劉 初 玥

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院， 四川 南充 637009)

0 引言

我們研究加權(quán)Drichlet能量.給出以下定義和符號[1-2]，映射h:→，且給出h的Hilbert-Schmidt范數(shù)：

定義1假設h:Ω→Ω′是定義區(qū)域Ω上的一個W1,2(Ω)映射，其中Ω和Ω′?，ρ為Ω′上的Riemann度量，定義加權(quán)Dirichlet能量為[6]：

(1)

定義2假設h:Ω→Ω′，h=h(ξ)是定義在區(qū)域Ω上的一個W1,2(Ω)類映射，其中Ω和Ω′?.z和ξ表示在區(qū)域Ω內(nèi)的不同變量，將ξ看作Ω到自身的C∞光滑微分同胚：ξ(z)=z+ψ(z)且且則h的內(nèi)變分H(z)=h[ξ(z)]=h[z+ψ(z)].

此時h的邊界值由h(Ω)=Ω′給出，但大多數(shù)時候都不考慮邊界情況，在非線性超彈性空間[7-9]中被稱為無摩擦問題.

Iwaniec等[10]研究了度量ρ[h(z)]=1時，關(guān)于Dirichlet能量的內(nèi)變分，本文在此基礎(chǔ)上研究了加權(quán)情形下Dirichlet能量的內(nèi)變分.

1 研究的主要結(jié)果

定理1映射h:Ω→Ω′定義的內(nèi)變分是由H(z)=h[ξ(z)]，z∈Ω′給出的映射H=H(z)，其中ξ=ξ(z)以及其逆映射z=z(ξ)都是Ω上自身到自身的微分同胚，則：

(2)

(2)當度量ρ[h(z)]=1時，(2)式就是文章 [10]中的(1.11)式.

同理可得

所以

(3)

(3)式的左右兩邊都是關(guān)于z的變量，所以兩邊可以同時積分，之后再根據(jù)面積元素變換規(guī)則：

在(3)式的右邊進行變量變換，因此

(4)

其中

(5)

將(5)式帶入(4)式后再帶入(2)式，得：

定理1證明完畢.

2 相關(guān)的推論及證明

所以給出以下推論：

推論1若H幾乎處處恒等于零，則內(nèi)變分不減少能量，即E[h]≤E[H].

對定理1進行推廣，已知z(ξ):Ω→Ω也是復平面上的微分同胚，所以選擇任意一個復值函數(shù)

對足夠小的ε∈，映射z=z(ξ)=ξ+εη(ξ)都是Ω中變量ε的微分變換.ε的選取與η有關(guān)，但是為了方便計算，我們不考慮這一點.現(xiàn)在的目標是將(2)式展開為關(guān)于ε的冪次項，因此考慮h的內(nèi)變分：H(z)=h[ξ(z)]，z=z(ξ)=ξ+εη(ξ)，其中ξ∈Ω，ε足夠小.

推論2H的加權(quán)Dirichlet能量的ε冪次型展開，在ε≈0時等式也有效：

(6)

當取消Re時等式也成立，因為h是復數(shù)函數(shù).

注同樣地，當度量ρ{h[z(ξ)]}=1時，(6)式就是文獻 [10]中的(1.15)式.

(7)

帶入(7)式得：

推論2證明完畢.

3 多連通區(qū)域上Hopf乘積等于零的例子

{0}=1∪2∪…∪n∪…，

其中

n={z∈:rn+1≤|z|

且rn=n-2,n=1,2…，

En[h]==

E

所以在多連通區(qū)域上也可以找Hopf乘積為零的例子，并且保證了它的Dirichlet能量是有限的.