蔣永鴻,張 靜
(西北師范大學附屬中學,甘肅蘭州,730070)
《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創(chuàng)新意識,提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。[1]具體而言,數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括以下四個層次的內容。第一層次,掌握“四基”,即基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗,以及學會“四能”,即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題;第二層次,培育“六核”,即數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據分析,以及提升“三會”,即用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界、用數(shù)學的語言表達世界;第三層次,鑄造數(shù)學精神(情感、態(tài)度與價值觀)。[2]本文主要探討基于學科核心素養(yǎng)開展高中數(shù)學教學的原則和策略。
課堂教學既是知識的傳授過程,又是師生情感的交流過程?;趯W科核心素養(yǎng)的課堂教學,就必須把師生情感和數(shù)學知識的趣味性有機結合在一起,教師的創(chuàng)造性勞動就在于把數(shù)學原理變換為活生生的情感,把數(shù)學知識變成充滿吸引力的精神食糧,把數(shù)學教學變成不斷探索真理有情趣的意向活動,給學生以樂此不疲的力量,讓學生在迫切的要求下愉快學習,把興趣變成樂趣,并上升為經久不衰的志趣。
在教學“空間直線與平面垂直關系”時,教師可以創(chuàng)設以下情境。首先映入學生眼簾的是一幅畫,湖水碧波蕩漾,湖邊垂柳依依。接著展現(xiàn)一首唐詩:碧玉妝成一樹高,萬條垂下綠絲絳。不知細葉誰裁出,二月春風似剪刀。這樣的情境可以把學生帶入春意盎然的生命時空。教師可以重點突出“垂下”二字,讓學生感受生活中線面垂直的現(xiàn)象,繼而以輕松愉快的心情進入線面垂直的探索活動。
又如,在教授“反證法”時,教師可以一幅古人彈琴的畫面、一段悅耳動聽的琴聲和一首發(fā)人深思的詩詞(若言琴上有琴聲,放在匣中何不鳴?若言聲在指頭上,何不于君指上聽?)引入教學,并讓學生思考這首詩用了什么樣的推理方法,從而把學生引入對反證法的探究活動中。
因此,教師用巧思點燃學生的熱情,用知識的意趣增添學生的興趣是情趣原則的根本。
學生的認知是一個從簡單到復雜、從單一到綜合、從片面到全面的循序漸進的發(fā)展過程。[3]因此,教師要把教材提供的內容按學生的認知規(guī)律進行組織加工,既要重視歸納、分析、類比、概括、演繹等抽象思維活動,也要重視表象、直覺、想象等形象思維活動,要為學生構建一條從具體到抽象、由此及彼、由表及里、由個別到一般、由片面到全面的思維通道。深奧問題淺顯化,隱蔽問題明朗化,繁雜問題條理化,疑難問題簡單化,教師需要設計和組織好一個有層次的認知序列,讓數(shù)學的發(fā)生序、教材的編寫序、學生的思維序、教學的活動序有效融合,讓學生的思維能夠經歷一個從模糊到清晰、從具體到抽象、從直覺到邏輯的過程。例如,在教學“等比數(shù)列前n項和公式”時,教師可以為學生設計以下認知通道。
1.以故事生趣,激發(fā)求知欲望
首先,為學生講述和國際象棋有關的“棋盤麥粒”傳說:
一位國王非常喜歡玩國際象棋,他決定獎勵國際象棋的發(fā)明者,并讓發(fā)明者自己提出要求。發(fā)明者提出:在國際象棋的棋盤上放麥粒,第1格放1粒,第2格放2粒,第3格放4粒,第4格放8粒,依次放下去,最后一格放263粒。國王原本以為這個獎賞很少,最后發(fā)現(xiàn)所需麥粒鋪在地面上可以把地球表面鋪上三厘米厚的一層。
這一故事情境可以像磁石一樣吸引學生,使他們迫不及待地想知道怎樣算出需要這么多麥粒。這時,教師可以水到渠成地引入多比數(shù)列的求和問題。
2.從定義聯(lián)想,發(fā)現(xiàn)證明方法
由于學生帶著強烈的探索欲望,教師可以通過精心設計問題串,啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)比教材更容易想到的推導方法。
師:等比數(shù)列的定義是什么?用等式表示。
師:由等式①與和等比定理可以聯(lián)想到什么?
師:在等式②中能否用Sn簡化分子、分母,分母并且用a1,q表示出Sn?
對定義的復習可以溫故知新、奠定基礎,學生由連等式與和式聯(lián)想到等比定理,可以有效實現(xiàn)新舊知識的同化。
3.因結論設問,培養(yǎng)嚴謹思維
在等比數(shù)列前n項和公式的應用中,學生容易犯的錯誤是忽視q=l的情形而且屢糾屢錯。為糾正這一易錯點,教師可以設計詫異情境,“欲擒故縱”。
師:前面推導等比數(shù)列前n項和公式的過程是否嚴謹?
