魏曇榮， 曾振柄

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444)

1 引 言

眾所周知，正態(tài)分布N(μ，σ2)中，樣本方差s2是σ2的無偏估計(jì)，但由于參數(shù)估計(jì)的無偏性一般不具有不變性，因此，s并不是σ的無偏估計(jì).通常，人們利用修偏技術(shù)，計(jì)算出修偏系數(shù)

來構(gòu)造正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏估計(jì)cns[1].事實(shí)上，修偏系數(shù)并不是唯一的[2]，這里只研究cn.在證明t分布趨于正態(tài)分布的時(shí)候，一般用到該修偏系數(shù)下面的一個(gè)性質(zhì).

有學(xué)者已計(jì)算證明Es單調(diào)遞增收斂于σ[3]. 這個(gè)命題說明s是σ的漸近無偏估計(jì)，即在樣本量足夠大時(shí)，可以將未修正的s認(rèn)為是σ的一個(gè)較好的估計(jì)[4]. 注意到，cn是n的函數(shù)，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，Es單調(diào)遞增收斂于σ，說明cn收斂于1[5]. 在此，本文將證明一個(gè)比命題1更強(qiáng)的定理.

在定理1的證明過程中，利用H?lder不等式構(gòu)造了兩個(gè)輔助函數(shù)，借助Gamma函數(shù)的性質(zhì)和兩邊夾定理給出證明. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，命題1和定理1有個(gè)重要的應(yīng)用，就是證明下面的命題2.

命題2當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)分布.

這個(gè)結(jié)論，也出現(xiàn)參考文獻(xiàn)[6-9]中，這是一個(gè)更廣為人知的性質(zhì)，不過上面這些書中，都沒有給出嚴(yán)格證明，有的是用圖像加以說明，有的書指出當(dāng)n大于30時(shí)，t分布的形態(tài)就已經(jīng)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布無異了. 若想嚴(yán)格證明，可以利用Stirling公式、Wallis公式以及特征函數(shù)給Gamma函數(shù)的一個(gè)等效無窮乘積定義，即出該命題的證明.這里，利用定理1和修偏系數(shù)的收斂性即可證明命題2.最后，利用定理1，證明關(guān)于

這個(gè)性質(zhì)是在1729年Gauss給出的[10]. 但本人在參考文獻(xiàn)[10]中還沒有找到嚴(yán)格證明.

2 定理1的證明

于是，上述不等式就寫成Γ(x+a)≤xaΓ(x)，將該式中的a換成1-a，x換成x+a，得到

Γ(x+1)≤(x+a)1-aΓ(x+a).

把上面兩個(gè)不等式組合在一起，得到

整理得

上式兩邊取極限，即得

3 命題1，2，3的證明

這里，將應(yīng)用定理1對(duì)前述的三個(gè)命題進(jìn)行一一證明.

于是有

即

得證結(jié)論.

命題2的證明命題1修偏系數(shù)cn的收斂性有個(gè)重要的應(yīng)用就是對(duì)在大樣本情況下， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)分布的證明.

設(shè)t分布的概率密度函數(shù)為

因此，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，由命題1可知，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)

命題3的證明這是1729年Gauss提出的Γ(x)函數(shù)的等效無限乘積定義. 這里，利用定理1給出該定義的證明.

(i) 當(dāng)x=1，2，3，… 時(shí)， Γ(x)=(x-1)! 因?yàn)?/p>

結(jié)論正確.

而

Γ(n+x)=Γ(n-1+x+1)=(n-1+x)(n-2+x)Γ(n-2+x)

=…=(n-1+x)(n-2+x)…xΓ(x).

于是

當(dāng)然

即得

于是得證.

(iii) 若x>1，記x=[x]+{x}，這里[x]是不超過x的最大整數(shù)， 0<{x}<1，于是由(ii)知

兩邊同乘以([x]-1+{x})([x]-2+{x})…({x}+1){x}，為方便記{x}=a，則有

([x]-1+a)([x]-2+a)…(a+1)a·Γ(a)

推論1得證.

4 結(jié) 論

推廣了正態(tài)分布中標(biāo)準(zhǔn)差無偏估計(jì)的修偏系數(shù)的一個(gè)極限性質(zhì)，給出了教科書中兩個(gè)常見、但無嚴(yán)格證明的兩個(gè)性質(zhì)，以及Gamma函數(shù)的一個(gè)等效無限乘積定義.

致謝本文作者感謝黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系王士模教授和上海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系曾振柄教授在文章寫作過程中給予的啟發(fā)和悉心指導(dǎo).