張 昆, 李嘉揚(yáng)
(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 淮北 235000)
義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的預(yù)審稿(以下簡(jiǎn)稱“預(yù)審稿”)所設(shè)定的課程目標(biāo),是依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的6項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素的課程目標(biāo),再依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的課程目標(biāo)的10個(gè)“核心詞”的課程目標(biāo),將兩者合理整合后,從中抽繹出15項(xiàng)核心素養(yǎng)要素,作為“預(yù)審稿”的項(xiàng)目性目標(biāo).其中“幾何直觀”被列為這15項(xiàng)核心素養(yǎng)要素中的第7項(xiàng)[1].為了探究如何幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)幾何直觀核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo),這里,先從幾何直觀的內(nèi)涵與作用展開討論.
幾何直觀是從造形[2]的角度,探討(特別是比較抽象的)數(shù)學(xué)問題,從而幫助學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí).它是利用“可視性”的幾何要素探究面臨的外顯信息,進(jìn)而使外顯信息生成結(jié)構(gòu)性意義的一種思維途徑或工具.通過幾何直觀,可以實(shí)現(xiàn)將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為“可視性”內(nèi)容,而這就必須要經(jīng)由“可視化”的過程.由于每一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總能夠使用不同的造形加以體現(xiàn),因此“可視化”的結(jié)果形式各有千秋、自具特色,其中某些形式有利于學(xué)生發(fā)生抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí),另一些“可視化”形式可能相反,不利于學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí).
幾何直觀的內(nèi)涵在于,通過造形,即構(gòu)造實(shí)物、符號(hào)或圖形等,構(gòu)成了外在“可視性”要素.它作為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)信息的信號(hào)與象征,能夠替代抽象的數(shù)學(xué)知識(shí).從長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到,可以采取兩種不同層次的心理方式處理外在信息:其一,直觀感知,觀察并認(rèn)識(shí)信息的外在現(xiàn)象及其組合所形成的表象意義;其二,直觀洞察,觀察并認(rèn)識(shí)信息的深層次結(jié)構(gòu)與內(nèi)在本質(zhì)上的意義.由此可見,幾何直觀是學(xué)習(xí)主體化解具有抽象特點(diǎn)的疑難數(shù)學(xué)內(nèi)容的有效手段之一,因此,幾何直觀也就構(gòu)成了學(xué)生理解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)或解決抽象數(shù)學(xué)問題的重要途徑之一.
一般地,在教育中可以把學(xué)生獲得的知識(shí)比作“魚”,而獲取知識(shí)的方法和手段稱為“漁”.從人的終身學(xué)習(xí)能力和持續(xù)發(fā)展?jié)摿ι现v,方法之“漁”比知識(shí)之“魚”更重要、更有用[3].在這里,“造形”和“可視性”幾何要素就是學(xué)生獲得抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)幾何直觀核心素養(yǎng)的“漁”.幾何直觀所涵蘊(yùn)的一項(xiàng)重要作用,就在于利用“可視性”的幾何要素(包括實(shí)物、符號(hào)、圖形等),構(gòu)成抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的信號(hào)或象征性的替代物.通過描述與分析直觀替代物的信息內(nèi)容,借助幾何直觀能夠?qū)?fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)明的、具體(可視、直觀、趨于信息的整體)的形式,從而幫助學(xué)習(xí)主體探索外在信息元素、聯(lián)系其涵蘊(yùn)的規(guī)律性與結(jié)構(gòu)性、發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)等,使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、理解解決數(shù)學(xué)問題思路的由來[4].很顯然,有效運(yùn)用幾何直觀這一工具的先決條件,就是構(gòu)建或選擇合適的實(shí)物、符號(hào)或幾何圖形等.因此,其疑難之處就是取得一個(gè)適合學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)的替代物,即關(guān)于具體的具有抽象性數(shù)學(xué)知識(shí)的造形問題.
當(dāng)主體面臨具有抽象特點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí),通過造形,可以幫助學(xué)生運(yùn)用直觀感知或直觀洞察找出信息中要素之間的聯(lián)結(jié),挖掘出信息要素組成的具體結(jié)構(gòu),從而發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)或解決具體的數(shù)學(xué)問題.這就是說,幾何直觀可以將外在信息使用(抽象的)理性認(rèn)識(shí)的途徑轉(zhuǎn)化為(直觀的)感性認(rèn)識(shí)的途徑.因此,幾何直觀極大地降低了抽象的層次,使本來需要進(jìn)入“形式運(yùn)算”年齡段心理水平才能展開探究的信息特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為在“具體運(yùn)算”年齡段心理水平就可以進(jìn)行探索的信息特點(diǎn),如此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)與探究數(shù)學(xué)問題思路的思維強(qiáng)度.
