王世東，任偉新

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009；2.深圳大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣東深圳 518060）

引 言

模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性，通過(guò)識(shí)別模態(tài)參數(shù)可以對(duì)結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別基于結(jié)構(gòu)的輸入（激勵(lì)）和輸出（響應(yīng)），對(duì)于處于運(yùn)營(yíng)（工作）狀態(tài)下的橋梁、建筑、核反應(yīng)堆、大壩、海上平臺(tái)等大型土木工程結(jié)構(gòu)，要準(zhǔn)確測(cè)得結(jié)構(gòu)所受到的激勵(lì)非常困難，而且做不到實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。工作模態(tài)參數(shù)分析（Operational Modal Anal?ysis，OMA）是僅基于響應(yīng)數(shù)據(jù)，即只需測(cè)試結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息，完成模態(tài)參數(shù)識(shí)別的過(guò)程，此時(shí)一般將結(jié)構(gòu)工作期間所受的激勵(lì)（環(huán)境激勵(lì)）假定為白噪聲?；诃h(huán)境激勵(lì)的結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法快速發(fā)展，并形成了一系列較為經(jīng)典的方法，如峰值拾取法（Peak?picking，PP）、頻域分解法（Frequency Domain Decomposition，F(xiàn)DD）、多參考最小二乘復(fù)頻域法、NExT 法（Natural Excitation Technique）、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（Eigensystem Realization Algorithm，ERA）、隨機(jī)子空間識(shí)別（Stochastic Subspace Identi?fication，SSI）等。大量實(shí)踐表明：結(jié)構(gòu)正常工作期間所受激勵(lì)難以避免地包含有非白噪聲如諧波成分等，OMA 方法對(duì)激勵(lì)所做的白噪聲假定與實(shí)際激勵(lì)有差別，會(huì)影響模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果，甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤的識(shí)別結(jié)果［1?2］。

Yan 等［3］提出了功率譜密度傳遞比（Power Spectrum Density Transmissibility，PSDT）的概念。PSDT 定義為兩響應(yīng)測(cè)點(diǎn)i，j與一參考測(cè)點(diǎn)k的互功率譜密度函數(shù)Sik和Sjk的比值。從理論上證明了在系統(tǒng)的極點(diǎn)處，PSDT 收斂于兩測(cè)點(diǎn)i和j的振型系數(shù)之比φi/φj，這一特性與激勵(lì)類型和參考點(diǎn)位置的選擇無(wú)關(guān)。因此，在一種激勵(lì)工況下，對(duì)相同的測(cè)點(diǎn)選擇不同的參考點(diǎn)來(lái)計(jì)算多組PSDT，在系統(tǒng)極點(diǎn)處，各組PSDT 均相等且收斂于對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的振型系數(shù)。隨后，張昱等［4］和Li 等［5］細(xì)致地論述了以上特性。基于PSDT 的概念，Yan 等［6］進(jìn)一步提出了改進(jìn)的PSDT 方法，即PSDT?driven PP 和EPSDT 方法。Araujo 等［7?8］基于PSDT 相繼提出了PSDTM?SVD方法和改進(jìn)的PSDTM?SVD 方法。結(jié)果表明，基于PSDT 的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法具有理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用優(yōu)勢(shì)［9］。

經(jīng)典的模態(tài)參數(shù)識(shí)別指位移模態(tài)參數(shù)識(shí)別，所得到的振型為位移振型［10］。和位移相比，應(yīng)變對(duì)結(jié)構(gòu)的局部損傷（如裂縫、孔洞等）更加敏感，能更好地反映出結(jié)構(gòu)局部特性的變化，在損傷識(shí)別領(lǐng)域應(yīng)用較多［11?12］。早期的模態(tài)試驗(yàn)通過(guò)測(cè)試位移模態(tài)然后借助中心差分法間接得到應(yīng)變模態(tài)［13?14］，為了避免中心差分所產(chǎn)生的數(shù)值誤差，學(xué)者們研究直接利用應(yīng)變測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)建立應(yīng)變響應(yīng)模型。伊立言［15］將應(yīng)變計(jì)用于模態(tài)試驗(yàn)，提出了應(yīng)變模態(tài)的概念。Yam等［16］推導(dǎo)了應(yīng)變頻響函數(shù)（Strain Frequency Re?sponse Functions，SFRFs），給出了應(yīng)變模態(tài)參數(shù)（頻率、阻尼、應(yīng)變振型）識(shí)別的實(shí)驗(yàn)測(cè)試方法。隨后，許多經(jīng)典的位移模態(tài)分析方法也被引入到應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，如隨機(jī)子空間方法、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法、頻域空間域分解法等［17?20］。

