趙 青，張 敏，李 宗 利

(1.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院 水利工程學(xué)院，河南 開封 475004； 2.河南省小流域生態(tài)水利工程技術(shù)研究中心，河南 開封 475004； 3.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

水泥基材料是由水泥水化產(chǎn)物與集料組成的復(fù)合材料，主要有砂漿和混凝土，具有多相多孔低滲透特性。其滲透特性主要決定于孔隙率的大小、孔隙尺寸以及孔隙連通等結(jié)構(gòu)特征，而孔隙結(jié)構(gòu)受水灰比、水化程度、齡期、養(yǎng)護情況、水泥漿與骨料界面孔隙等因素的影響[1-2]?；炷了B透性能的試驗方法包括水壓力試驗法、抗氯化物滲透試驗法以及氣體滲透性試驗法等[3]。對于低滲透特性混凝土，由于水壓法試驗中難以形成穩(wěn)定滲透，又多采用滲透深度法[3]、瞬態(tài)動力法等[4-6]，但這些方法不僅成本高、耗時長，而且結(jié)果離差性較大[7]，并不能從機理上揭示水泥基材料滲透系數(shù)與孔隙特征參數(shù)之間的關(guān)系。

關(guān)于水泥基材料的滲透特性與孔隙結(jié)構(gòu)特征關(guān)系方面的研究，國內(nèi)外已有大量的研究成果。Katz等[8-9]對沉積巖的滲透問題進行了研究，提出了滲透率與臨界孔徑、相對導(dǎo)電率的函數(shù)關(guān)系，計算結(jié)果與試驗實測數(shù)據(jù)吻合較好。Garboczi[10-12]等根據(jù)壓汞法得到的孔結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對Katz-Thompson方程進行了修正，并將該理論的適用范圍拓寬到普通水泥石滲透性的研究中，試驗結(jié)果表明，該理論適用于簡單孔結(jié)構(gòu)的巖石和孔隙率較大的混凝土。McLachlan[13-15]提出了GEM滲透理論，從水泥水化程度、孔隙率、水化產(chǎn)物的滲透率等因素出發(fā)，推導(dǎo)出了滲透率計算式。Lu等[16]通過試驗，研究證明了GEM理論可適用于不同孔隙率的普通混凝土滲透系數(shù)計算。

上述文獻所建立的水泥基材料的滲透率或滲透系數(shù)與孔隙結(jié)構(gòu)關(guān)系，核心是需要孔隙的大小及其結(jié)構(gòu)特征，但孔隙結(jié)構(gòu)特征很難準(zhǔn)確測定[17-19]，而數(shù)值模擬技術(shù)為其研究創(chuàng)造了條件。Koster等[20]應(yīng)用水泥基材料的3D圖像，并考慮未水化的水泥顆粒、水化過程及孔隙分布理論，利用自相似理論和“thinning agorithm”構(gòu)建了水泥基材料孔隙空間模型，利用Hagen-Poiseuille定律計算裂隙內(nèi)水流，從而模擬水泥基材料內(nèi)水的運動，并基于達西定律得到了水力滲透系數(shù)。李守巨等[21]應(yīng)用隨機模擬技術(shù)研究了多孔介質(zhì)滲透系數(shù)與孔隙率之間的關(guān)系，限于模型尺寸較小，而且未考慮孔隙的連通性。Sun等[22]通過掃描過渡區(qū)的2D孔隙結(jié)構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)模擬出3D孔隙結(jié)構(gòu)，但未能真實反映出孔隙連通情況。本文基于細(xì)觀向上多尺度法，用蒙特卡羅法隨機生成不同孔隙率的連續(xù)介質(zhì)滲流分析模型，采用分級計算、逐級逼近的方式，實現(xiàn)了細(xì)觀與宏觀模型的材料參數(shù)傳遞。應(yīng)用圖型結(jié)構(gòu)與Dijkstra算法，對隨機生成的孔隙網(wǎng)絡(luò)進行連通性判斷，研究了低滲透性水泥基材料滲透性與其孔隙尺寸、孔隙率、等效孔隙率等特征參數(shù)間關(guān)系，揭示水泥基材料的水力滲透機理。

