孫 蕾， 朱健民， 蘇 芳

(1.中山大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)與工程學(xué)院，廣州 510006； 2.國(guó)防科技大學(xué)文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，長(zhǎng)沙 410073)

1 引 言

2016年12月7日，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào),要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過(guò)程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開(kāi)創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面.2020年5月28日，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，指出全面推進(jìn)課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透課程思政已經(jīng)引起高校數(shù)學(xué)教學(xué)的重視與思考[1].全國(guó)高校也積極響應(yīng)，將結(jié)合當(dāng)前的疫情時(shí)政，采用多種教學(xué)方式，將“思政”元素融入到微積分教學(xué)之中[2].落實(shí)課堂教學(xué)中大學(xué)數(shù)學(xué)課程思政的途徑很多，包括師德師風(fēng)建設(shè)、挖掘課程思政元素、豐富數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵、更新教學(xué)手段、構(gòu)建連接第一課堂與第二課堂的課程思政平臺(tái)等[3-4].本文著重探討了課程思政具體的實(shí)施途徑，研究將高等數(shù)學(xué)思政教育與案例式教學(xué)法相融合的教學(xué)模式，并給出相應(yīng)的教學(xué)案例設(shè)計(jì).

高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生的公共基礎(chǔ)必修課程，它為學(xué)生將來(lái)課程學(xué)習(xí)和科學(xué)研究打下理論基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)銜接了高中數(shù)學(xué)知識(shí)與大學(xué)理工科專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，承擔(dān)了從傳統(tǒng)知識(shí)為主到創(chuàng)新思維訓(xùn)練的轉(zhuǎn)換，是理工科學(xué)生在大學(xué)一年級(jí)最重要的課程之一.高等數(shù)學(xué)的教學(xué)會(huì)對(duì)學(xué)生從高中生到大學(xué)生的轉(zhuǎn)變產(chǎn)生深刻的影響.將思政元素融入高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生正確的世界觀和價(jià)值觀，激勵(lì)學(xué)生自覺(jué)把個(gè)人的理想追求融入國(guó)家和民族的事業(yè)有著重要的意義.

教學(xué)案例法是一種特定的教學(xué)方法，即在教師的指導(dǎo)下，根據(jù)教學(xué)目的的需要，采用案例來(lái)組織學(xué)生們進(jìn)行學(xué)習(xí)、研究、鍛煉能力的方法.案例式教學(xué)，以引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，綜合利用所學(xué)知識(shí)，發(fā)揮想象力，解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，由認(rèn)知客體轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)知主體，在科學(xué)探索中得到自我提升.成功的教學(xué)案例能驅(qū)動(dòng)學(xué)生的好奇心，對(duì)探究問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣.在案例式教學(xué)中，教師通過(guò)選取知識(shí)點(diǎn)明確的案例作為高等數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)對(duì)象，將問(wèn)題凝練后，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)逐步分解難點(diǎn)、化難為易，在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中探尋抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，完成課程教學(xué).因此，案例式教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升綜合能力和激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)中都能發(fā)揮重要作用[5-6].

高等數(shù)學(xué)課程中優(yōu)秀案例的選取如果既緊貼思政教育，又凝練了明確的教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)，就能在提高學(xué)生思想水平、政治覺(jué)悟、道德品質(zhì)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)生順利進(jìn)入課程的情境，完成知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí).教師也從知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的激發(fā)者、組織者和引導(dǎo)者，培養(yǎng)學(xué)生觀察世界、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.將課程思政與案例式教學(xué)相結(jié)合，將達(dá)到一舉多得的效果.

本文所涉及的這些案例選材具有鮮明的時(shí)代感，將數(shù)學(xué)課程的知識(shí)點(diǎn)與國(guó)家重大工程建設(shè)、最新科技發(fā)展前沿、社會(huì)生活熱點(diǎn)緊密結(jié)合，實(shí)現(xiàn)傳授知識(shí)與思政教育的高度融合.思政案例的更新和完善不僅取得了較好的教學(xué)效果，同時(shí)支持作者所在教學(xué)團(tuán)隊(duì)獲得了多項(xiàng)教學(xué)比賽獎(jiǎng)項(xiàng).

