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        基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則

        2022-09-05 01:44:34蔣永鴻
        教育觀察 2022年23期
        關(guān)鍵詞:公式素養(yǎng)情境

        蔣永鴻,張 靜

        (西北師范大學(xué)附屬中學(xué),甘肅蘭州,730070)

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。[1]具體而言,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括以下四個(gè)層次的內(nèi)容。第一層次,掌握“四基”,即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),以及學(xué)會(huì)“四能”,即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題;第二層次,培育“六核”,即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析,以及提升“三會(huì)”,即用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界;第三層次,鑄造數(shù)學(xué)精神(情感、態(tài)度與價(jià)值觀)。[2]本文主要探討基于學(xué)科核心素養(yǎng)開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的原則和策略。

        一、教學(xué)原則

        (一)情意原則

        課堂教學(xué)既是知識(shí)的傳授過程,又是師生情感的交流過程?;趯W(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué),就必須把師生情感和數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性有機(jī)結(jié)合在一起,教師的創(chuàng)造性勞動(dòng)就在于把數(shù)學(xué)原理變換為活生生的情感,把數(shù)學(xué)知識(shí)變成充滿吸引力的精神食糧,把數(shù)學(xué)教學(xué)變成不斷探索真理有情趣的意向活動(dòng),給學(xué)生以樂此不疲的力量,讓學(xué)生在迫切的要求下愉快學(xué)習(xí),把興趣變成樂趣,并上升為經(jīng)久不衰的志趣。

        在教學(xué)“空間直線與平面垂直關(guān)系”時(shí),教師可以創(chuàng)設(shè)以下情境。首先映入學(xué)生眼簾的是一幅畫,湖水碧波蕩漾,湖邊垂柳依依。接著展現(xiàn)一首唐詩:碧玉妝成一樹高,萬條垂下綠絲絳。不知細(xì)葉誰裁出,二月春風(fēng)似剪刀。這樣的情境可以把學(xué)生帶入春意盎然的生命時(shí)空。教師可以重點(diǎn)突出“垂下”二字,讓學(xué)生感受生活中線面垂直的現(xiàn)象,繼而以輕松愉快的心情進(jìn)入線面垂直的探索活動(dòng)。

        又如,在教授“反證法”時(shí),教師可以一幅古人彈琴的畫面、一段悅耳動(dòng)聽的琴聲和一首發(fā)人深思的詩詞(若言琴上有琴聲,放在匣中何不鳴?若言聲在指頭上,何不于君指上聽?)引入教學(xué),并讓學(xué)生思考這首詩用了什么樣的推理方法,從而把學(xué)生引入對反證法的探究活動(dòng)中。

        因此,教師用巧思點(diǎn)燃學(xué)生的熱情,用知識(shí)的意趣增添學(xué)生的興趣是情趣原則的根本。

        (二)序進(jìn)原則

        學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)從簡單到復(fù)雜、從單一到綜合、從片面到全面的循序漸進(jìn)的發(fā)展過程。[3]因此,教師要把教材提供的內(nèi)容按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行組織加工,既要重視歸納、分析、類比、概括、演繹等抽象思維活動(dòng),也要重視表象、直覺、想象等形象思維活動(dòng),要為學(xué)生構(gòu)建一條從具體到抽象、由此及彼、由表及里、由個(gè)別到一般、由片面到全面的思維通道。深?yuàn)W問題淺顯化,隱蔽問題明朗化,繁雜問題條理化,疑難問題簡單化,教師需要設(shè)計(jì)和組織好一個(gè)有層次的認(rèn)知序列,讓數(shù)學(xué)的發(fā)生序、教材的編寫序、學(xué)生的思維序、教學(xué)的活動(dòng)序有效融合,讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰、從具體到抽象、從直覺到邏輯的過程。例如,在教學(xué)“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”時(shí),教師可以為學(xué)生設(shè)計(jì)以下認(rèn)知通道。

        1.以故事生趣,激發(fā)求知欲望

        首先,為學(xué)生講述和國際象棋有關(guān)的“棋盤麥粒”傳說:

        一位國王非常喜歡玩國際象棋,他決定獎(jiǎng)勵(lì)國際象棋的發(fā)明者,并讓發(fā)明者自己提出要求。發(fā)明者提出:在國際象棋的棋盤上放麥粒,第1格放1粒,第2格放2粒,第3格放4粒,第4格放8粒,依次放下去,最后一格放263粒。國王原本以為這個(gè)獎(jiǎng)賞很少,最后發(fā)現(xiàn)所需麥粒鋪在地面上可以把地球表面鋪上三厘米厚的一層。