1 數(shù)值分析模型

1.1 向上擴展多尺度法

低滲透性水泥基材料中的孔隙尺寸一般在納米到微米級[1]，屬于微細(xì)觀尺度上的研究。工程上所應(yīng)用的水泥基材料尺寸一般較大，孔隙的分布和尺寸等細(xì)觀結(jié)構(gòu)對其宏觀性能具有顯著影響[23]。若按照孔隙的真實尺寸建立有限元模型，那么單元個數(shù)將超過千萬，計算規(guī)模將會遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出微型計算機的能力范圍，甚至無法實現(xiàn)。本文借助于向上擴展多尺度分析方法[24-26]，將宏觀模型與細(xì)觀模型相結(jié)合，通過細(xì)觀模型向宏觀模型中單元提供滲透性參數(shù)，采用分級計算、逐次逼近的方式，對模型的等效滲透系數(shù)進行分析，以研究其與孔隙率、尺寸等因素之間關(guān)系。

圖1為滲流分析模型的分級示意圖。圖中，將計算模型分為4級分別進行滲流分析，分別記為i=1，2，3，4(下同)。i≤3級模型屬于細(xì)觀尺度，i=4級為宏觀模型尺度。在第1級模型中，將隨機分布的孔隙等效為一個單元或由多個單元組成的具有隨機形狀的大孔隙或裂隙(本文暫將孔隙和裂隙均稱孔隙)，即1個單元就是1個獨立孔隙或孔隙的一部分，高一級模型中單元的尺寸則取低一級模型的尺寸。對第1級模型孔隙單元的滲透系數(shù)運用裂隙立方定律[27]進行計算，其余模型中孔隙單元的滲透系數(shù)為低一級模型的等效滲透系數(shù)。因此在研究中，僅有第1級模型中的孔隙單元為真正意義上的孔隙，而其余各級模型中的孔隙單元均為內(nèi)部含有孔隙的特殊“孔隙”單元。換言之，除第1級模型外，其余各級模型中所指的孔隙率只是一個相對值，并非絕對孔隙率。為了避免與真正意義上的孔隙率產(chǎn)生混淆，在本文中，將各級模型中孔隙體積與總體積的比值統(tǒng)稱為相對孔隙率。

圖1 滲流分析模型分級示意Fig.1 Classification of seepage analysis model

由文獻[27]可知，當(dāng)裂隙寬度在0.2 μm～1 mm范圍時立方定律總是成立。Mehta的試驗表明[28]：當(dāng)混凝土的孔隙尺寸小于132 nm時，孔隙特征對其滲透性與強度均無影響。方趙峰等對標(biāo)準(zhǔn)試塊(150 mm×150 mm×150 mm)進行的試驗結(jié)果表明[29]，混凝土孔隙尺寸在100～1 000 nm時，對其滲透性貢獻最大。基于以上研究成果，將第1級細(xì)觀模型的等效孔隙尺寸分別定為0.5，1.0，1.5 μm，其余各級模型尺寸如表1所列。

表1 計算模型分級與尺寸Tab.1 The hierarchical models and sizes

在低滲透性水泥基材料中，孔隙多是片狀裂隙，在此應(yīng)用裂隙滲流立方定律計算其滲透系數(shù)，并假設(shè)裂隙壁面光滑，則第一級模型孔隙單元的滲透系數(shù)計算式為

(1)

