汪自揚(yáng)，楊立云，吳云霄，林長(zhǎng)宇

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083)

斷裂力學(xué)的發(fā)展建立在直裂紋的基礎(chǔ)上[1]，當(dāng)裂紋承受Ⅰ型荷載時(shí)，直裂紋沿著裂紋所在軸線擴(kuò)展，當(dāng)裂紋承受混合荷載時(shí)，直裂紋的擴(kuò)展路徑將會(huì)發(fā)生不同程度的彎折、彎曲甚至產(chǎn)生分叉現(xiàn)象[2-3]。關(guān)于不同形態(tài)的裂紋以及裂紋在不同工況下的計(jì)算方法有很多[4-6]，通常來(lái)說(shuō)，計(jì)算直裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式并不適用于計(jì)算非直裂紋的情況，但是由于計(jì)算非直裂紋的表達(dá)式及方法需要運(yùn)用大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)及計(jì)算方法[7-9]，例如：彎折、分支裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算方法可以歸納為兩大類[10]：第一類是保角映射法[11]，將分支裂紋映射到單位元上，通過(guò)邊界條件得到多個(gè)積分方程，從而解得裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值；第二類是位錯(cuò)方法[12]，即列出奇異積分方程，通過(guò)求積分的方法進(jìn)行數(shù)值求解。但是這些方法的缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，不能夠?qū)Ψ侵绷鸭y尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行簡(jiǎn)單快速的求解。

大量學(xué)者認(rèn)為，可以應(yīng)用簡(jiǎn)單的直裂紋對(duì)非直裂紋進(jìn)行近似計(jì)算，即將非直裂紋通過(guò)近似方法轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的等效直裂紋，通過(guò)計(jì)算等效直裂紋，得到非直裂紋的解。這種近似方法被許多學(xué)者研究并應(yīng)用，如Kitagawa 等[13]對(duì)中心彎曲、彎折和分支裂紋進(jìn)行研究，并提出在一定的裂紋長(zhǎng)度和偏轉(zhuǎn)角度范圍內(nèi)，彎折裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子(K)值取對(duì)應(yīng)等效直裂紋尖端K值作為理論值的方法是符合精度要求的，特別指出，當(dāng)分支裂紋長(zhǎng)度極小時(shí)，由于主次裂紋間的相互作用問(wèn)題，該近似方法的計(jì)算誤差較大。Noda 等[14-15]在此基礎(chǔ)上通過(guò)超奇異積分方程對(duì)邊緣彎曲裂紋進(jìn)行研究，結(jié)果表明，在Ⅰ型荷載作用下，邊緣彎曲裂紋可以應(yīng)用具有相同投影長(zhǎng)度和尖端偏轉(zhuǎn)角的直裂紋進(jìn)行近似計(jì)算。Chen 等[16-17]提出了一個(gè)可以計(jì)算任意形狀裂紋的模型，該模型將任意形狀的裂紋分割成多個(gè)直裂紋的形式，然后應(yīng)用復(fù)應(yīng)力勢(shì)將所受荷載與裂紋尖端的張開(kāi)位移聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行計(jì)算。還有一些研究表明，在某些特定的裂紋形狀和荷載形式下，可以將非直裂紋尖端K近似為簡(jiǎn)單直裂紋形狀參數(shù)的函數(shù)[18-19]，并且認(rèn)為對(duì)于將復(fù)雜形狀裂紋近似為等效直裂紋的方法是可取的。Tilbrook 和Hoffman[1]研究了非直裂紋的形狀參數(shù)對(duì)斷裂參數(shù)的影響，認(rèn)為計(jì)算彎曲裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子是復(fù)雜的，應(yīng)用等效直裂紋可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，并且通過(guò)算例很好地解釋了為什么直裂紋可以作為等效模型來(lái)近似計(jì)算彎曲、彎折裂紋的問(wèn)題。