        這一故事情境可以像磁石一樣吸引學(xué)生,使他們迫不及待地想知道怎樣算出需要這么多麥粒。這時(shí),教師可以水到渠成地引入多比數(shù)列的求和問題。

        2.從定義聯(lián)想,發(fā)現(xiàn)證明方法

        由于學(xué)生帶著強(qiáng)烈的探索欲望,教師可以通過精心設(shè)計(jì)問題串,啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)比教材更容易想到的推導(dǎo)方法。

        師:等比數(shù)列的定義是什么?用等式表示。

        師:由等式①與和等比定理可以聯(lián)想到什么?

        師:在等式②中能否用Sn簡化分子、分母,分母并且用a1,q表示出Sn?

        對定義的復(fù)習(xí)可以溫故知新、奠定基礎(chǔ),學(xué)生由連等式與和式聯(lián)想到等比定理,可以有效實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的同化。

        3.因結(jié)論設(shè)問,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維

        在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中,學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤是忽視q=l的情形而且屢糾屢錯(cuò)。為糾正這一易錯(cuò)點(diǎn),教師可以設(shè)計(jì)詫異情境,“欲擒故縱”。

        師:前面推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程是否嚴(yán)謹(jǐn)?

        生:推導(dǎo)完全正確。

        師:求等比數(shù)列:2,2,2,…,2的前n項(xiàng)和。

        這一情境不僅可以使學(xué)生完成公式推導(dǎo),而且能有效訓(xùn)練思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

        4.帶疑念閱讀,剖析方法規(guī)律

        學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式推導(dǎo)方法與教材上的不一樣。教材上的推導(dǎo)方法是“錯(cuò)位相減法”,這是一種十分重要的數(shù)列求和方法,不僅可以推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式,而且可以解決一類特殊數(shù)列的求和問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這種方法的步驟。

        設(shè)和:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①

        錯(cuò)位:兩邊同乘以q:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②

        為使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握這種方法,教師可以設(shè)置練習(xí):求數(shù)列a,2a2,3a3,…,nan的前n項(xiàng)和。

        這一教學(xué)過程的設(shè)計(jì)步步深入、環(huán)環(huán)相扣,學(xué)生不僅可以很好地掌握公式,而且可以很好地掌握推導(dǎo)公式的數(shù)學(xué)思想與方法。

        (三)活動(dòng)原則

        課堂教學(xué)是師生有計(jì)劃、有目的、有步驟地去完成既定目標(biāo)的認(rèn)知活動(dòng),也是師生的思想碰撞和情感交流活動(dòng)。數(shù)學(xué)是對事物的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究,課堂教學(xué)必須凸顯學(xué)習(xí)的活動(dòng)性特征,讓學(xué)生在操作活動(dòng)中掌握知識(shí)、形成能力、交流情感。例如,在教學(xué)等差數(shù)列這一概念時(shí),教師可以設(shè)置以下循序漸進(jìn)的活動(dòng)過程。

        1.從特殊到一般,定義讓學(xué)生下

        為了使學(xué)生在頭腦中建立起對有關(guān)事物的特征與聯(lián)系的感覺、知覺,從而獲得對數(shù)列的一些具體或感性的認(rèn)識(shí),可設(shè)計(jì)“l(fā),2,3,4…”“1,3,5,7…”“2,5,8,11,14…”“l(fā),2,4,6,8…”四個(gè)數(shù)列,引導(dǎo)學(xué)生分析、比較相鄰項(xiàng)的關(guān)系,讓他們自己發(fā)現(xiàn)前三個(gè)數(shù)列的共同特征,從而得出等差數(shù)列的定義。這樣可以加深學(xué)生對這一概念的本質(zhì)特性的理解,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納猜想的能力。

        2.從具體到抽象,通項(xiàng)讓學(xué)生寫

        為了使學(xué)生的認(rèn)識(shí)由具體形象思維上升到抽象邏輯思維,教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來定義,即an-an-1=d(n≥2,n∈N+)。同時(shí),又要讓學(xué)生根據(jù)定義抽象出用首項(xiàng)與公差d表示的an關(guān)系式,即通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d,訓(xùn)練學(xué)生抽象概括的能力。