從分析幾何直觀的內(nèi)涵、作用及其造形活動(dòng)中的疑難所得到的上述結(jié)論中,可以認(rèn)識(shí)到,在實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中,數(shù)學(xué)教師需要特別注意的是,這種有效利用直觀感知與直觀洞察的途徑,都是在“可視性”幾何形象化要素的幫助、協(xié)調(diào)下,才有利于學(xué)習(xí)主體發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí),以及對(duì)解決數(shù)學(xué)問題思路的直接把握,進(jìn)而為進(jìn)行抽象層面上的邏輯論證提供了方向性的指引.這里,以建立“異分母分?jǐn)?shù)”加法法則為例,說明在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中如何完善造形的活動(dòng)過程,從而發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)價(jià)值.
根據(jù)這道題的計(jì)算過程,并依據(jù)計(jì)算結(jié)果,總結(jié)建立“異分母分?jǐn)?shù)”加法法則的途徑,下面實(shí)錄某位數(shù)學(xué)教師施教活動(dòng)中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié):
圖的幾何圖形表示
圖的幾何圖形表示
在另一位數(shù)學(xué)教師的課上,利用教科書所提供的教學(xué)素材,學(xué)生將上述生1所使用的兩個(gè)形狀與面積相同的長(zhǎng)方形,相應(yīng)地?fù)Q成了兩個(gè)圓,其他的施教與學(xué)生學(xué)習(xí)的途徑與上述的教學(xué)途徑的本質(zhì)上是相同的.(記兩種本質(zhì)上相同的教學(xué)方法為“方法一”)
下面是第三位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施關(guān)鍵環(huán)節(jié):
師:如何求出計(jì)算式①的值?
圖圖形組合表示
師:好主意.那么,在圖4中,如何確定點(diǎn)G所表示的具體數(shù)值呢?
圖圖形組合表示
圖為單位的圖形表示
又一位數(shù)學(xué)教師采用了似乎是某種游戲的方式,帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究.現(xiàn)將這種探究解決問題方法的梗概記錄如下:
師:如何求出計(jì)算式①的值?
圖圖形表示
圖圖形組合表示
這三種求具體的“異分母分?jǐn)?shù)”的加法運(yùn)算的方法,具有次第完善過程的特點(diǎn).在“方法一”的教學(xué)活動(dòng)中,通過數(shù)學(xué)教師的灌輸環(huán)節(jié),才能打通計(jì)算過程;在“方法二”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)中,涵蘊(yùn)著促進(jìn)學(xué)生通過觀察產(chǎn)生思維進(jìn)展的可能性環(huán)節(jié),那就是作為線段AB的“三等分”點(diǎn)與“二等分”點(diǎn),都是線段AB的“六等分”點(diǎn),從而通過“三等分”點(diǎn)與“二等分”點(diǎn)的“自展性”[7],學(xué)習(xí)主體可以創(chuàng)造性地協(xié)調(diào)成“六等分”點(diǎn).同時(shí)它也相應(yīng)地內(nèi)化為解題主體探究解題思路心理上的“自展性”,從中形成了學(xué)生發(fā)現(xiàn)“六等分”點(diǎn)的心理內(nèi)驅(qū)力;“方法三”通過附加兩項(xiàng)條件要求,即上一行與下一行的正方形一樣多;上下兩行的陰影正方形與整個(gè)正方形的比為所要計(jì)算的兩個(gè)分?jǐn)?shù),從而獲得兩個(gè)“異分母分?jǐn)?shù)”的公分母.據(jù)此,找到解決問題的方法.
由此可知,“方法二”與“方法三”都是解決問題的完善方法,它們也構(gòu)成了教學(xué)設(shè)計(jì)的完善途徑.數(shù)學(xué)教師一定要設(shè)法理解:作為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí),它可以來源于無數(shù)的現(xiàn)象性素材(幾何直觀“可視化”后的具體內(nèi)容),這就為數(shù)學(xué)教師關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施選擇提供了多層面、多視角的素材.這些素材對(duì)于適應(yīng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn),存在著不太適應(yīng)(如“方法一”)、比較適應(yīng)與非常適應(yīng)(“方法二”或“方法三”)的層次性,這為完善具體知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了可能的依據(jù).這里建立“異分母分?jǐn)?shù)”加法法則的例子就是很好的說明.
