劉 敬，李康欣，張 悠，劉 逸

（1. 西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121；2. 西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071）

1 引言

高光譜圖像［1］有高的光譜分辨率，包含豐富的圖像及光譜信息，而由于高光譜傳感器的低空間分辨率和不同純物質(zhì)波譜的混合，導(dǎo)致混合像元［2］的產(chǎn)生，極大地影響了高光譜遙感圖像的應(yīng)用。為改善高光譜圖像分解精度，高光譜解混［3-5］已成為熱點，可用線性或非線性方式將混合像元分解，同時提取端元與豐度。端元是混合像元分解出的純物質(zhì)光譜，而豐度［6］則是每個像元中端元的貢獻(xiàn)。

早期高光譜解混算法主要采用線性混合模型（Linear Mixture Model，LMM），如基于幾何的頂點成分分析法（Vertex Component Analysis，VCA）［7］、最小封閉體積的單純形法（Minimum Volume Enclosing Simplex，MVES）［8］，基于統(tǒng)計的貝葉斯方法、獨立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）［9］和非負(fù)矩陣分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）［10］算法等。在NMF 算法中，先找到一組非負(fù)基，然后將原始數(shù)據(jù)映射到這組基上，且數(shù)據(jù)在每個基上的表達(dá)非負(fù)。NMF 十分適合應(yīng)用于高光譜解混，得到端元和豐度矩陣。為保持?jǐn)?shù)據(jù)空間固有的流形結(jié)構(gòu)，Yang 等人在NMF 中加入了圖正則算法，稱為圖正則非負(fù)矩陣分解［11］，該算法利用一種圖相似性描述樣本之間的關(guān)系，充分考慮了局部不變性。由于定義樣本之間的關(guān)系及其權(quán)重矩陣的方法很多，單圖的選擇至關(guān)重要。為解決圖選擇的問題，Shu 等人提出多圖正則非負(fù)矩陣分解（Multi-graph Regularized Nonnegative Matrix Factorization，MGNMF）［12］，采用一組已知的多個圖拉普拉斯矩陣，通過學(xué)習(xí)得到的加權(quán)參數(shù)組合，去逼近原始數(shù)據(jù)。多圖可更準(zhǔn)確地刻畫樣本的相似性，進(jìn)而更好地表達(dá)原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。雖然多圖解決了圖正則非負(fù)矩陣分解（Graph Regularized Nonnegative Matrix Factorization，GNMF）算法中圖選擇困難的問題，但其屬于線性解混算法［13-14］，難以適應(yīng)真實場景中復(fù)雜的非線性光譜混合結(jié)構(gòu)，所以，這一問題也促進(jìn)了非線性解混算法研究。

NMF 是一種典型的線性解混算法，不適合提取數(shù)據(jù)的非線性混合結(jié)構(gòu)［15］，而核方法可以解決這個問題。核方法［16］是將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性關(guān)系的一種過程方法，將低維非線性混合結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)映射到高維核空間，在核空間中數(shù)據(jù)混合結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)線性，因此在核空間可實現(xiàn)高光譜圖像的非線性解混。Yan 等人提出的包含純像元的核非負(fù)矩陣分解（Pure-pixels Kernel Nonnegative Matrix Factorization，pKNMF）與不含純像元的核非負(fù)矩陣分解（Non-pure-pixel Kernel Nonnegtive Matrix Factorization，npKNMF），是將KNMF［17］算法直接應(yīng)用于高光譜數(shù)據(jù)，得到比NMF 好的分類效果。但KNMF 的性能很大程度上取決于核函數(shù)的選擇。多核非負(fù)矩陣分解（Multi-kernel Nonnegtive Matrix Factorization，MKNMF）算法采用多個核函數(shù)的組合，并為每個核函數(shù)設(shè)置適當(dāng)?shù)臋?quán)重參數(shù)。相比KNMF 算法，多核NMF 可自適應(yīng)地選擇核函數(shù)并加權(quán)，有更好的映射能力。Yao 等人將MKNMF 引入圖正則NMF 算法中，在高光譜數(shù)據(jù)集中得到了更好的驗證［18］。