式中：k1為等寬孔隙單元的滲透系數(shù)，m/s；ρ為水的密度，取103kg/m3；g為重力加速度，取9.8 m/s2；b為第1級模型等效孔隙尺寸，m；μ為水的動力黏滯系數(shù)，20 ℃時，μ=1.005×10-3Pa·s。在研究中，認(rèn)為模型中的固體顆粒滲透性極低，取滲透系數(shù)ks為10-15m/s。表2為3種不同等效孔隙尺寸情況下等寬孔隙的滲透系數(shù)計算值。

表2 第1級模型孔隙單元滲透系數(shù)Tab.2 Pore unit permeability coefficient in first stage model

1.2 不同孔隙率模型的生成方法

在分析模型中，假設(shè)一個單元為一孤立孔隙或孔隙的一部分(對于第2～4級模型，此處指含孔隙的單元)，將孔隙的隨機分布問題轉(zhuǎn)化為單元材料屬性隨機賦值問題。采用Monte-Carlo法，隨機生成孔隙單元號或含孔隙的特殊單元號，實現(xiàn)給定孔隙率下孔隙的隨機分布。

1.3 孔隙連通性判斷

應(yīng)用Dijkstra最短路徑算法[30]查找連通孔隙。每1個孔隙單元的單元號看作是圖形結(jié)構(gòu)中的一個頂點，單元與單元之間的關(guān)系為圖形結(jié)構(gòu)中邊，由此構(gòu)成空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。采用Dijkstra算法尋找出每個單元連通的最短路徑，并輸出最短路徑的頂點(孔隙單元的單元號)，即可完成孔隙連通性判斷問題。值得注意的是，采用Dijkstra算法尋找出的連通路徑是最短路徑，圖2中，盲端孔隙只有儲存水的作用，對滲透性并無貢獻，因此，連通路徑中不包含盲端孔隙構(gòu)成的通道。

圖2 盲端孔隙Fig.2 Deadend pores

1.4 分析模型建立及其模擬方案

假設(shè)條件如下：

(1) 滲流為穩(wěn)定滲流，連續(xù)介質(zhì)服從飽和介質(zhì)達西定律，孔隙滲流符合光滑裂隙立方定律；

(2) 數(shù)值模型中每個單元均為各向同性材料，除孔隙單元外，每一級細(xì)觀模型中的固體顆粒單元與最終的宏觀模型中固體顆粒單元材料性質(zhì)相同；

(3) 不考慮流體(水)、孔隙與固體顆粒單元的壓縮性，滲流發(fā)生時模型的孔隙率不變，即不考慮流固耦合效應(yīng)，其貯水系數(shù)為0。

各級模型的尺寸如表1所列?？梢钥闯觯耗Ｐ统叽缭谧兓?，但單元數(shù)均為20×20×20=8 000。單元采用三維8節(jié)點單元，初始孔隙水壓為0。有限元模型的一個方向的2個面為已知水頭邊界條件，上下游面之間的水頭差ΔHi(i=1～4)與模型尺寸Li相等；其余各面為不透水邊界。

各級模型的相對孔隙率分別為n1，n2，n3，n4，基于向上擴展多尺度分析方法，細(xì)觀模型是宏觀模型的局部表現(xiàn)，故n1>n2>n3>n4，最終第4級模型(宏觀模型)的總孔隙率ntotal，即模型的絕對孔隙率由式(2)計算：

ntotal=n1×n2×n3×n4

(2)

考慮到普通混凝土中的孔隙率含量較低，不大于0.2，一般在0.1左右[16]，因此，各級模型中所取的相對孔隙率ni以及最終的總孔隙率ntotal如表3所列。

表3 孔隙率的選取Tab.3 Selection of porosity

2 滲透系數(shù)與孔隙率的關(guān)系

為了確定孔隙率、孔隙尺寸與其滲透性表征參數(shù)滲透系數(shù)之間的關(guān)系，在垂直于滲流主方向取切平面，通過切平面所有節(jié)點的流量積分，得到切平面的流量q，基于達西定律有：

(3)