        3.從感性到理性,性質(zhì)讓學(xué)生找

        對定義教學(xué),如果不能從定義的詞句中讓學(xué)生看到其蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性,那么學(xué)生的理解始終會(huì)停留在表象階段,更談不上從理論到實(shí)踐的應(yīng)用。因此,教師可以在等差數(shù)列的定義教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)下列性質(zhì):若n1,n2,n3,…,nn成等差數(shù)列,則an1,an2,an3……也成等差數(shù)列;若m+n=p+q,則am+an=ap+aq。這一做法可以讓學(xué)生對定義的內(nèi)涵有更深刻的理解。

        4.從理論到實(shí)踐,練習(xí)讓學(xué)生做

        學(xué)生的學(xué)習(xí)始終遵循著由理論到實(shí)踐的規(guī)律,學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。學(xué)生對上述定義、通項(xiàng)、性質(zhì)的認(rèn)識(shí)程度,只有通過練習(xí)才能鑒別、鞏固和深化。因此,筆者在課后為學(xué)生精心配置了練習(xí)題。

        (四)反饋原則

        課堂教學(xué)是由教師、學(xué)生、教材、教法等多種因素組成的一個(gè)動(dòng)態(tài)生成系統(tǒng),要想使系統(tǒng)有活力,就必須有信息的及時(shí)交換與暢通,有對系統(tǒng)活動(dòng)的有效調(diào)節(jié)與控制。一方面,教師的教是以學(xué)生現(xiàn)有水平和潛在水平為基礎(chǔ)的,這種信息的接收要靠良好的反饋渠道。如果課堂教學(xué)缺少信息交流渠道,或不重視信息交流渠道的設(shè)計(jì),那么教師的教就可能因缺乏信息的支持而失去“準(zhǔn)頭”。另一方面,學(xué)生的學(xué)主要是在課堂上接收來自教師和教材的知識(shí)信息,不同的學(xué)生對同一知識(shí)的掌握所需要時(shí)間不同,理解的深淺程度不同,反應(yīng)的快慢也有差異。[4]因此,課堂教學(xué)應(yīng)遵循反饋原則,精心設(shè)計(jì)反饋渠道,促使教與學(xué)的信息收發(fā)同步、接收同頻,進(jìn)而達(dá)成共識(shí)、共享、共進(jìn)的目的。

        在課堂教學(xué)中落實(shí)反饋原則有以下四步法:一是讓學(xué)生展開討論,說出困惑,教師做針對性答疑;二是上課觀察學(xué)生,及時(shí)提問,有效調(diào)控課堂教學(xué)的速度、難度和進(jìn)度;三是讓學(xué)生進(jìn)行板演,暴露存在的問題,對癥下藥;四是課前做診斷性測試題。

        二、教學(xué)策略

        (一)找準(zhǔn)切入點(diǎn)

        教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特質(zhì)選擇切入點(diǎn),創(chuàng)設(shè)能觸景生情的問題情境、生活情境、科學(xué)情境,引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察,用數(shù)學(xué)的思維思考,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。例如,在教學(xué)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”時(shí),教師可以采取以下策略。

        一是用高斯的故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過介紹數(shù)學(xué)家高斯計(jì)算1+2+3+…+100的故事,引入等差數(shù)列的求和問題,從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)意愿。

        二是用楊輝的方法推陳出新。我國數(shù)學(xué)家楊輝曾提出以下問題:“今有草一垛,頂上一束,底闊八束,問共幾束?答:36束。”他的計(jì)算方法可以用圖表示:設(shè)想有另一堆同樣的草,將其倒置,并和原來的草堆拼到一起,就得到8×9的草堆,一共72束,因此,原來的草堆共有36束。教師可以利用“本末倒置”圖形引導(dǎo)學(xué)生探索公式的推導(dǎo)方法——“倒寫相加法”,從而架起數(shù)學(xué)家的思想與學(xué)生的思維之間的認(rèn)知橋梁。

        三是用圖形的直觀強(qiáng)化記憶。教師可以借助圖形的特點(diǎn)創(chuàng)設(shè)聯(lián)想情境,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到梯形的面積公式和求和公式的相似性。

        等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法體現(xiàn)了整體代換、對稱、方程等重要的數(shù)學(xué)思想,準(zhǔn)確的切入點(diǎn)可以使學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)變得生動(dòng)而富有情趣。