在許多復(fù)雜自然場景中存在大量的非線性混合現(xiàn)象，如沙地和礦物混合區(qū)的密集混合現(xiàn)象，以及植被和建筑物覆蓋區(qū)的多級混合現(xiàn)象?；诰€性混合模型的線性解混算法不適合于非線性混合情況，所以，本文提出了一種非線性解混算法——多圖正則多核非負(fù)矩陣分解（Multigraph Regularized Multi-kernel Nonnegative Matrix Factorization，MGMKNMF），先使用多核函數(shù)構(gòu)造適合于高光譜數(shù)據(jù)的核空間，然后在多核空間的基礎(chǔ)上為目標(biāo)函數(shù)添加多圖正則項。本文提出的算法有以下兩個優(yōu)點：（1）與KNMF 算法相比，MGMKNMF 算法采用核函數(shù)權(quán)重將多個不同參數(shù)的高斯核函數(shù)聯(lián)合起來，并在學(xué)習(xí)過程中不斷更新核函數(shù)權(quán)重，避免了單核的唯一性，使構(gòu)造的核空間更合適，也解決了多個高斯核函數(shù)權(quán)重選擇困難的問題。（2）與GNMF 和MGNMF 算 法 相 比，MGMKNMF 算 法 是 非 線 性方法，在多核空間構(gòu)造多圖，圖權(quán)重將多個圖拉普拉斯矩陣線性組合，并與豐度矩陣最終構(gòu)成多核空間的多圖正則項，且在學(xué)習(xí)過程中不斷更新圖權(quán)重。相比原空間的單圖和多圖，多核空間中的多圖可更精確地刻畫原始數(shù)據(jù)的非線性流形結(jié)構(gòu)，更適合對真實場景中復(fù)雜的非線性光譜混合結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性解混。本文采用兩個真實高光譜數(shù)據(jù)集Jasper Ridge 和Cuprite，并采用廣義雙線性模型（GBM）［19］和Hapke［20］非線性模型分別生成兩個模擬數(shù)據(jù)集，將所提MGMKNMF 算法與GNMF、npKNMF、核稀疏非負(fù)矩陣分解（Kernel Sparse Nonnegative Matrix Factorization，KSNMF）、基于核的字典剪枝非線性光譜解混（Kernel-based Nonlinear Spectral Unmixing with Dictionary Pruning，KDP）、多圖正則核非負(fù)矩陣（Multi-graph Regularized Kernel Nonnegative Matrix Factorization， MGKNMF）算法比較，實驗結(jié)果表明，MGMKNMF的光譜角距離（Spectral Angel Distance，SAD）和 均 方 根 誤 差（Root Mean Square Error，RMSE）相比其他算法均有較為顯著的下降。

2 相關(guān)工作

2.1 非負(fù)矩陣分解NMF

NMF 可用于高光譜遙感影像的無監(jiān)督解混。給定一個數(shù)據(jù)矩陣X=[x1，…，xN]∈RM×N，其中X的每一列都是樣本向量。NMF 通過矩陣分解將原始高秩矩陣分解為兩個低秩矩陣A∈RM×K和S∈RK×N的相乘，并加上非負(fù)的約束。

非負(fù)矩陣分解的目標(biāo)函數(shù)：

其中：X是原始數(shù)據(jù)矩陣，在高光譜數(shù)據(jù)中，A和S分別代表端元矩陣與豐度矩陣。

2.2 圖正則非負(fù)矩陣分解GNMF

NMF 將非負(fù)矩陣X分解為基矩陣A和編碼矩陣S的乘積(X≈AS)，用于高光譜圖像的無監(jiān)督解混時，即將高光譜數(shù)據(jù)集X分解為端元矩陣A與豐度矩陣S的乘積。GNMF 將圖正則項添加到NMF 的目標(biāo)函數(shù)中，改善了未考慮數(shù)據(jù)流形結(jié)構(gòu)所帶來的問題。對有N個樣本的數(shù)據(jù)集X構(gòu)造一個K近鄰圖，圖中頂點為X中各像素點。Nn為X中樣本xn的K近鄰集，將每個頂點xn與屬于它的Nn連接，并定義圖權(quán)重矩陣W∈RN×N，原空間中頂點xn和xm間的權(quán)重Wnm越大，在子空間中的sn和sm距離也越近。通過權(quán)重矩陣W構(gòu)造圖正則項：

其中：sn和sm為像元xn和xm在端元基向量上的編碼向量，即豐度；Wnm為xn和xm間的權(quán)重；S為豐度矩陣；D為對角矩陣，D-W是圖拉普拉斯矩陣；“tr（·）”表示矩陣的對角線元素之和。常用定義權(quán)重矩陣W的方法有：0-1 加權(quán)、熱核加權(quán)和點積加權(quán)等。