式中：keq為等效滲透系數(shù)，m/s；ΔH為上下游水頭差，m；L為模型尺寸，m。

2.1 滲透系數(shù)與孔隙率尺寸的關(guān)系

對孔隙尺寸為0.5，1.0，1.5 μm的219個各級模型結(jié)果進行分析，在不考慮孔隙連通性的情況下，將孔隙尺寸為0.5，1.0，1.5 μm所對應(yīng)的等效滲透系數(shù)記為keq0.5，keq1.0，keq1.5，對總孔隙相同而孔隙尺寸不同時等效滲透系數(shù)兩兩對比，如表4所列。

表4 孔隙尺寸與等效滲透系數(shù)關(guān)系Tab.4 The relationship between pore size and equivalent permeability

由表4可看出：在孔隙率一定的情況下，等效滲透系數(shù)比值的平均值與相應(yīng)的孔隙尺寸比值的平方(4，9，2.25)的絕對值最大誤差為2.15%，即二者近似成正比，故水泥基材料的等效滲透系數(shù)與其孔隙尺寸的平方近似成正比，符合所應(yīng)用的立方定律，亦符合松散顆粒狀多孔介質(zhì)其滲透率經(jīng)驗公式[32]，如式(4)，并且與文獻[19]和[33]等人的研究結(jié)果十分相近，驗證了本文所提出的數(shù)值模型與研究方法的合理性。

K=cd2

(4)

式中：K為滲透率，cm2；c為待定常數(shù)，與砂土性質(zhì)有關(guān)；d為有效粒徑，cm。

2.2 滲透系數(shù)與總有效孔隙率的關(guān)系

低滲透性水泥基材料的滲透性不僅與孔隙率有關(guān)，而且與孔隙的結(jié)構(gòu)特征有關(guān)，只有連通的孔隙才能形成滲透通道。本文定義連通的孔隙為有效孔隙，非連通和盲端孔隙定義為死孔隙，其滲透系數(shù)取很小的值(實際分析中取1×10-12m/s)，為方便起見，將不同孔隙率的各級混凝土滲流分析模型記為模型尺寸L(n1/n2/n3/n4)下同。模型如圖3所示，圖3中深綠色為固體顆粒，深藍(lán)色為非連通孔隙，淺色為連通孔隙。

圖3 隨機產(chǎn)生的有限元分析模型Fig.3 Random generation of FEA models

分析得到的等效滲透系數(shù)與總有效孔隙率關(guān)系如圖4所示。由圖4可以看出，滲透系數(shù)隨有效孔隙率的增大而增大，經(jīng)擬合成二次方關(guān)系，擬合方程如下：

當(dāng)孔隙尺寸為0.5μm時，有：

R2=0.998

(5)

當(dāng)孔隙尺寸為1.0μm時，有：

R2=0.999

(6)

當(dāng)孔隙尺寸為1.5μm時，有：

R2=0.999

(7)

圖4 水泥基材料等效滲透系數(shù)與總有效孔隙率的關(guān)系Fig.4 Relationship between equivalent permeability coefficient and total effective porosity of cement-based materials

該趨勢與Christensen等人修正后的混凝土滲透率預(yù)測公式[12]，即Katz-Thompson方程式(8) 以及Song等[34]推導(dǎo)的混凝土滲透系數(shù)與總孔隙率的關(guān)系式(9) 是一致的。另外，許燕蓮等[35]也通過試驗的方法，測得多孔混凝土的有效孔隙率與其滲透系數(shù)是二次項關(guān)系，與本文得到的結(jié)果一致，進一步說明本文中模型與研究方法的有效性。

(8)

式中：lc為混凝土臨界孔徑，cm；φ為毛細(xì)孔隙率；φc為起滲透作用的毛細(xì)孔隙率臨界值。

(9)