        (二)尋求發(fā)散點(diǎn)

        落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),需要找根源,講述數(shù)學(xué)的文化背景;找方法,凸顯數(shù)學(xué)的思想方法;找變化,展示數(shù)學(xué)的多姿多彩。例如,在教學(xué)求過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程時(shí),教師可以采取以下策略。

        一是推陳出新,從一題多解的視角尋找發(fā)散點(diǎn)。二是同性同法,讓學(xué)生在了解切線性質(zhì)法、幾何法d=r、判別式法的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)向量法和勾股定理法。三是借題發(fā)揮,從一題多變的視角尋求點(diǎn):若點(diǎn)在圓外,過點(diǎn)作圓的兩條切線,求過兩切點(diǎn)的直線方程;如果點(diǎn)在圓內(nèi),過該點(diǎn)作圓的弦,過弦的兩端點(diǎn)做圓的切線,相交于一點(diǎn),求這點(diǎn)的軌跡方程。四是小題大做,從引申推廣的視角尋求發(fā)散點(diǎn):如果點(diǎn)在橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外,將會(huì)得到什么結(jié)果?如果點(diǎn)在雙曲線、拋物線上,結(jié)果又將是什么?

        (三)點(diǎn)擊興奮點(diǎn)

        要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教師需要給學(xué)生問的機(jī)會(huì),給學(xué)生思的方法,給學(xué)生悟的空間,給學(xué)生做的時(shí)間。例如,在“正切和角公式”的教學(xué)中,教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生完成公式的推導(dǎo),然后突出公式的應(yīng)用方法,凸顯轉(zhuǎn)化的思想方法,最后讓學(xué)生正用、逆用、變形用、聯(lián)合用公式,具體做法如下。

        1.順?biāo)浦?,正用公?/p>

        (1)設(shè)tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的根,則tan(α+β)=______。

        2.逆水行舟,逆用公式

        3.揚(yáng)帆催舟,變用公式

        tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

        tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)

        (1)已知A+B=45°,則(1+tanA)(1+tanB)的值為________。

        (2)化簡:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=________。

        4.碧波蕩舟,活用公式

        (1)已知△ABC不是直角三角形,求證:tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

        (3)A+B+C=nπ,n∈Z,求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

        (四)提煉整合點(diǎn)

        讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的抽象概括是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之一,也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納和整理,提煉成知識(shí)系統(tǒng),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)教學(xué)的整合點(diǎn)主要包括知識(shí)的盲點(diǎn)、方法的節(jié)點(diǎn)、思想的高點(diǎn)、思維的難點(diǎn)和素養(yǎng)的落點(diǎn)。以“導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用”為例,其知識(shí)的盲點(diǎn)是“知道求導(dǎo)數(shù),不知道設(shè)切點(diǎn)”,其方法的節(jié)點(diǎn)是“設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),列方程組”,其思想的高點(diǎn)是“數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化”,其思維的難點(diǎn)是“列方程組的條件①y0=f(x0),②k=f'(x0)③y-y0=f'(x0)(x-x0)”,其素養(yǎng)的落點(diǎn)是“數(shù)學(xué)推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算”。

        因此,教學(xué)函數(shù)時(shí),教師可以給學(xué)生總結(jié)以下規(guī)律:先求函數(shù)定義域,再定函數(shù)偶與奇,三判增減有成竹,四畫圖像難變易。這一規(guī)律可以讓學(xué)生做題時(shí)從思路找出路,抓細(xì)節(jié)定成敗。

        數(shù)學(xué)是思維的體操,更是思維的藝術(shù)。教師需要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為基點(diǎn),精煉、拓展、延伸,把情意原則、序進(jìn)原則、活動(dòng)原則和反饋原則貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)之中,運(yùn)用好找準(zhǔn)切入點(diǎn)、尋求發(fā)散點(diǎn)、點(diǎn)擊興奮點(diǎn)和提煉整合點(diǎn)等教學(xué)策略,讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)之問、探究數(shù)學(xué)之謎、體驗(yàn)數(shù)學(xué)之妙、經(jīng)歷數(shù)學(xué)之旅、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)之功、欣賞數(shù)學(xué)之美、建構(gòu)數(shù)學(xué)之思,形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求的數(shù)學(xué)精神。

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