將式（3）與（2）結(jié)合，得到GNMF 的目標(biāo)函數(shù)：

其中：α為權(quán)重參數(shù)，GNMF 求解約束最小化問題minOGNMF(A，S，W) s.t.A≥0，S≥0。

2.3 多圖正則非負(fù)矩陣分解MGNMF

根據(jù)不同定義權(quán)重矩陣的模型，可計算相應(yīng)的圖權(quán)重矩陣和圖拉普拉斯矩陣。MGNMF 采用不同數(shù)量的最近鄰構(gòu)建圖并進(jìn)行加權(quán)，經(jīng)過算法自動選擇，得到最優(yōu)多圖正則項。若已知一組M種模型的圖權(quán)重矩陣｛W1，W2，…，WM｝和相應(yīng)的圖拉普拉斯矩陣｛L1，L2，…，LM｝，將這M個圖權(quán)重矩陣線性組合，則相應(yīng)的圖拉普拉斯矩陣也進(jìn)行相同的線性組合：

其中，γm是第M個圖權(quán)重矩陣和圖拉普拉斯矩陣的權(quán)重。MGNMF 為一組預(yù)先計算得到的候選圖確定最佳的圖權(quán)重，而不是先選最佳圖矩陣模型并估計參數(shù)。MGNMF 的多圖正則項為：

多圖正則項比單圖正則項更精準(zhǔn)，GNMF 的唯一權(quán)重不可靠。MGNMF 無需選擇唯一的圖權(quán)重矩陣模型，且通過學(xué)習(xí)所得圖權(quán)重向量γ=[γ1，…，γL]T對M個圖拉普拉斯矩陣進(jìn)行最優(yōu)線性組合。

2.4 多核非負(fù)矩陣分解MKNMF

NMF 是線性方法，不能很好地處理數(shù)據(jù)中的非線性結(jié)構(gòu)，而KNMF 通過核方法，將原始數(shù)據(jù) 映 射 到 高 維 核 空 間 ：X→Φ(X)=[Φ(x1)，…，Φ(xn)]，可以解決數(shù)據(jù)的非線性問題。核矩陣K=Φ(X)TΦ(X)，K∈RN×N。則在高維核空間，NMF 可以表示為Φ(X)≈AS。其中A為端元矩陣，S為豐度矩陣。以核空間中樣本Φ(X) 作為基向量，得到端元矩陣A=Φ(X)F，A=[a1，a2，…，aP]，P為端元個數(shù)，F(xiàn)矩陣包含核空間中所有樣本對構(gòu)造各端元的貢獻(xiàn)，F(xiàn)∈RN×P且為矩陣F中 第n行p列個元素，F(xiàn)矩陣中的第p列為核空間中所有樣本對構(gòu)造第p個端元的貢獻(xiàn)。當(dāng)核函數(shù)確定后，KNMF 有唯一的核空間，這種選擇核空間的方式并不準(zhǔn)確。

MKNMF 算法將L個不同核函數(shù)對應(yīng)的核空間聯(lián)合起來，以構(gòu)造一個更合適的希爾伯特空間，這L個不同核空間對應(yīng)的核矩陣為核函數(shù)權(quán)重向量τ=[τ1，…，τL]T將這L個不同的核空間線性組合，組合后的多核核空間的核矩陣為：

通過將學(xué)習(xí)好的參數(shù)τ帶入上式，避免了不同核函數(shù)權(quán)重分配的問題；而多個核函數(shù)可構(gòu)造出更適合原數(shù)據(jù)的核空間，比單核更可靠。將式（4）代入KNMF 目標(biāo)函數(shù)中，得MKNMF 的目標(biāo)函數(shù)：

3 MGMKNMF

本文提出的MGMKNMF 在多核空間構(gòu)造多圖，為更新多圖，給定參數(shù)τ，用歐幾里德距離的平方重新定義多核空間中xn的K近鄰集Nτ n：

多核空間中的多圖正則化項為：

最終將式（8）與式（10）結(jié)合，得到MGMKNMF 的目標(biāo)函數(shù)：

多核空間可更好地挖掘數(shù)據(jù)間的非線性關(guān)系，在多核空間嵌入多圖能更好地表達(dá)數(shù)據(jù)的非線性流形結(jié)構(gòu)。式（11）中的‖τ‖2可防止參數(shù)τ過度偏向到一個核函數(shù)中；‖γ‖2項可避免γ偏向到一個權(quán)重構(gòu)造函數(shù)中；α，β，μ均是權(quán)衡上式所用的權(quán)衡參數(shù)，其值均為非負(fù)。因α是約束多圖正則項的參數(shù)，與約束核權(quán)重和圖權(quán)重的β，μ相比，α應(yīng)大于β，μ。根據(jù)參考文獻(xiàn)［21］和多次實驗的結(jié)果，本文實驗中：Cuprite 數(shù)據(jù)α=100，Jasper Ridge 數(shù)據(jù)α=20，HAPKE 模擬數(shù)據(jù)α=20，GBM 模擬數(shù)據(jù)α=20；所有數(shù)據(jù)的β均為10，μ均為10。