通過(guò)以上觀點(diǎn)可以認(rèn)為，通過(guò)建立等效直裂紋模型來(lái)近似計(jì)算彎折裂紋的近似方法是便捷的。但是，以上文獻(xiàn)所提出的關(guān)于將彎折裂紋近似為等效直裂紋的方法太單一，提出的可近似計(jì)算范圍比較籠統(tǒng)，在某些范圍內(nèi)精度不夠高，誤差較大。所以本文在以上研究的基礎(chǔ)上，新提出了三種將彎折裂紋近似為等效直裂紋的近似方法，相比已有近似方法，擴(kuò)大了可應(yīng)用近似方法的適用范圍，解決了獲得等效直裂紋方法單一、近似計(jì)算的范圍太籠統(tǒng)的問(wèn)題，并且使近似計(jì)算結(jié)果的誤差進(jìn)一步縮小。為能夠簡(jiǎn)單快速地在實(shí)際工程中計(jì)算出不同形狀參數(shù)下的彎折裂紋尖端K值提供理論參考和方法指導(dǎo)。

1 力學(xué)模型與計(jì)算方法

1.1 計(jì)算模型

為了能清晰地對(duì)彎折裂紋進(jìn)行分析，特建立彎折裂紋力學(xué)模型，并將彎折裂紋模型應(yīng)用幾個(gè)形狀參數(shù)進(jìn)行表示，從而可以應(yīng)用形狀參數(shù)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子。圖1 為本文所研究的彎折裂紋模型，遠(yuǎn)場(chǎng)承受單軸拉伸應(yīng)力σ，其他具體的形狀參數(shù)OA為彎折裂紋主裂紋，長(zhǎng)度為a，與荷載σ 所在方向的銳角夾角(下文所說(shuō)夾角均為銳角夾角，簡(jiǎn)稱夾角)為β；OB為彎折裂紋次裂紋，長(zhǎng)度為b，與荷載σ 所在方向的夾角為α；由此引入圖1 中未表示的參數(shù)θ，為次裂紋OB與主裂紋OA之間的夾角，稱為彎折角，表示為θ=β-α。

圖1 彎折裂紋形狀參數(shù)示例圖Fig. 1 Sample diagram of bending crack geometry parameters

1.2 近似計(jì)算方法

本文將彎折裂紋模型按照不同的近似方法近似為等效直裂紋。方法1 為文獻(xiàn)[13]中所提出的近似方法，方法2、方法3、方法4 為本文新提出的近似方法。近似方法不同，所得到的等效直裂紋也不同。下面應(yīng)用這四種近似方法對(duì)彎折裂紋尖端A、B分別進(jìn)行分析。

1.2.1 方法1：水平投影法

參考文獻(xiàn)[13]的近似方法可知，當(dāng)計(jì)算彎折裂紋主裂紋尖端A的K時(shí)，具體方法是：將次裂紋OB向水平方向(將垂直于荷載方向的軸所在方向定義為水平方向)做投影，投射線與OA反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B1，將直線AB1 作為通過(guò)水平投影法得到的計(jì)算尖端A的等效直裂紋。等效直裂紋AB1 的長(zhǎng)度c11由式(1)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=β，圖2 為水平投影法推演圖。

圖2 方法1 推演圖Fig. 2 Method 1 inference diagram

當(dāng)計(jì)算彎折裂紋尖端B的K時(shí)，方法是將彎折裂紋主裂紋OA向水平方向做投影，投射線與OB反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A1，將直線A1B作為通過(guò)水平投影法得到的計(jì)算尖端B的等效直裂紋。等效直裂紋A1B的長(zhǎng)度c12由式(2)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=α。

該方法在文獻(xiàn)[13]中表明：當(dāng)主次裂紋長(zhǎng)度比b/a＞0.3，且偏轉(zhuǎn)角θ＜45°時(shí)，該近似方法適用。

式中：c11為計(jì)算裂紋尖端A時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度；c12為計(jì)算裂紋尖端B時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度；其他參數(shù)含義同上。

1.2.2 方法2：垂線投影法

當(dāng)計(jì)算彎折裂紋尖端A時(shí)，垂線投影法的具體方法是：將次裂紋OB向OA所在方向的反向延長(zhǎng)線做垂直投影，垂線與OA反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B2，將直線AB2 作為通過(guò)垂線投影法得到的計(jì)算裂紋尖端A的等效直裂紋。等效直裂紋AB2 的長(zhǎng)度c21由式(3)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=β，圖3 為垂線投影法推演圖。