生:推導完全正確。
師:求等比數(shù)列:2,2,2,…,2的前n項和。
這一情境不僅可以使學生完成公式推導,而且能有效訓練思維的嚴謹性。
4.帶疑念閱讀,剖析方法規(guī)律
學生自己發(fā)現(xiàn)的公式推導方法與教材上的不一樣。教材上的推導方法是“錯位相減法”,這是一種十分重要的數(shù)列求和方法,不僅可以推導等比數(shù)列的求和公式,而且可以解決一類特殊數(shù)列的求和問題。教師可以引導學生總結這種方法的步驟。
設和:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①
錯位:兩邊同乘以q:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②
為使學生進一步理解和掌握這種方法,教師可以設置練習:求數(shù)列a,2a2,3a3,…,nan的前n項和。
這一教學過程的設計步步深入、環(huán)環(huán)相扣,學生不僅可以很好地掌握公式,而且可以很好地掌握推導公式的數(shù)學思想與方法。
課堂教學是師生有計劃、有目的、有步驟地去完成既定目標的認知活動,也是師生的思想碰撞和情感交流活動。數(shù)學是對事物的數(shù)量關系和結構關系的研究,課堂教學必須凸顯學習的活動性特征,讓學生在操作活動中掌握知識、形成能力、交流情感。例如,在教學等差數(shù)列這一概念時,教師可以設置以下循序漸進的活動過程。
1.從特殊到一般,定義讓學生下
為了使學生在頭腦中建立起對有關事物的特征與聯(lián)系的感覺、知覺,從而獲得對數(shù)列的一些具體或感性的認識,可設計“l(fā),2,3,4…”“1,3,5,7…”“2,5,8,11,14…”“l(fā),2,4,6,8…”四個數(shù)列,引導學生分析、比較相鄰項的關系,讓他們自己發(fā)現(xiàn)前三個數(shù)列的共同特征,從而得出等差數(shù)列的定義。這樣可以加深學生對這一概念的本質特性的理解,同時培養(yǎng)學生歸納猜想的能力。
2.從具體到抽象,通項讓學生寫
為了使學生的認識由具體形象思維上升到抽象邏輯思維,教師需要引導學生用數(shù)學語言來定義,即an-an-1=d(n≥2,n∈N+)。同時,又要讓學生根據定義抽象出用首項與公差d表示的an關系式,即通項公式an=a1+(n-1)d,訓練學生抽象概括的能力。
3.從感性到理性,性質讓學生找
對定義教學,如果不能從定義的詞句中讓學生看到其蘊含的本質屬性,那么學生的理解始終會停留在表象階段,更談不上從理論到實踐的應用。因此,教師可以在等差數(shù)列的定義教學中引導學生發(fā)現(xiàn)下列性質:若n1,n2,n3,…,nn成等差數(shù)列,則an1,an2,an3……也成等差數(shù)列;若m+n=p+q,則am+an=ap+aq。這一做法可以讓學生對定義的內涵有更深刻的理解。
4.從理論到實踐,練習讓學生做
學生的學習始終遵循著由理論到實踐的規(guī)律,學習的目的在于應用。學生對上述定義、通項、性質的認識程度,只有通過練習才能鑒別、鞏固和深化。因此,筆者在課后為學生精心配置了練習題。
課堂教學是由教師、學生、教材、教法等多種因素組成的一個動態(tài)生成系統(tǒng),要想使系統(tǒng)有活力,就必須有信息的及時交換與暢通,有對系統(tǒng)活動的有效調節(jié)與控制。一方面,教師的教是以學生現(xiàn)有水平和潛在水平為基礎的,這種信息的接收要靠良好的反饋渠道。如果課堂教學缺少信息交流渠道,或不重視信息交流渠道的設計,那么教師的教就可能因缺乏信息的支持而失去“準頭”。另一方面,學生的學主要是在課堂上接收來自教師和教材的知識信息,不同的學生對同一知識的掌握所需要時間不同,理解的深淺程度不同,反應的快慢也有差異。[4]因此,課堂教學應遵循反饋原則,精心設計反饋渠道,促使教與學的信息收發(fā)同步、接收同頻,進而達成共識、共享、共進的目的。
在課堂教學中落實反饋原則有以下四步法:一是讓學生展開討論,說出困惑,教師做針對性答疑;二是上課觀察學生,及時提問,有效調控課堂教學的速度、難度和進度;三是讓學生進行板演,暴露存在的問題,對癥下藥;四是課前做診斷性測試題。
教師應根據教學內容的特質選擇切入點,創(chuàng)設能觸景生情的問題情境、生活情境、科學情境,引領學生用數(shù)學的眼光觀察,用數(shù)學的思維思考,用數(shù)學的語言表達。例如,在教學“等差數(shù)列前n項和公式”時,教師可以采取以下策略。
一是用高斯的故事激發(fā)學生的學習興趣。通過介紹數(shù)學家高斯計算1+2+3+…+100的故事,引入等差數(shù)列的求和問題,從而激發(fā)學生強烈的學習意愿。