根據(jù)參考文獻(xiàn)［21］和［22］，式（11）中的MGMKNMF 目標(biāo)函數(shù)是非凸的，無法得到全局最小值。MGMKNMF 采用分步迭代策略優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可得到局部最小值［21-22］，具體如下：

（1）固定τ和γ，更新F，S。式（11）可寫為：

假設(shè)φlp和ψpn分別是flp和spn的拉格朗日乘子，令φlp=φ，ψpn=ψ，則式（12）的拉格朗日函數(shù)為：

式（13）分別對F和S求偏導(dǎo)得：

結(jié)合卡羅需-庫恩-塔克（KKT）條件：φlp flp=0，ψpn spn=0 有：

得到F和S的乘法更新法則分別為：

（2）固定F，S和γ，更新τ，式（11）可寫為：

其中，Z=I-FS，gl=tr[Kl ZZT]。

（3）固 定F和S和τ，更 新γ，式（11）可 以寫為：

式（18）和式（19）的約束二次規(guī)劃問題可根據(jù)文獻(xiàn)［23］中的方法來解決。

MGMKNMF 解混算法總結(jié)如下：

MGMKNMF 解混算法輸入：原始高光譜數(shù)據(jù)X，L 個核矩陣{ K1，…，Kl，…，KL}，M 個圖拉普拉斯矩陣{ L1，…，Lm，…，LM}，最大迭代次數(shù)T Step1. 初始化矩陣F0和S0，Step2. 初始化核權(quán)重變量τ0 l =1 L，l=1，…，L，初始化圖權(quán)重γ0m=1 M，m=1，…，M for t=1 to T do通過式（7）更新圖Gτt 和相應(yīng)的拉普拉斯矩陣Lτt；通過式（11）和式（12）更新Ft 和St；通過式（13）和式（14）更新核權(quán)重τt 和圖權(quán)重γt；end輸出：F=Ft-1，S=St-1，τ=τt-1，γ=γt-1

4 實驗結(jié)果與分析

將 所 提 MGMKNMF 算 法 與 GNMF、npKNMF、KSNMF、KDP 和MGKNMF 解 混 算法進(jìn)行對比，使用SAD 和RMSE 作為評估指標(biāo)，采用HAPKE 和GBM 模擬數(shù) 據(jù)，以及Cuprite 和Jasper Ridge 真實數(shù)據(jù)驗證該算法的有效性。所有實驗中，我們選擇0-1 加權(quán)圖、熱核加權(quán)圖和點積加權(quán)圖的圖權(quán)重矩陣模型構(gòu)成最終圖正則項。多核函數(shù)選擇高斯核函數(shù)，所選取的核參數(shù)為1/32，1/16，1/8，1/4，1/2，1，2，4，8，16，32 以構(gòu)成不同的核函數(shù)。各算法的迭代次數(shù)T均設(shè)置為200。

4.1 評價標(biāo)準(zhǔn)

SAD值反映了解混所得端元光譜與原端元光譜之間相似性，定義為VSAD=arccos(aTb/||a||||b||)，其中，a，b是兩個端元光譜。

RMSE 值反映解混所得豐度與實驗室測量的實際豐度間的差別，定義為VRMSEsi=(1/N|si-s^i|2)1/2，其中，si和s^i分別是實際豐度和解混所得豐度。

4.2 模擬數(shù)據(jù)實驗與分析

本文采用HAPKE 和GBM 兩種非線性模型生成模擬數(shù)據(jù)集。HAPKE 模型是一種緊密混合模型；GBM 是一種雙線性混合模型，是LMM 線性結(jié)構(gòu)與端元間的二次散射項的加權(quán)組合。本文從美國光譜庫（USGS）隨機選擇6 種地物光譜作為端元，如圖1。并且豐度矢量滿足豐度非負(fù)和豐度和為一的約束。最后模擬生成的高光譜每個大小為20×20，每個像素波段為224，并加入不同信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）的零均值高斯噪聲來更好地接近真實數(shù)據(jù)。