圖3 方法2 推演圖Fig. 3 Method 2 inference diagram

當(dāng)計(jì)算彎折裂紋尖端B時(shí)，將主裂紋OA向OB所在方向的反向延長(zhǎng)線做垂直投影，垂線與OB反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)A2，將直線A2B作為通過(guò)垂線投影法得到的計(jì)算裂紋尖端B的等效直裂紋。等效直裂紋A2B的長(zhǎng)度c22由式(4)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=α。

式中：c21為計(jì)算裂紋尖端A時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度；c22為計(jì)算裂紋尖端B時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度。其他參數(shù)含義同上。

1.2.3 方法3：中心旋轉(zhuǎn)法

當(dāng)計(jì)算彎折裂紋尖端A時(shí)，中心旋轉(zhuǎn)法是將次裂紋OB繞點(diǎn)O向OA所在方向的反向延長(zhǎng)線一側(cè)做旋轉(zhuǎn)，即將B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至重合點(diǎn)B3 點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為主裂紋OA與次裂紋OB之間的夾角θ，得到直線AB3，將直線AB3 作為通過(guò)中心旋轉(zhuǎn)法得到的計(jì)算裂紋尖端A的等效直裂紋。等效直裂紋AB3 的長(zhǎng)度c31由式(5)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=β，圖4 為中心旋轉(zhuǎn)法推演圖。

圖4 方法3 推演圖Fig. 4 Method 3 inference diagram

當(dāng)計(jì)算彎折裂紋尖端B時(shí)，將主裂紋OA繞點(diǎn)O向OB所在方向的反向延長(zhǎng)線一側(cè)做旋轉(zhuǎn)，即將A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至重合點(diǎn)A3 點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為主裂紋OA與次裂紋OB之間的夾角θ，得到直線A3B，將直線A3B作為通過(guò)中心旋轉(zhuǎn)法得到的計(jì)算裂紋尖端B的等效直裂紋。等效直裂紋A3B的長(zhǎng)度c32由式(5)計(jì)算得到，與荷載所在方向的夾角為η=α。

式中：c31為計(jì)算裂紋尖端A時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度；c32為計(jì)算裂紋尖端B時(shí)的等效直裂紋長(zhǎng)度。其他參數(shù)含義同上。

1.2.4 方法4：連線法

連線法的具體方法是：將彎折裂紋主裂紋尖端A與次裂紋尖端B相連，無(wú)論計(jì)算尖端A還是尖端B，均能夠得到等效直裂紋A4B4。該方法得到的等效直裂紋長(zhǎng)度c4根據(jù)式(6)進(jìn)行計(jì)算，與荷載所在方向的夾角η 根據(jù)式(7)計(jì)算得到，圖5為連線法推演圖。

圖5 方法4 推演圖Fig. 5 Method 4 inference diagram

2 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

查閱應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)，應(yīng)用Westergaard 應(yīng)力函數(shù)法得到傾斜直裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的精確解[20-21]。無(wú)限大板中心含傾斜直裂紋，遠(yuǎn)端承受單軸拉伸荷載，其尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值的計(jì)算式如式(8)所示：

式中：KⅠ、KⅡ?yàn)榱鸭y尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子；σ 為遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力；c為傾斜直裂紋長(zhǎng)度；η 為傾斜直裂紋與荷載所在方向的夾角。

根據(jù)式(8)可得到各近似方法下的等效直裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式，圖6 為無(wú)限大板中心含傾斜裂紋示意圖。

圖6 無(wú)限大板中心含傾斜裂紋Fig. 6 Inclined crack in the center of infinite plate

A端：將式(1)、式(3)、式(5)代入式(8)，得到計(jì)算等效直裂紋尖端A的K值式(9)～式(11)：

B端：將式(2)、式(4)、式(5)代入式(8)，得到計(jì)算等效直裂紋尖端B的K值式(12)～式(14)：

不論計(jì)算裂紋尖端A還是裂紋尖端B，應(yīng)用方法4 只能推演出一條等效直裂紋A4B4。將式(6)、式(7)代入式(8)，得到計(jì)算等效直裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子式(15)。