為了實(shí)現(xiàn)僅基于應(yīng)變響應(yīng)測(cè)試的結(jié)構(gòu)應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別，本文定義了響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比，從理論上證明了其在系統(tǒng)的極點(diǎn)處為應(yīng)變振型系數(shù)之比。利用這一性質(zhì)，選取一系列不同的參考點(diǎn)構(gòu)造響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣，在系統(tǒng)的極點(diǎn)處對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解，分解所得左奇異矩陣的第一列向量即為應(yīng)變振型，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。該方法不需要對(duì)激勵(lì)做白噪聲假設(shè)，也不需要改變激勵(lì)類型，直接通過(guò)測(cè)試一種工況下的應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)就能識(shí)別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)。

1 應(yīng)變模態(tài)分析理論

由模態(tài)分析理論，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)u由位移振型向量φr和模態(tài)坐標(biāo)qr疊加而成。類似地，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變響應(yīng)ε也可以用應(yīng)變振型φεr和模態(tài)坐標(biāo)q′r疊加而成，如下式所示：

位移和應(yīng)變是結(jié)構(gòu)同一能量狀態(tài)的兩種表達(dá)，對(duì)于第r階模態(tài)，應(yīng)變模態(tài)坐標(biāo)q′r和位移模態(tài)坐標(biāo)qr相等。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，模態(tài)坐標(biāo)可以表示為：

式中kr，mr和cr分別代表第r階模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)阻尼；N表示模態(tài)的數(shù)目；F表示激勵(lì)力的幅值；ω表示圓頻率；j 表示虛數(shù)符號(hào)，j2=?1；t表示時(shí)間。由方程（2）和（3）得到如下式所示的應(yīng)變模態(tài)表達(dá)式：

由方程（3）和（4）得到j(luò)點(diǎn)激勵(lì)，i點(diǎn)響應(yīng)的應(yīng)變頻響函數(shù)（Strain Frequency Response Function，SFRF）表達(dá)式如下：

式（5）表示第r階應(yīng)變模態(tài)振型向量在i測(cè)點(diǎn)的系數(shù)，φjr由表示第r階位移模態(tài)振型向量在i測(cè)點(diǎn)的系數(shù)，應(yīng)變頻響函數(shù)(ω)組成應(yīng)變頻響矩陣Hε如下：

將方程（6）寫成如下式所示的極點(diǎn)留數(shù)形式：

式中s表示一個(gè)復(fù)數(shù)，表示系統(tǒng)的極點(diǎn)；表示留數(shù)矩陣；為第r階模態(tài)參與系數(shù)向量，其含義是第r階模態(tài)在振動(dòng)響應(yīng)中所占的比重；和分別為和λr的復(fù)共軛，ζr表示第r階模態(tài)阻尼比。當(dāng)不考慮阻尼的影響時(shí)有ζr=0，λr=jωr為系統(tǒng)的極點(diǎn)。此時(shí)結(jié)構(gòu)的第r階頻率如下式所示：

2 應(yīng)變功率譜密度傳遞比

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，系統(tǒng)的輸入與輸出有如下關(guān)系：

式中S(s)m×m表示響應(yīng)的功率譜密度矩陣；m為位移響應(yīng)的測(cè)試點(diǎn)數(shù)；G(s)n×n表示激勵(lì)的功率譜密度矩陣；n表示激勵(lì)的作用點(diǎn)數(shù)；H(s)為m×n階頻響函數(shù)矩陣；H*(s)T表示H(s)的共軛轉(zhuǎn)置。

由方程（9），點(diǎn)i與點(diǎn)j的互功率譜可以表示為以下方程：

式中表示H(s) 第i行；（s）j表示矩陣H*(s)T的第j列。方程（10）可以寫成如下式所示的累加求和形式：

式中Hik(s)表示i點(diǎn)響應(yīng)和k點(diǎn)（k=1，2，…，N）激勵(lì)之間的傳遞函數(shù)；Gkn(s)表示在點(diǎn)k和點(diǎn)n（n=1，2，…，N）上激勵(lì)的互功率譜密度；(s)表示j點(diǎn)的位移響應(yīng)和n點(diǎn)激勵(lì)的傳遞函數(shù)的復(fù)共軛。