為了更深入地理解幾何直觀的內(nèi)涵及其教學(xué)價(jià)值,回答“為什么幾何直觀有資格作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的15項(xiàng)目標(biāo)要素之一”這樣的問題,這里有必要解釋前述所提出的“反省抽象”這個(gè)概念.“反省抽象”指的是學(xué)習(xí)主體在探究外在信息時(shí),對(duì)主體自己操作信息的活動(dòng)環(huán)節(jié)或過程中的“活動(dòng)”進(jìn)行抽象,“活動(dòng)”指的是幼兒期的肢體直接操作.隨著年齡的增長(zhǎng),這種肢體操作活動(dòng)內(nèi)化為思維中的“運(yùn)算”,因此“反省抽象”的對(duì)象就是主體操作的肢體活動(dòng)或運(yùn)演的心理活動(dòng),抽象的結(jié)果主要是獲得的數(shù)理邏輯知識(shí).有了這樣的認(rèn)識(shí)后,可以發(fā)現(xiàn)“反省抽象”具有如下兩方面的內(nèi)涵:
一方面,皮亞杰指出,“在歷史上,產(chǎn)生了經(jīng)驗(yàn)主義與理智主義的兩種解釋發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí)的方式,經(jīng)驗(yàn)主義者認(rèn)為知識(shí)乃是現(xiàn)實(shí)的一種復(fù)寫(即來源于主體對(duì)于客體自身內(nèi)容的認(rèn)識(shí),這與“反省抽象”發(fā)生認(rèn)識(shí)成為對(duì)立面,例如,物理知識(shí)、化學(xué)知識(shí)就是客體性的知識(shí)等——引者注),而理智主義者則認(rèn)為知識(shí)是由知覺(即來源于大腦由于聯(lián)想對(duì)于外在信息的組織,在知覺、思維層面上形成的結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成了知識(shí)等——引者注)直接派生出來的.然而,這兩者發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí)的心理途徑都具有片面性,知識(shí)(特別是數(shù)理邏輯知識(shí)——譯者注)主要是對(duì)一種動(dòng)作和運(yùn)算的同化作用”[8].
另一方面,皮亞杰將從幼兒到青年期的心理成長(zhǎng)劃分成了“四階段六水平”.“四階段”是感知運(yùn)算階段、前運(yùn)演階段(分為二水平)、具體運(yùn)演階段(分為二水平)、形式運(yùn)演階段[9].其中,從七八歲到十一二歲時(shí),學(xué)生的心理處于具體運(yùn)演階段的活動(dòng)水平,所謂具體運(yùn)演就是心理運(yùn)演離不開操作具體實(shí)物或代替實(shí)物的信號(hào)物活動(dòng),通過對(duì)自己的操作活動(dòng)進(jìn)行抽象,才能產(chǎn)生數(shù)理邏輯知識(shí).因此,處于小學(xué)年齡段的學(xué)生發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí),就不可能離開幾何直觀,因?yàn)?,其肢體的操作活動(dòng)需要所操作的對(duì)象性信息.只有主體心理達(dá)到形式運(yùn)演階段水平(一般是十四五歲的前青年期),主體采用思維活動(dòng)操作存于意識(shí)結(jié)構(gòu)中的概念,形成判斷與推理,解決問題或發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí),就可以脫離操作的客觀對(duì)象性信息了.
由此分析結(jié)論,能夠清晰地認(rèn)識(shí)到,當(dāng)學(xué)生的心理處于具體運(yùn)演階段水平時(shí),幾何直觀具有非常重要的作用.學(xué)生只有通過自己的實(shí)際動(dòng)作操作具體的客觀信息要素(包括實(shí)物、替代實(shí)物的符號(hào)、幾何圖形等),從實(shí)際的動(dòng)作中形成操作的經(jīng)驗(yàn),再?gòu)纳傻慕?jīng)驗(yàn)中進(jìn)行“反省抽象”,得到正確的抽象結(jié)果,才能形成數(shù)理邏輯性的知識(shí).作為幾何直觀中所要求的無論是實(shí)物、符號(hào),還是幾何圖形,都是幫助學(xué)生找到具體的操作對(duì)象,而具體的操作活動(dòng),又正好構(gòu)成了“反省抽象”的前提與基礎(chǔ).
這些認(rèn)識(shí)構(gòu)成了幾何直觀作為數(shù)學(xué)新課程15項(xiàng)核心素養(yǎng)目標(biāo)之一的理由,從這種意義上說,幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中15項(xiàng)要素中的一項(xiàng),也確實(shí)是實(shí)至名歸的,與其他的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素相比,毫不遜色.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體的身體和心理協(xié)同作用于數(shù)學(xué)活動(dòng)而形成具有“數(shù)學(xué)頭腦”的自組織的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成既需要“身”“心”的協(xié)同參與,又需要心智和心力的協(xié)同工作[10].這就要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中,依據(jù)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn),進(jìn)行多項(xiàng)試探,力圖找到突出體現(xiàn)具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的合適幾何直觀的具體內(nèi)容(實(shí)物、符號(hào)或幾何圖形),如此,才有可能適應(yīng)學(xué)生的心理水平,最大限度地提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)水平,從而提高具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.
“預(yù)審稿”將幾何直觀作為課程目標(biāo)中的15項(xiàng)核心素養(yǎng)之一,數(shù)學(xué)教師理所當(dāng)然地要自覺將義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)轉(zhuǎn)化為自己教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中的教學(xué)目標(biāo)[11].當(dāng)學(xué)生的心理處于“具體運(yùn)算階段”時(shí)期,幾何直觀為幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)或解決問題的方法,都有很好的價(jià)值.據(jù)此,可以指導(dǎo)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中,要有數(shù)學(xué)課程知識(shí)“一盤棋”的理念,在利用幾何直觀發(fā)生知識(shí)認(rèn)識(shí)與探究解決問題方法的同時(shí),要為今后從本質(zhì)上,即邏輯論證上帶來方便[12].對(duì)此,數(shù)學(xué)教師要思之再思,慎之又慎.