通過(guò)推導(dǎo)出來(lái)的公式可知，當(dāng)?shù)玫竭h(yuǎn)場(chǎng)拉伸荷載σ、和裂紋各形狀參數(shù)(a、b、α、β)并代入式(9)～式(15)，即可求得等效直裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值。

3 有限元模型

本文基于有限元軟件ABAQUS 對(duì)二維平面應(yīng)力條件下不同形狀參數(shù)的彎折裂紋模型進(jìn)行計(jì)算分析，網(wǎng)格采用八結(jié)點(diǎn)雙向二次平面應(yīng)力四邊形(CPS8)單元[22]。為了得到更為精確的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值，在裂紋尖端處進(jìn)行網(wǎng)格加密處理，如圖7 所示，模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為176 144 個(gè)，單元個(gè)數(shù)為59 340 個(gè)，使得裂紋尖端區(qū)域單元尺寸為初始裂紋長(zhǎng)度的0.1%，這便有效地控制了結(jié)果的精度要求[23]。裂紋尖端附近環(huán)狀區(qū)域內(nèi)的單元采用奇異單元以滿足裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)平方根的奇異性[24]，本文使用靜力、通用分析步，收斂準(zhǔn)則采用力的收斂，計(jì)算一個(gè)模型耗時(shí)90 s 左右，從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，該計(jì)算結(jié)果是收斂的。

圖7 有限元網(wǎng)格圖(a=20, b/a =1.5, α=30°, β=90°)Fig. 7 Finite element mesh diagram(a=20, b/a=1.5, α=30°, β=90°)

本文所使用的數(shù)值模擬硬件平臺(tái)基本配置為：CPU 型號(hào)為i5-5200U，雙核，64 位操作系統(tǒng)，安裝內(nèi)存(RAM)為4 GB，該硬件平臺(tái)滿足計(jì)算要求，對(duì)計(jì)算結(jié)果無(wú)影響。

板的大?。洪L(zhǎng)×寬=2100 mm×1200 mm，彈性模量：E=2.95 GPa，泊松比：ν=0.2，上下邊界施加拉伸荷載σ=4 MPa?；谟邢拊浖嗀BAQUS中的相互積分法[25]，直接輸出應(yīng)力強(qiáng)度因子值。

研究過(guò)程中，對(duì)彎折裂紋進(jìn)行焦散線試驗(yàn)，計(jì)算得到彎折裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值，具體的焦散線試驗(yàn)原理和方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[26]，具體細(xì)節(jié)不展開(kāi)討論。圖8 所示為試驗(yàn)中彎折裂紋(b/a=0.8、α=60°、β=90°)的焦散斑圖像，根據(jù)裂紋尖端焦散斑計(jì)算得到裂尖B的KⅠ= 23.51 MPa·mm1/2，KⅡ=14.66 MPa·mm1/2。對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行數(shù)值仿真，得到對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果為：KⅠ= 23.69 MPa·mm1/2，KⅡ= 14.72 MPa·mm1/2。試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值結(jié)果基本吻合，差值不超過(guò)1%，驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

圖8 彎折裂紋尖端焦散斑圖像Fig. 8 Caustics image of bending crack tip

表1 給出了各組彎折裂紋模型的形狀參數(shù)，共設(shè)置六組彎折裂紋模型，模型1、模型2、模型3、模型4 的變量為次裂紋OB與荷載所在方向的夾角α，研究當(dāng)α 分別為30°、45°、60°、75°時(shí)各近似方法的最優(yōu)情況。設(shè)置模型5、模型6 與模型2 形成對(duì)照組，分析當(dāng)α=45°，主裂紋OA與荷載所在方向夾角β 分別為30°、60°、90°時(shí)，各近似方法的最優(yōu)情況。