選定任一響應(yīng)測(cè)試點(diǎn)p為參考點(diǎn)，i點(diǎn)和j點(diǎn)的功率譜密度傳遞比PSDT 定義為：i點(diǎn)響應(yīng)yi（t）與參考點(diǎn)p點(diǎn)響應(yīng)yp（t）之間的互功率譜Sip（s），j點(diǎn)響應(yīng)yj（t）與參考點(diǎn)p點(diǎn)響應(yīng)yp（t）之間的互功率譜Sjp（s），兩者之比表示為：

借鑒位移響應(yīng)功率譜密度傳遞比的概念，定義響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比（Strain Power Spectrum Density Transmissibility，SPSDT），即i點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)εi（t）與參考點(diǎn)p點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)εp（t）之間的互功率譜，j點(diǎn)應(yīng)變響應(yīng)εj（t）與參考點(diǎn)p點(diǎn)響應(yīng)εp（t）之間應(yīng)變響應(yīng)的互功率譜密度兩者之比表示為：

由方程（6）和（9），對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可以建立用應(yīng)變表示的系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系：

式中Sε(s)m×m表示結(jié)構(gòu)應(yīng)變響應(yīng)的功率譜矩陣，m為響應(yīng)測(cè)點(diǎn)；G(s)n×n表示激勵(lì)的功率譜密度矩陣，n為激勵(lì)作用點(diǎn)數(shù)；Hε(s)為m×n階應(yīng)變傳遞函數(shù)矩陣；Hε*(s)T為Hε(s)的共軛轉(zhuǎn)置。由方程（9），（10），（11）和（14）可得：

則由方程（15）和（13），響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比可以表示為：

式中(s)表示k點(diǎn)激勵(lì)，i點(diǎn)響應(yīng)的應(yīng)變傳遞函數(shù)；Gkn(s)表示在k點(diǎn)和n點(diǎn)的激勵(lì)的互功率譜密度。在方程（16）中，取分母與分子有相同下標(biāo)的項(xiàng)得到εtkn(s)：

當(dāng)s→λr，εtkn(s)的極限：

式中和分別代表i測(cè)點(diǎn)和j測(cè)點(diǎn)在第r階應(yīng)變模態(tài)振型中對(duì)應(yīng)的振型系數(shù)。在復(fù)平面中，當(dāng)fn（s）和gn（s）（n=1，2，…，N）滿足下式時(shí)：

方程（19）中η表示同一常數(shù)，可得：

結(jié)合方程（16），（18），（19）和（20）可以得到：

同理，當(dāng)參考點(diǎn)選擇為q點(diǎn)時(shí)，可以得到下式：

至此證明了在系統(tǒng)的極點(diǎn)處，SPSDT 等于測(cè)點(diǎn)i和測(cè)點(diǎn)j的應(yīng)變振型系數(shù)和的比值，這一特性與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，只與測(cè)點(diǎn)i和j的位置有關(guān)。

3 基于SPSDT 的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別

對(duì)測(cè)點(diǎn)i和j，選擇不同參考點(diǎn)p和q，對(duì)SPSDT做差，由方程（21）和（22）可以得到：

當(dāng)s→λr時(shí)：

對(duì)方程（24）取倒數(shù)記為Δ-1[(s)］，顯然系統(tǒng)的極點(diǎn)是Δ-1[(s)]的極點(diǎn)。需要注意的是，由方程（25）所得到的極點(diǎn)中可能包含與系統(tǒng)極點(diǎn)無(wú)關(guān)的虛假極點(diǎn)。為了減少虛假極點(diǎn)的出現(xiàn)，融合所有參考點(diǎn)的信息構(gòu)造如下方程，確定系統(tǒng)的極點(diǎn)：

選定k（k=1，2，…，N）測(cè)點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，然后結(jié)合其他N個(gè)測(cè)點(diǎn)和N個(gè)參考點(diǎn)的信息，構(gòu)成SPSDT矩陣εT(s)如下式所示：

由方程（21），（22）和（27），當(dāng)s=λr時(shí)：

方程（28）中應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣εT(λr)的秩為1。在λ r處對(duì)εT(λr)矩陣進(jìn)行奇異值分解：

方程（29）中所得到的左奇異矩陣U的第一列向量為第r階應(yīng)變振型。依次改變k（k=1，2，…，N）的取值，S表示對(duì)角線位置的元素由奇異值組成的對(duì)角矩陣，VH表示右奇異矩陣。由方程（27），（28）和（29）計(jì)算N個(gè)向量（k=1，2，…，N）。對(duì)以上所得N個(gè)向量按照最大值歸一化以后取平均，即可得到應(yīng)變振型如下式所示：

綜上，基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比的結(jié)構(gòu)應(yīng)變工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別過(guò)程如圖1所示。

