴充、線性空間的同構(gòu)、線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系、對稱矩陣的正交對角化等思想和方法在教材中反復(fù)運用，力圖使這些核心思想和方法成為讀者解決應(yīng)用問題和實踐創(chuàng)新的主要利器.

③ 兼顧知識的深度、廣度和應(yīng)用度，以適合不同層次的讀者.教材優(yōu)化了線性代數(shù)的課程體系、以簡捷明了的方式處理課程內(nèi)容，在保障課時較少的讀者能夠?qū)W習(xí)和掌握線性代數(shù)的核心理論外，還在每個章節(jié)專門為課時相對較多、學(xué)有余力的讀者設(shè)計和選配了有一定挑戰(zhàn)度的例題和習(xí)題，同時設(shè)計了有一定深度、廣度和應(yīng)用度的“探索與發(fā)現(xiàn)”，精選和設(shè)計了若干理論探究和應(yīng)用探索的研究性課題.譬如，二次型是二次齊次多項式，教材在理論探索部分將其作為實對稱矩陣的應(yīng)用，解決了傳統(tǒng)線性代數(shù)教材以獨立章節(jié)研究非線性內(nèi)容所造成的自相矛盾；理論探究的設(shè)計重點體現(xiàn)挑戰(zhàn)度，比如，利用本教材研究線性方程組的簡捷方法研究線性矩陣方程等.應(yīng)用探索的設(shè)計重點體現(xiàn)趣味性和應(yīng)用度，例如，可逆矩陣應(yīng)用到密碼、線性空間應(yīng)用到幻方和數(shù)列、線性變換應(yīng)用到數(shù)字信號、矩陣的化簡應(yīng)用到汽車租賃等.

④ 突出了線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的有機銜接與融通.部分線性代數(shù)的概念引入從中學(xué)數(shù)學(xué)入口，某些線性代數(shù)的重要結(jié)論用初等方法證明.例如，類比數(shù)的除法引入矩陣的逆，用初等方法證明柯西-布涅柯夫斯基不等式，用一個數(shù)是實數(shù)的充要條件是這個數(shù)的共軛等于自身來證明實對稱矩陣的特征值是實數(shù)等.教材每章都設(shè)計了利用線性代數(shù)知識簡捷處理復(fù)雜初等數(shù)學(xué)問題的典型例子，比如，用行列式證明不等式、分解因式、解無理方程，用向量的線性關(guān)系解無理方程、證明幾何問題，用線性方程組解決代數(shù)、三角和幾何問題，用線性變換求橢圓的面積，用二次型證明不等式等.下面分別舉例說明利用行列式解無理方程和利用線性方程組證明等式.

解原方程化為

根據(jù)行列式的性質(zhì)得

例2已知log157=a，log215=b，log353=c，求證ab+bc+ca+2abc=1.

證由已知可得

此示，(lg3，lg5，lg7)是齊次線性方程組

的非零解.故

展開上面的行列式即得ab+bc+ca+2abc=1.

⑤ 注重課程思政元素和數(shù)學(xué)文化的滲透.教材把中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》在矩陣、行列式、線性方程組等多個領(lǐng)域中的成就及中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父華羅庚有關(guān)的內(nèi)容及課程中相關(guān)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)自然滲透到教材中，把“觀察—抽象—探究—猜測—證明”的科研方法貫穿教材的始終，引導(dǎo)學(xué)生探索現(xiàn)代科技背后的數(shù)學(xué)應(yīng)用原理，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受科技發(fā)展的巨大魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情與求知欲，培養(yǎng)其初步的科研意識和實踐創(chuàng)新能力.

除上述特點外，教材還與傳統(tǒng)教科書兼容并蓄.比如，教材用遞歸方法定義行列式，也引領(lǐng)讀者探索用逆序數(shù)給出其定義；用行向量和列向量的形式表示線性方程組，也用行向量和列向量的形式定義矩陣的特征向量.