表1 模型形狀參數(shù)表Table 1 Model geometry parameter table

4 分析與討論

應(yīng)用近似方法計(jì)算得到等效直裂紋尖端K值作為彎折裂紋尖端K值的預(yù)測(cè)值與有限元數(shù)值模擬求得的K值進(jìn)行對(duì)比，為了能夠清晰地了解各近似方法的準(zhǔn)確性和適用性，以下將對(duì)彎折裂紋尖端A的KⅠ、KⅡ和彎折裂紋尖端B的KⅠ、KⅡ分別進(jìn)行分析。

為了能夠?qū)朴?jì)算有一個(gè)定量的分析，本文將應(yīng)用近似方法得到的預(yù)測(cè)K值與有限元數(shù)值模擬得到的K值之間進(jìn)行量化分析，具體指標(biāo)為誤差值，用來(lái)衡量誤差的大小。但是對(duì)于當(dāng)β=90°的情況，應(yīng)用方法1、方法2、方法3 進(jìn)行近似計(jì)算，裂紋尖端A的KⅡ預(yù)測(cè)值均為零，應(yīng)用誤差值不能夠進(jìn)行較好的衡量，所以應(yīng)用差值作為參考標(biāo)準(zhǔn)，具體定義如下：

4.1 A 端KⅠ值

圖9 為裂紋尖端A的KⅠ值隨參數(shù)b/a的變化曲線。總體來(lái)看，當(dāng)b/a取極小值時(shí)，四種方法的K曲線與數(shù)值模擬的K曲線重合度較好，但隨著b/a的增大，各近似方法的K曲線均呈現(xiàn)不同程度的遠(yuǎn)離數(shù)值模擬K曲線，可以看出，形狀參數(shù)b/a對(duì)近似結(jié)果有很大影響。觀察圖9(a)～圖9(d)，隨著形狀參數(shù)α 的增大，四種近似方法的曲線偏離程度逐漸變小，可以得到：尖端A的KⅠ值受形狀參數(shù)α 影響較大，且形狀參數(shù)越接近直裂紋的彎折裂紋，近似結(jié)果越準(zhǔn)確。

如圖9(a)～圖9(d)，當(dāng)β=90°，α=30°、α=45°時(shí)，近似方法2 的K曲線與數(shù)值模擬K曲線重合度最高，相比已有近似方法1，誤差值更小。隨著α 不斷增大，當(dāng)α=60°、α=75°時(shí)，方法3 的誤差值最小，最大誤差值不超過(guò)2%。

圖9 裂尖A 的KⅠ 隨參數(shù)b/a 的變化曲線Fig. 9 Crack tip A of KⅠ curve along with the change of parameter b/a

如圖9(e)、圖9(f)，當(dāng)α=45°，β=90°、β=60°時(shí)，方法2 的誤差值較小，當(dāng)β=30°時(shí)，方法1 要比新提出的三種近似方法適用，所以當(dāng)β 值較大時(shí)，應(yīng)用方法2，β 較小時(shí)，應(yīng)用方法1，可以減小近似的誤差值，使近似結(jié)果更為準(zhǔn)確。通過(guò)對(duì)裂紋尖端A的KⅠ值近似計(jì)算進(jìn)行分析，各近似方法的適用范圍及誤差總結(jié)見(jiàn)表2。

表2 裂尖A 的KⅠ 近似方法Table 2 KⅠ approximation method for crack tip A

4.2 A 端KⅡ值

圖10 為裂紋尖端A的KⅡ值隨參數(shù)b/a的變化曲線。如圖10(a)～圖10(d)，方法4 的K曲線偏離較大，不考慮。方法1、方法2、方法3 的K曲線與數(shù)值模擬K曲線重合度較高，且不受形狀參數(shù)α、b/a的影響。但觀察圖10(b)、圖10(e)、圖10(f)，當(dāng)α 不變，β 變化時(shí)，對(duì)曲線的重合度影響較大。所以得出，形狀參數(shù)β 是影響裂尖A的KⅡ值近似計(jì)算的主要因素。