圖1 基于SPSDT 的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別流程圖Fig.1 Flow chart of strain modal parameter identification based on SPSDT

4 數(shù)值算例

如圖2所示為三跨連續(xù)梁模型，連續(xù)梁總長(zhǎng)為60 m，跨度為20 m+20 m+20 m。截面為矩形，寬0.6 m，高0.2 m。梁的材料特性如下：密度為7900 kg/m3，彈性模量為210 GPa。采用有限元方法，全橋劃分為60 個(gè)單元，每個(gè)單元的長(zhǎng)度為1 m，單元類型為BEAM188，通過(guò)自振分析可得到結(jié)構(gòu)固有頻率。

圖2 三跨連續(xù)梁模型Fig.2 Model of 3-span continuous beam

用Matlab 生成61 組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，每組數(shù)據(jù)包含5000 個(gè)數(shù)，模擬隨機(jī)激勵(lì)同步加載到各個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)梁做動(dòng)力時(shí)程分析，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s，計(jì)算節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變時(shí)程數(shù)據(jù)。采用建立的基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比方法，僅基于應(yīng)變響應(yīng)識(shí)別梁的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。按照最大值歸一化，得到應(yīng)變模態(tài)振型如圖3所示，頻率識(shí)別結(jié)果比較如表1所示。

表1 頻率識(shí)別結(jié)果Tab.1 Recognition results of frequencies

值得注意的是，應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)是結(jié)構(gòu)同一種狀態(tài)的兩種表達(dá)。通常位移模態(tài)振型φ和應(yīng)變模態(tài)振型φε是不同的，如圖3所示，圖中位移模態(tài)振型由有限元計(jì)算直接得到，而應(yīng)變振型為用本文方法識(shí)別得到的。

圖3 位移振型和應(yīng)變振型Fig.3 Displacement mode shapes and strain mode shapes

對(duì)于受彎為主的梁而言，應(yīng)變是位移的二階導(dǎo)數(shù)。有限元計(jì)算無(wú)法直接計(jì)算出應(yīng)變模態(tài)振型，一般由位移模態(tài)振型差分2 次得到應(yīng)變模態(tài)振型。本文所建立的應(yīng)變功率譜密度傳遞比方法，基于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變響應(yīng)，可以直接識(shí)別出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)振型。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)支梁模型的梁長(zhǎng)為3.05 m，凈跨為3 m。矩形截面高為22.5 mm，寬為125 mm，材料為鋁合金，密度為2.7×103kg/m3，彈性模量為70 GPa。梁等間距分為20 段，共設(shè)置19 個(gè)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)布置如圖4所示。實(shí)驗(yàn)采用的應(yīng)變片為電阻式應(yīng)變計(jì)，型號(hào)為BX120?3AA，由浙江黃巖測(cè)試儀器廠生產(chǎn)，電阻值為120 Ω，靈敏系數(shù)為2.08。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集使用NI 動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集儀，該儀器包括的組件有NI PXIe?1082、PXIe?8840 控制器、PXIe?4330 應(yīng)變測(cè)試模塊、TB4330 接線盒。簡(jiǎn)支梁模型、動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)采集儀、支座模型和應(yīng)變片分別如圖4～7 所示。

圖4 簡(jiǎn)支梁模型Fig.4 Model of simply supported beam

圖5 NI 數(shù)據(jù)采集儀Fig.5 NI data acquisition instrument

圖6 支座模型Fig.6 Support model

圖7 應(yīng)變片F(xiàn)ig.7 Strain gauge

本文給出的SPSDT 模態(tài)參數(shù)識(shí)別法不需要對(duì)激勵(lì)類型做任何假設(shè)，僅利用響應(yīng)數(shù)據(jù)就能識(shí)別模態(tài)參數(shù)。因此實(shí)驗(yàn)室做試驗(yàn)時(shí)用小錘敲擊作為加載，加載位置和敲擊力大小隨機(jī)。采樣時(shí)長(zhǎng)為150 s，采樣頻率為1000 Hz。測(cè)點(diǎn)10 的時(shí)長(zhǎng)30 s 的應(yīng)變時(shí)程曲線如圖8所示。

圖8 測(cè)點(diǎn)10 時(shí)長(zhǎng)30 s 的應(yīng)變時(shí)程Fig.8 30 seconds strain history of testing point 10

針對(duì)模型實(shí)驗(yàn)梁實(shí)測(cè)應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)，采用本文SPSDT 方法進(jìn)行了應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別，并采用傳統(tǒng)的頻域分解法（FDD）和隨機(jī)子空間方法（SSI）識(shí)別，同時(shí)給出有限元結(jié)果和理論解，五種方法所得固有頻率結(jié)果比較如表2所示，結(jié)果吻合良好。