2 高等數(shù)學(xué)課程思政案例

2.1 將國(guó)家重大工程與課堂教學(xué)相融合，培養(yǎng)學(xué)生的歷史使命感

微積分理論是伴隨著社會(huì)生產(chǎn)的創(chuàng)立與發(fā)展的，已經(jīng)滲透到航空航天、材料、力學(xué)、控制、動(dòng)力學(xué)各個(gè)領(lǐng)域.可以收集與國(guó)家重大工程密切相關(guān)的案例，與高等數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合.例如，反常積分概念的引入就與航天器發(fā)射密不可分.

2020年12月17日，嫦娥五號(hào)攜帶月球樣品在預(yù)定區(qū)域安全著陸，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)航人“九天攬?jiān)滦呛娱煟呵锢@落回”的偉大夢(mèng)想.探月工程的“繞、落、回” 三步走戰(zhàn)略規(guī)劃是指：發(fā)射衛(wèi)星繞月球旋轉(zhuǎn)；月球車(chē)在月球上軟著陸；攜帶月球樣本返回地球.那么在設(shè)計(jì)探月器發(fā)射的燃料和動(dòng)力時(shí)，會(huì)遇到如下問(wèn)題：

例1從地球表面垂直向上發(fā)射質(zhì)量為m的航天器, 當(dāng)航天器距離地面h時(shí), 求克服地球引力做的功. 如果航天器要脫離地球引力范圍, 求航天器克服地球引力做的功.

解設(shè)地球半徑為R，質(zhì)量為M，物體與地面垂直距離為x，如圖1所示.根據(jù)萬(wàn)有引力定律，當(dāng)航天器離開(kāi)地球表面高度為x時(shí)，它所受地球的引力為

圖1 航天器克服地球引力做的功

當(dāng)航天器上升時(shí)，克服引力所做功的微元為

當(dāng)航天器自地球表面x=0上升到高度x=h時(shí)，需要做的功為

求航天器要擺脫地球的引力所作的功，相當(dāng)于在無(wú)窮區(qū)間[0,+∞)上積分，讓積分上限h→∞，故有

2.2 將最新科技發(fā)展與課堂教學(xué)融合，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的科研精神

在教學(xué)中融入與國(guó)計(jì)民生、社會(huì)生活息息相關(guān)的最新科技，會(huì)讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)在科技創(chuàng)新中的力量，激發(fā)學(xué)生投身科技研發(fā)的熱情.下面以傅里葉級(jí)數(shù)為例，介紹如何將思政素材與案例式教學(xué)融入課堂教學(xué).

沒(méi)有任何學(xué)術(shù)和工程實(shí)踐背景的一年級(jí)本科生是難以理解為什么要把函數(shù)展開(kāi)成復(fù)雜的傅里葉級(jí)數(shù)的，然而傅里葉級(jí)數(shù)形式上的復(fù)雜給信號(hào)處理帶來(lái)了極大的便利.課堂上，可以從5G技術(shù)引發(fā)激烈的中美對(duì)抗，導(dǎo)致美國(guó)政府制裁中興和斷供華為說(shuō)起.那么為什么5G技術(shù)會(huì)引發(fā)如此呢？在信息高速傳播的社會(huì)里，5G技術(shù)最具備競(jìng)力的優(yōu)勢(shì)就是超高速，它與其核心數(shù)學(xué)工具傅里葉分析密不可分，從而引出教學(xué)知識(shí)點(diǎn)——傅里葉級(jí)數(shù).該案例通過(guò)燃情的開(kāi)場(chǎng)白打開(kāi)學(xué)生探究傅里葉級(jí)數(shù)的好奇心，用最新科技的代入感將學(xué)生的注意力很快吸引到教學(xué)內(nèi)容上來(lái)，進(jìn)入教學(xué)情境.