式中：k為滲透系數(shù)，m/s；C為常數(shù)；m為影響因子；B為與所選取的微孔隙結(jié)構(gòu)模型有關(guān)。

3 孔隙率與連通性關(guān)系

有效孔隙(連通的孔隙)率與孔隙率之間存在密切關(guān)系，即孔隙率與連通性關(guān)系。將不同孔隙尺寸的各級水泥基材料滲流分析模型中，所有相同的相對孔隙率0.2，0.3，0.4，……，0.9與其所對應(yīng)的相對有效孔隙率的關(guān)系列于表5。

由表5可知：相對有效孔隙率隨著各級水泥基材料孔隙率的增大而增大，其值越來越趨近總孔隙率。當(dāng)相對孔隙率小于0.2時，水泥基材料中的相對有效孔隙率等于0，即不存在連通的孔隙單元，這就解釋了Katz-Thompson方程中臨界孔隙率的存在，且本文所得結(jié)論與Garboczi等[10]的理論推導(dǎo)、Parrott[36]的試驗研究所得出的結(jié)論是一致的。其中，Garboczi等基于逾滲理論計算指出，當(dāng)混凝土的毛細(xì)孔率小于0.2±0.05時，所有的毛細(xì)孔均被膠凝孔阻隔，故只能利用層間的孔實現(xiàn)物質(zhì)的相互交換，即毛細(xì)孔的臨界孔徑會降到膠凝孔，從而混凝土的滲透性降低；Parrott試驗結(jié)果亦表明，當(dāng)混凝土的毛細(xì)孔率小于0.2時，因孔隙不再連通，從而使得混凝土液態(tài)水入滲率將大幅降低。

表5 水泥基材料各級孔隙率與有效孔隙率統(tǒng)計關(guān)系Tab.5 Statistical relationship between porosity and effective porosity at all levels of cement-based materials

由上述分析可知：滲透性會隨總孔隙增加而提高的根本原因是有效孔隙率的增大，水泥基材料中的毛細(xì)孔易形成連續(xù)的、相互貫通的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)體系，而這種連通的孔隙結(jié)構(gòu)體系，成為了流體入滲與流動的主要通道；而當(dāng)孔隙率含量較低時，孔隙之間的連通性變差，盲端孔隙在總孔隙中占有率高，從而導(dǎo)致水泥基材料的滲透性隨之降低。

需要說明的是，水泥基材料中的孔隙尺寸一般從納米級到微米級，本文所模擬的材料模型由不同孔隙率的微單元組成，最底層單元是真實孔隙，其滲透系數(shù)滿足裂隙立方定律，其他層次單元由具有不同孔隙率微單元組成。當(dāng)孔隙率較大時，微單元就可以代表一個孔隙，連通性由不同孔隙率的單元隨機生成單元自然連接生成，這就很好地反映出了水泥基材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多尺度性、隨機性，相比文獻[21，34]和[35]等中的方法，本文提出的方法具有明顯的優(yōu)越性，亦減少了大量繁瑣的試驗。

4 結(jié) 論

從細(xì)觀尺度著手，基于向上擴展多尺度法，應(yīng)用蒙特卡羅方法隨機生成了不同孔隙率的連續(xù)介質(zhì)滲流分析模型，研究了低滲透性水泥基材料滲透性與其孔隙尺寸、孔隙率、等效孔隙率關(guān)系。

(1) 在孔隙率一定的情況下，等效滲透系數(shù)隨其孔隙尺寸的增加而增大，并與孔隙尺寸的平方近似成正比。

(2) 在孔隙尺寸一定的情況下，等效滲透系數(shù)隨著有效孔隙率的增加而增大，并與其成二次函數(shù)關(guān)系。

(3) 孔隙的連通性隨著孔隙率的增大而增強，有效孔隙率隨之提高，并趨近于總孔隙率；當(dāng)孔隙率小于或等于0.2時，孔隙將不再連通，水泥基材料可視為不透水介質(zhì)。今后需要進一步對分析模型產(chǎn)生時，等概率不同次數(shù)而引起的變異對其滲透性的影響。