2.3 以教育數(shù)學(xué)著眼于難點和新點指導(dǎo)線性代數(shù)教材建設(shè)

① 教育數(shù)學(xué)著眼于數(shù)學(xué)的難點. 難點的產(chǎn)生是由于現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識對某些客觀規(guī)律反映得不夠好，不適用于教育. 線性代數(shù)教材中有諸多難點，使得教師難教、學(xué)生難學(xué). 譬如，矩陣的秩、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系、一般線性方程組的求解、Sylvester慣性定律的證明等等. 針對這些難點，筆者通過優(yōu)化數(shù)學(xué)概念的表述方式，尋找更有力、更好學(xué)的方法，從根本上化解難點. 譬如，矩陣的分塊技巧是以華羅庚為代表的中國代數(shù)學(xué)家從事科學(xué)研究的殺手锏，本教材突顯這一思想和方法的巧妙運用，發(fā)掘新技巧，創(chuàng)造新辦法，給出了矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形唯一性的簡捷證明，從而用矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形中數(shù)字1的個數(shù)定義矩陣的秩，不僅準(zhǔn)確刻畫了矩陣秩的含義——“給矩陣排序”，而且相關(guān)理論證明及計算也簡單實用；進(jìn)而用矩陣的相抵標(biāo)準(zhǔn)型，給出了齊次線性方程組解空間的基的簡便求法和一般線性方程組的實用解法，并將之用于研究相應(yīng)的矩陣方程；對矩陣采用不同的分塊，給出了Sylvester慣性定律的幾種簡單證明；又如，一般數(shù)域上的方陣可對角化的實用判定定理同類教材大都僅給出此定理而未證明，其原因是傳統(tǒng)的證明方法非常復(fù)雜，非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者很難理解. 本教材給出了一般讀者容易接受的簡捷證明，保證了教材相關(guān)內(nèi)容的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和連貫性.

② 教育數(shù)學(xué)著眼于新點. 科技進(jìn)步和新業(yè)態(tài)的出現(xiàn)，高階知識進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)，成為新內(nèi)容. 既需要安排推陳出新的知識升級迭代，更需要對知識內(nèi)容進(jìn)行宜于教和學(xué)的再創(chuàng)造，便于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到科技新領(lǐng)域. 如，大數(shù)據(jù)和人工智能時代的到來，使矩陣奇異值分解在機器學(xué)習(xí)等眾多領(lǐng)域的應(yīng)用愈加凸顯. 傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材甚至數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)教材都不涉及矩陣的奇異值分解. 本教材，對于一般實矩陣A，從構(gòu)造對稱矩陣AA′出發(fā)，利用實對稱矩陣的正交相似對角化定理，引領(lǐng)學(xué)生輕松發(fā)現(xiàn)矩陣的奇異值分解定理，使非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生也能掌握其理論并用之解決實際問題.

3 結(jié) 論

教育數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是為教育而改造數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)變簡單，使得教師好教學(xué)生易學(xué).這就要求對現(xiàn)有課程教材的體系、內(nèi)容和方法進(jìn)行卓有成效的改革，使得教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)前沿性、時代性、突出創(chuàng)新性，課程教材設(shè)計要體現(xiàn)創(chuàng)新性、研究性和綜合性，從而培養(yǎng)和提升學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決復(fù)雜問題的綜合能力.因此，教育數(shù)學(xué)的思想、任務(wù)和實現(xiàn)的途徑與當(dāng)前進(jìn)行的一流課程建設(shè)的要求相輔相成.本文以具體實例，介紹了以教育數(shù)學(xué)的思想、主要任務(wù)及其實現(xiàn)的途徑為指導(dǎo)，建設(shè)首批國家一流本科課程“線性代數(shù)”教材的經(jīng)驗做法和體會，期望能給其它學(xué)科的教材建設(shè)帶來有益的啟發(fā)和借鑒.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.