在工程上，簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，于是希望能把一切周期運(yùn)動(dòng)，都分解成了一系列簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的之和.將這種思想運(yùn)用到周期函數(shù)的表示上，便產(chǎn)生了傅里葉級(jí)數(shù)，進(jìn)入正式知識(shí)點(diǎn)講授環(huán)節(jié).完成了傅里葉級(jí)數(shù)的理論講授內(nèi)容后，再回到前面提出的問(wèn)題.為什么傅里葉變換會(huì)使信號(hào)處理和傳輸?shù)乃俣燃涌欤?/p>

要在時(shí)間軸上表示一個(gè)復(fù)雜的無(wú)限信號(hào)，代價(jià)非常大.把信號(hào)進(jìn)行傅里葉分解，就是把信號(hào)用無(wú)限項(xiàng)三角函數(shù)的線性組合來(lái)表示

以三角函數(shù)的角頻率為自變量，傅里葉系數(shù)的模作為每個(gè)角頻率對(duì)應(yīng)的值，可以把信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)化到頻域中去，如圖2所示.于是時(shí)域內(nèi)無(wú)限的連續(xù)信號(hào)，就可以用頻域內(nèi)的離散信號(hào)表示.同時(shí)數(shù)學(xué)上可以證明當(dāng)n→∞時(shí), 傅里葉系數(shù)an→0以及bn→0.于是可以將后面足夠小的項(xiàng)進(jìn)行截?cái)?這樣復(fù)雜的時(shí)域內(nèi)無(wú)限的信號(hào)變換到頻域內(nèi)后只用幾個(gè)離散的點(diǎn)就能表示出來(lái)，在頻域內(nèi)有效地壓縮信號(hào)，從而提高了信號(hào)處理的速率.這就是傅里葉變換成為重要信號(hào)處理工具的原因.表1給出了信號(hào)在時(shí)域與頻域中的比較.

圖2 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的示意圖

表1 信號(hào)在時(shí)域與頻域中的比較

2.3 將社會(huì)生活與課堂教學(xué)融合，培養(yǎng)學(xué)生觀察世界、分析和解決問(wèn)題的能力

有些數(shù)學(xué)概念的提出是源自于生產(chǎn)生活的需要的.將這些例子引入課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維觀察世界、分析和解決問(wèn)題的能力.

圖3 鐵軌彎道與直接連接設(shè)計(jì)的問(wèn)題

比如，中國(guó)高鐵歷經(jīng)25年從無(wú)到有的快速發(fā)展，國(guó)內(nèi)運(yùn)營(yíng)里程已經(jīng)突破2萬(wàn)公里，居世界首位，讓國(guó)人引以自豪.如果把高鐵軌道的彎道抽象成曲線，在實(shí)現(xiàn)彎道的設(shè)計(jì)中，常會(huì)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：一條直線的軌道，與圓弧形軌道相連接.最容易想到的連接方式就是直接將圓弧與直線相切連接.這樣的設(shè)計(jì)真的能夠?qū)崿F(xiàn)列車(chē)在軌道上平穩(wěn)轉(zhuǎn)彎嗎？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要引入一個(gè)刻畫(huà)曲線彎曲程度的量，這就是曲率.學(xué)生帶著這個(gè)問(wèn)題學(xué)習(xí)曲率的概念、定義和計(jì)算方法.解決了知識(shí)點(diǎn)的講授后，可以回到最開(kāi)始提出的火車(chē)軌道設(shè)計(jì)的問(wèn)題上來(lái)，鐵軌圓弧形的彎道究竟能不能與直道直接相切地連接起來(lái).由力學(xué)知識(shí)，物體所受的向心力與運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率成正比，與速度的平方成正比.高鐵在直道上高速行駛沒(méi)有向心力，在圓弧形的軌道上有巨大的向心力.如果將直道與彎道直接連接，在切換軌道的一刻，會(huì)突然受力沖擊.為保證高鐵的平穩(wěn)運(yùn)行，工程上不能將直道與圓弧彎道直接相接，而必須在直道和彎道間接入一段緩和曲線.我國(guó)常使用三次拋物線緩和曲線.根據(jù)緩和曲線的設(shè)計(jì)原則，首先，緩和曲線的曲率必須是連續(xù)的，這樣才能保證曲率連續(xù)地變化.其次，緩和曲線在直道與彎道的接頭處的曲率要相等.在保證這兩個(gè)原則的前提下，給出思考題，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)合理的緩和曲線.至此完成案例教學(xué)的首尾呼應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生自己動(dòng)手動(dòng)腦，用數(shù)學(xué)思維解決社會(huì)生活中的實(shí)際問(wèn)題的能力.