二是用楊輝的方法推陳出新。我國數(shù)學家楊輝曾提出以下問題:“今有草一垛,頂上一束,底闊八束,問共幾束?答:36束。”他的計算方法可以用圖表示:設想有另一堆同樣的草,將其倒置,并和原來的草堆拼到一起,就得到8×9的草堆,一共72束,因此,原來的草堆共有36束。教師可以利用“本末倒置”圖形引導學生探索公式的推導方法——“倒寫相加法”,從而架起數(shù)學家的思想與學生的思維之間的認知橋梁。
三是用圖形的直觀強化記憶。教師可以借助圖形的特點創(chuàng)設聯(lián)想情境,引導學生聯(lián)想到梯形的面積公式和求和公式的相似性。
等差數(shù)列前n項和公式的推導方法體現(xiàn)了整體代換、對稱、方程等重要的數(shù)學思想,準確的切入點可以使學生的認知活動變得生動而富有情趣。
落實數(shù)學學科核心素養(yǎng),需要找根源,講述數(shù)學的文化背景;找方法,凸顯數(shù)學的思想方法;找變化,展示數(shù)學的多姿多彩。例如,在教學求過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程時,教師可以采取以下策略。
一是推陳出新,從一題多解的視角尋找發(fā)散點。二是同性同法,讓學生在了解切線性質法、幾何法d=r、判別式法的基礎上發(fā)現(xiàn)向量法和勾股定理法。三是借題發(fā)揮,從一題多變的視角尋求點:若點在圓外,過點作圓的兩條切線,求過兩切點的直線方程;如果點在圓內,過該點作圓的弦,過弦的兩端點做圓的切線,相交于一點,求這點的軌跡方程。四是小題大做,從引申推廣的視角尋求發(fā)散點:如果點在橢圓上、橢圓內、橢圓外,將會得到什么結果?如果點在雙曲線、拋物線上,結果又將是什么?
要培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),教師需要給學生問的機會,給學生思的方法,給學生悟的空間,給學生做的時間。例如,在“正切和角公式”的教學中,教師可以先帶領學生完成公式的推導,然后突出公式的應用方法,凸顯轉化的思想方法,最后讓學生正用、逆用、變形用、聯(lián)合用公式,具體做法如下。
1.順水推舟,正用公式
(1)設tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的根,則tan(α+β)=______。
2.逆水行舟,逆用公式
3.揚帆催舟,變用公式
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)
tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)
(1)已知A+B=45°,則(1+tanA)(1+tanB)的值為________。
(2)化簡:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=________。
4.碧波蕩舟,活用公式
(1)已知△ABC不是直角三角形,求證:tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
(3)A+B+C=nπ,n∈Z,求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。
讓學生學會數(shù)學的抽象概括是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內涵之一,也是學習數(shù)學的思維方式。因此,教師要引導學生學會對所學內容進行歸納和整理,提煉成知識系統(tǒng),構建知識網絡。數(shù)學教學的整合點主要包括知識的盲點、方法的節(jié)點、思想的高點、思維的難點和素養(yǎng)的落點。以“導數(shù)幾何意義的應用”為例,其知識的盲點是“知道求導數(shù),不知道設切點”,其方法的節(jié)點是“設切點坐標,列方程組”,其思想的高點是“數(shù)形結合,等價轉化”,其思維的難點是“列方程組的條件①y0=f(x0),②k=f'(x0)③y-y0=f'(x0)(x-x0)”,其素養(yǎng)的落點是“數(shù)學推理,數(shù)學運算”。
因此,教學函數(shù)時,教師可以給學生總結以下規(guī)律:先求函數(shù)定義域,再定函數(shù)偶與奇,三判增減有成竹,四畫圖像難變易。這一規(guī)律可以讓學生做題時從思路找出路,抓細節(jié)定成敗。
數(shù)學是思維的體操,更是思維的藝術。教師需要以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為基點,精煉、拓展、延伸,把情意原則、序進原則、活動原則和反饋原則貫穿于數(shù)學教學之中,運用好找準切入點、尋求發(fā)散點、點擊興奮點和提煉整合點等教學策略,讓學生提出數(shù)學之問、探究數(shù)學之謎、體驗數(shù)學之妙、經歷數(shù)學之旅、認識數(shù)學之功、欣賞數(shù)學之美、建構數(shù)學之思,形成數(shù)學學科核心素養(yǎng)要求的數(shù)學精神。