表2 頻率結(jié)果比較Tab.2 Comparison of frequency results

由SPSDT 方法直接識(shí)別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型如圖9所示。各振型按照最大值歸一化處理，表明本文建立的基于響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比結(jié)構(gòu)工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，僅基于應(yīng)變響應(yīng)，不僅能方便地識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率，還可以識(shí)別出結(jié)構(gòu)的工作應(yīng)變模態(tài)振型。圖9對(duì)比了解析應(yīng)變振型和識(shí)別應(yīng)變振型；表3給出了前四階解析應(yīng)變振型和識(shí)別的應(yīng)變振型的MAC 值，其中對(duì)角項(xiàng)的MAC 均大于0.99，非對(duì)角項(xiàng)小于0.01。結(jié)果表明兩種方法所得到的結(jié)果是一致的。

表3 解析應(yīng)變振型與識(shí)別應(yīng)變振型的MACTab.3 MAC of analysis strain mode shape and identifi?cation strain mode shape

圖9 簡(jiǎn)支梁應(yīng)變振型Fig.9 Strain mode shapes of simply supported beam

為探討數(shù)據(jù)長(zhǎng)度（采樣時(shí)長(zhǎng)）對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，選取一段時(shí)長(zhǎng)4 min，采樣頻率1000 Hz 的應(yīng)變響應(yīng)數(shù)據(jù)，將其劃分成時(shí)長(zhǎng)為1，2，3 和4 min 的四段數(shù)據(jù)，進(jìn)行應(yīng)變模態(tài)參數(shù)識(shí)別。4 種不同時(shí)長(zhǎng)的應(yīng)變數(shù)據(jù)識(shí)別出實(shí)驗(yàn)梁的固有頻率比較如表4所示，所得前四階頻率結(jié)果相同。

表4 采樣時(shí)長(zhǎng)與頻率Tab.4 Sampling time and frequency

對(duì)于應(yīng)變模態(tài)振型的比較，采用模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criterion，MAC）：

式（31）中，當(dāng)MAC 為0 時(shí)，表示兩向量完全無(wú)關(guān)；當(dāng)MAC 為1 時(shí)，表示兩向量完全相關(guān)。以采樣時(shí)長(zhǎng)60 s 的數(shù)據(jù)識(shí)別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型作為基準(zhǔn)，和其他三組不同時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)做比較。分別取2，3，4 min 時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)所識(shí)別出的前四階應(yīng)變模態(tài)振型計(jì)算MAC，各組數(shù)據(jù)所識(shí)別結(jié)果不同階次的應(yīng)變模態(tài)振型之間的MAC 均小于0.01，相同階次的應(yīng)變振型MAC 接近于1。在表5中列出不同時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)所識(shí)別的前四階相同階次應(yīng)變模態(tài)振型之間的MAC值，其中第二列數(shù)值為采樣時(shí)長(zhǎng)1 min 的數(shù)據(jù)所識(shí)別的前四階應(yīng)變模態(tài)振型的MAC。

表5 采樣時(shí)長(zhǎng)與MACTab.5 Sampling time and MAC

6 結(jié) 論

（1）選取一個(gè)應(yīng)變響應(yīng)測(cè)點(diǎn)作為參考點(diǎn)，定義了一個(gè)響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比（Strain Power Spectrum Density Transmissibility，SPSDT），從理論上證明了SPSDT 在系統(tǒng)的極點(diǎn)處為應(yīng)變振型系數(shù)之比；

（2）選取一系列不同的響應(yīng)參考點(diǎn)構(gòu)造響應(yīng)應(yīng)變功率譜密度傳遞比矩陣，在系統(tǒng)的極點(diǎn)處對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解，分解所得左奇異矩陣的第一列向量即為應(yīng)變振型，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)工作（僅基于響應(yīng)）應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的識(shí)別；

（3）數(shù)值模擬算例和實(shí)驗(yàn)室模型試驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性，并分析了采樣時(shí)長(zhǎng)對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，結(jié)果表明該方法具有較好的魯棒性；

（4）與傳統(tǒng)的工作模態(tài)分析方法相比，SPSDT方法不需要對(duì)激勵(lì)做白噪聲假定，不需要多種激勵(lì)類型，僅在一種激勵(lì)下，即可識(shí)別出結(jié)構(gòu)的工作應(yīng)變模態(tài)參數(shù)。