2.4 將民族自豪感與課堂教學(xué)緊密結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義精神

早在春秋時(shí)期，莊子在《天下篇》中提到的“一日之槌，日取其半，萬(wàn)世不竭”就是極限思想的最初萌芽.魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，劉徽在《九章算術(shù)》提到“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”割圓術(shù)用積分的思想計(jì)算圓的面積，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.南北朝時(shí)期的祖沖之利用割圓術(shù)將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)都第七位，這一記錄在世界范圍內(nèi)保持領(lǐng)先了近一千年.這些例子，足以讓我們?yōu)樽嫦鹊闹腔鬯鄯?，?ài)國(guó)主義情懷油然而生.

例2如圖4所示，利用割圓術(shù)的思想計(jì)算半徑為r的圓的面積.

圖4 “割圓術(shù)”的思想

解圓內(nèi)接正n邊形的面積為

圓的面積為

2.5 將數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)緊密結(jié)合，提升學(xué)生的審美素養(yǎng)

身邊常有一些和數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系的案例，能完美地詮釋數(shù)學(xué)的和諧美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)單美和抽象美.這些案例能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生的審美素養(yǎng).

在高等數(shù)學(xué)[7]的作業(yè)題中可以證明，兩條不垂直的異面直線，取其中一條做軸，另一條直線繞其旋轉(zhuǎn)，得到的圖形是單葉雙曲面(圖5).廣州市地標(biāo)建筑廣州塔也是直線鋼柱傾斜交織而成，它的設(shè)計(jì)理念由荷蘭設(shè)計(jì)師海默爾提出：將橡皮筋綁在兩個(gè)橢圓片之間，拉直，輕輕旋轉(zhuǎn)，一個(gè)奇妙的幾何結(jié)構(gòu)就產(chǎn)生了(圖 6).把圓換成橢圓，扭動(dòng)后產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)宛如少女的腰肢，優(yōu)雅而嫵媚，因此廣州塔又名“小蠻腰”(圖7).標(biāo)準(zhǔn)的單葉雙曲面水平截面是同心的橢圓，且主軸平行，而廣州塔的水平截面是主軸依次旋轉(zhuǎn)的橢圓，錯(cuò)落有致，讓人產(chǎn)生空間扭轉(zhuǎn)的迷人錯(cuò)覺(jué).那么它用直線交織而成的外表面是還是單葉雙曲面嗎？如果不是，又如何建立它的曲面方程？(該方程的求解見(jiàn)參考文獻(xiàn)[8])學(xué)生在探求這些問(wèn)題的時(shí)候，既加深了知識(shí)點(diǎn)的掌握，又體驗(yàn)到用不同的方程曲面形態(tài)，展示不同的建筑之美，表達(dá)設(shè)計(jì)師不同的情感與理念.

地標(biāo)建筑能反映出城市的文化內(nèi)涵，通過(guò)介紹著名的地標(biāo)建筑的設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)與建筑設(shè)計(jì)之美相結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)曲面方程的理解.課堂上可以采用該案例教學(xué)，層層深入地剖析問(wèn)題，通過(guò)師生之間的對(duì)話和交流，層層遞進(jìn)地將簡(jiǎn)單的曲面方程求解問(wèn)題推廣到更一般的情形，調(diào)動(dòng)學(xué)生了探究、求解問(wèn)題的欲望，并使學(xué)生感受思考的樂(lè)趣.