如圖10(a)～圖10(d)，方法1、方法2、方法3對(duì)于裂尖A的KⅡ值的近似計(jì)算結(jié)果差值均較小，當(dāng)b/a＜1.5，最大差值不超過(guò)一個(gè)計(jì)量單位，所以可以應(yīng)用方法1、方法2、方法3 對(duì)當(dāng)β=90°情況下的尖端A的KⅡ值進(jìn)行近似計(jì)算。

如 圖10(b)、圖10(e)、圖10(f)，當(dāng)α=45°，β=90°、β=60°時(shí)，原近似方法1 誤差較小，但當(dāng)β=30°時(shí)，方法4 的近似結(jié)果更為準(zhǔn)確，從表3 可以看出，方法4 在形狀參數(shù)0.1＜b/a＜1 的區(qū)間內(nèi)，近似計(jì)算的誤差值非常小。所以認(rèn)為方法4 適用于近似計(jì)算β 值較小(即主裂紋所在方向平行于荷載所在方向)情況下的A端KⅡ值。

表3 裂尖A 的KⅡ近似方法Table 3 KⅡ approximation method for crack tip A

圖10 裂尖A 的KⅡ隨參數(shù)b/a 的變化曲線Fig. 10 Crack tip A of KⅡ curve along with the change of parameter b/a

4.3 B 端KⅠ值

圖11 為裂紋尖端B的KⅠ值隨參數(shù)b/a的變化曲線?？傮w來(lái)看，形狀參數(shù)α、β、b/a對(duì)K曲線均有影響。當(dāng)β=90°時(shí)，α 不論取什么值，方法1始終為最優(yōu)方法，但是從誤差值來(lái)看，結(jié)果并不理想。參考圖11(a)，當(dāng)α=30°時(shí)最大誤差值高達(dá)42.82%，即在該幾何參數(shù)下的彎折裂紋不宜應(yīng)用等效直裂紋進(jìn)行近似計(jì)算，這是由于彎折角度θ 較大，主次裂紋尖端的相互作用所導(dǎo)致的，與文獻(xiàn)[13]中的相關(guān)結(jié)論一致。觀察圖11(c)、圖11(d)、圖11(e)，隨著α 不斷增大，誤差值逐漸減小，所以得出：形狀參數(shù)α 是影響近似計(jì)算裂尖B的KⅠ值的最主要因素。

參照?qǐng)D11(b)、圖11(e)、圖11(f)，當(dāng)α=45°，β 取不同的值，方法1 為最優(yōu)方法，誤差值隨形狀參數(shù)b/a變化較大?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)形狀參數(shù)b/a較大時(shí)，近似方法1 的近似計(jì)算誤差值會(huì)增大，新提出的近似方法可替代近似方法1 進(jìn)行近似計(jì)算。具體的最優(yōu)近似方法和誤差見(jiàn)表4。

表4 裂尖B 的KⅠ近似方法Table 4 Crack tip B of KⅠ approximate solution

圖11 裂尖B 的KⅠ 隨參數(shù)b/a 的變化曲線Fig. 11 Crack tip B of KⅠ curve along with the change of parameter b/a

4.4 B 端KⅡ值

圖12 為裂紋尖端B的KⅡ值隨參數(shù)b/a的變化曲線?？傮w來(lái)看，K曲線的大體趨勢(shì)相同，受形狀參數(shù)的影響，多條K曲線的聚合程度不同，隨著形狀參數(shù)α 的增大或者β 的減小，各種近似方法的K曲線相互靠攏，所以得出結(jié)論：越接近直線的彎折裂紋，近似方法的適用性更強(qiáng)。從表5可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)β=90°時(shí)，各近似方法的近似計(jì)算誤差都較大，所以該參數(shù)下的彎折裂紋模型不適合應(yīng)用近似方法進(jìn)行近似計(jì)算。但隨著β 逐漸減小，近似計(jì)算的誤差逐漸減小，所以形狀參數(shù)β 是影響裂紋尖端B的KⅡ值的主要因素。