3 教學(xué)效果

為了解在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用案例教學(xué)法融入課程思政教育的教學(xué)效果，設(shè)計(jì)了一份電子匿名調(diào)查問(wèn)卷發(fā)放給最近一輪高等數(shù)學(xué)教學(xué)班的學(xué)生，共收到398份有效問(wèn)卷。問(wèn)卷問(wèn)題及調(diào)查結(jié)果如圖8所示. 從調(diào)查問(wèn)卷反饋的結(jié)果來(lái)看，學(xué)生給出了積極的反饋信息.大多數(shù)學(xué)生認(rèn)可將思政教育引入高等數(shù)學(xué)課堂的必要性，并樂(lè)于接受這種課堂學(xué)習(xí)模式的.其中，最受歡迎的教學(xué)案例類型是將國(guó)家重大工程與課堂教學(xué)相融合，培養(yǎng)學(xué)生的歷史使命感,這也啟發(fā)教師平時(shí)要多關(guān)心國(guó)家大事，主動(dòng)收集素材并挖掘提煉蘊(yùn)含的德育元素，將其融入教學(xué)案例設(shè)計(jì)，貫穿到高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)實(shí)踐中去.

圖8 調(diào)查問(wèn)卷和反饋結(jié)果

學(xué)生在問(wèn)卷調(diào)查中誠(chéng)懇地給出了自己關(guān)于課程思政下高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例的設(shè)計(jì)的想法，圖9截取其中部分交流信息，其中既有對(duì)高等數(shù)學(xué)中思政教育的肯定，也有非常中肯的建議和意見(jiàn)。

圖9 學(xué)生交流關(guān)于高等數(shù)學(xué)中思政教育案例的心得體會(huì)

本文全體作者最近一次高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教務(wù)系統(tǒng)學(xué)生評(píng)價(jià)的分?jǐn)?shù)均超過(guò)98分，具體情況如表2所示.學(xué)生對(duì)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用案例教學(xué)法融入課程思政教育是持肯定態(tài)度的.在思政教育的同時(shí)，也提高了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，獲得了預(yù)期的教學(xué)效果.

表2 教務(wù)系統(tǒng)學(xué)生評(píng)價(jià)

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中采用案例教學(xué)法融入課程思政教育不僅得到了學(xué)生的認(rèn)可，還得到高校同行的肯定.高等數(shù)學(xué)課程思政案例的更新和完善支持國(guó)防科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì)先后獲得了全國(guó)高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽全國(guó)一等獎(jiǎng)三項(xiàng)，湖南省普通高校教師課堂教學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)三項(xiàng)，軍隊(duì)院校數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)比賽一等獎(jiǎng)兩項(xiàng)，軍隊(duì)院校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)一項(xiàng).教學(xué)案例《單葉雙曲面與現(xiàn)代建筑》獲得廣東省本科高校課程思政優(yōu)秀案例二等獎(jiǎng).

因此，為高等數(shù)學(xué)課程精心設(shè)計(jì)的教學(xué)案例，既能激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的欲望，又將思政教育融入了課堂，這種教學(xué)模式得到了學(xué)生和同行的一致認(rèn)可.

4 結(jié) 論

在高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，成功的教學(xué)案例能驅(qū)動(dòng)學(xué)生的好奇心，對(duì)探究問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣.案例式教學(xué)能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)融入具體案例，構(gòu)建新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升綜合能力和激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)都有巨大的幫助.思政素材將國(guó)家重大工程與課堂教學(xué)相融合，既能培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感，又能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.平時(shí)應(yīng)關(guān)注時(shí)事，留心生活，遇到好的教學(xué)案例和思政素材要及時(shí)收集并整理，真正做到：用心澆灌，立德樹(shù)人，一切以學(xué)生為本；時(shí)光打磨，日積月累，春雨潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).