表5 裂尖B 的KⅡ近似方法Table 5 Crack tip B of KⅡ approximate solution

參考圖12，當(dāng)0＜b/a＜0.3，數(shù)值模擬K曲線呈現(xiàn)出突增的趨勢(shì)，在該區(qū)域內(nèi)，次裂紋長(zhǎng)度的微增量便引起了KⅡ值的顯著增大，根據(jù)文獻(xiàn)[13]的相關(guān)結(jié)論可知，主要原因是：當(dāng)次裂紋長(zhǎng)度較小時(shí)，次裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)受主裂紋影響較大。相比較原有近似方法1，近似方法2、方法3，在該區(qū)間內(nèi)的近似結(jié)果較好。當(dāng)β=90°，0.3＜b/a＜2.0，方法1 為最優(yōu)方法，但是，近似計(jì)算的誤差較大。

圖12 裂尖B 的KⅡ隨參數(shù)b/a 的變化曲線Fig. 12 Crack tip B of KⅡ curve along with the change of parameter b/a

參考圖12(b)、圖12(e)、圖12(f)，當(dāng)β=90°、β=60°時(shí)，方法1 的近似計(jì)算結(jié)果誤差較大。當(dāng)β=30°時(shí)，近似方法4 的近似計(jì)算誤差較小，在該形狀參數(shù)下，方法4 為最優(yōu)方法。結(jié)合裂尖A的KⅡ近似計(jì)算結(jié)果可以得到的結(jié)論是：近似方法4適用于形狀參數(shù)β 值較小的彎折裂紋的近似計(jì)算，并且近似計(jì)算的誤差值較小。

5 結(jié)論

本文將彎折裂紋模型通過(guò)近似方法近似為等效直裂紋，通過(guò)計(jì)算等效直裂紋得到彎折裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值。根據(jù)已有的近似方法新提出了三種計(jì)算彎折裂紋的近似方法，并將計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬值進(jìn)行對(duì)比，得到以下結(jié)論：

(1)新提出的三種近似方法同已有近似方法相比，豐富了得到等效直裂紋的手段，使得到等效直裂紋的方式不再單一；擴(kuò)大了使用等效直裂紋計(jì)算彎折裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的近似方法的范圍；而且提出了在不同形狀參數(shù)下近似方法的最優(yōu)情況，使得近似計(jì)算的精度更高。

(2)當(dāng)計(jì)算彎折裂紋主裂紋尖端Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子 (KⅠ) 時(shí)：主裂紋與荷載所在方向垂直，且次裂紋與荷載所在方向的夾角小于45°，垂線投影法比水平投影法的近似計(jì)算精度高；當(dāng)次裂紋與荷載所在方向的夾角大于45°時(shí)，中心旋轉(zhuǎn)法為最優(yōu)近似方法。當(dāng)計(jì)算彎折裂紋主裂紋尖端KⅡ時(shí)，垂線投影法、中心旋轉(zhuǎn)法均能夠得到精度較高的計(jì)算結(jié)果。通過(guò)分析可知：由于主次裂紋間的相互作用，對(duì)次裂紋尖端K值的近似計(jì)算結(jié)果并不理想，當(dāng)計(jì)算彎折裂紋次裂紋尖端KⅠ時(shí)，在主次裂紋長(zhǎng)度比b/a較大時(shí)，新提出的近似方法比已有近似方法更適用。綜合來(lái)看，連線法適用于計(jì)算當(dāng)主裂紋與荷載所在方向夾角較小的彎折裂紋，而且近似計(jì)算結(jié)果的精度很高。

(3)對(duì)彎折裂紋主裂紋尖端的近似計(jì)算結(jié)果精度較高；但由于主次裂紋間的相互作用，彎折裂紋次裂紋尖端的近似計(jì)算結(jié)果精度較低，尤其是當(dāng)主次裂紋長(zhǎng)度比b/a較小時(shí)，受彎折裂紋的裂紋長(zhǎng)度影響較大。彎折裂紋主裂紋OA與荷載所在方向的夾角β 是影響KⅡ近似計(jì)算結(jié)果精度的主要因素；彎折裂紋次裂紋OB與荷載所在方向的夾角α 是影響KⅠ近似計(jì)算結(jié)果精度的主要因素。