圖1 光譜庫中隨機生成的端元光譜Fig.1 Endmember spectra randomly generated by spectrum library

4.3 模擬數(shù)據(jù)實驗結(jié)果及分析

表1～4 分別顯示了端元數(shù)目為6，SNR 不同時，各算法在HAPKE 和GBM 模擬數(shù)據(jù)上的SAD、RMSE 值。從表中可以看出，隨著SNR 值的增加，SAD 和RMSE 的值均呈下降趨勢，而MGMKNMF 算法與其他6 種算法相比具有較好的準(zhǔn)確度。NMF 和GNMF 因為屬于線性解混算法，對非線性數(shù)據(jù)解混精度都很差，但GNMF算法在NMF 的基礎(chǔ)上增加了圖正則約束，揭示了數(shù)據(jù)內(nèi)在固有的流形結(jié)構(gòu)，相比NMF 算法有進(jìn)一步提升；剩下的5 種算法均利用了核函數(shù)的概念，更適合于非線性數(shù)據(jù)。npKNMF 算法在核空間中應(yīng)用了NMF，相比NMF 準(zhǔn)確度有所提高；而KSNMF 在豐度中加了L1范數(shù)使豐度更加稀疏，得到了更好的準(zhǔn)確率；KDP 在進(jìn)行端元選擇時使用了大型光譜庫，相比其余兩者更加準(zhǔn)確，MGKNMF 在單核空間中構(gòu)造多圖正則項。而提出的MGMKNMF 算法不僅用多圖來刻畫數(shù)據(jù)內(nèi)在流形結(jié)構(gòu)，更使用多核學(xué)習(xí)找到合適的核參數(shù)與核函數(shù)，進(jìn)一步增加了算法的準(zhǔn)確度。

表5～8 分別顯示了SNR 為40 dB，端元數(shù)目P不同時，各算法在這2 個模型的模擬數(shù)據(jù)上的SAD 與RMSE 值。因每次生成模擬數(shù)據(jù)時是在USGS 庫隨機選取端元，導(dǎo)致表5～8 的結(jié)果在P=6 時，與表1～4 中SNR 為40 dB 時的結(jié)果不同。可以看出，因為模擬數(shù)據(jù)非線性程度高，端元數(shù)的增加會導(dǎo)致算法解混能力的下降。相比NMF 算 法，MGMKNMF 算 法 在HAPKE 數(shù) 據(jù)中，端元為6 時，SAD 值和RMSE 值分別減少了約0.17 和0.13；在GBM 數(shù)據(jù)中，分別減少了約0.12 和0.17。和其余算法相比，MGMKNMF 算法也基本保持著最優(yōu)結(jié)果。

表1 不同SNR 下HAPKE 模型各算法的SAD 值Tab.1 SAD value of each algorithm of HAPKE model under different SNR

表2 不同SNR 下GBM 模型各算法的SAD 值Tab.2 SAD value of each algorithm of GBM model under different SNR

表3 不同SNR 下HAPKE 模型各算法的RMSE 值Tab.3 RMSE value of each algorithm of HAPKE model under different SNR

表4 不同SNR 下GBM 模型各算法的RMSE 值Tab.4 RMSE value of each algorithm of GBM model under different SNR

表5 不同端元數(shù)目下HAPKE 模型各算法的SAD 值Tab.5 SAD value of each algorithm of HAPKE model under different number of endmembers

表6 不同端元數(shù)目下GBM 模型各算法的SAD 值Tab.6 SAD value of each algorithm of GBM model under different number of endmembers

表7 不同端元數(shù)目下HAPKE 模型各算法的RMSE 值Tab.7 RMSE value of each algorithm of HAPKE model under different number of endmembers

表8 不同端元數(shù)目下GBM 模型各算法的RMSE 值Tab.8 RMSE value of each algorithm of GBM model under different number of endmembers

4.4 真實數(shù)據(jù)實驗結(jié)果及分析

本文采用真實地物Cuprite 和Jasper Ridge 數(shù)據(jù)集對MGMKNMF 的有效性進(jìn)行驗證，兩個數(shù)據(jù) 集 均 可 以 在https：//rslab. ut. ac. ir/data 中下載。

Cuprite 是高光譜解混研究常用的數(shù)據(jù)集，包含美國內(nèi)華州Cuprite 礦區(qū)。在除去低信噪比和吸水通道后，留有188 個通道可以使用。每張圖像大小為250×191，共有12 種類別。

表9 總結(jié)了在Cuprite 數(shù)據(jù)集各類算法的SAD 值?？梢钥闯觯琈GMKNMF 算法的平均SAD 值是最優(yōu)的。

圖2 為MGMKNMF 算法在Cuprite 數(shù)據(jù)集上的豐度圖。結(jié)合表9，在此算法下，12 種端元對應(yīng)的豐度圖應(yīng)是最優(yōu)的，可清晰地看出各類別的劃分情況。

圖2 MGMKNMF 算法在Cuprite 數(shù)據(jù)上的豐度圖Fig.2 Abundance graphs of MGMKNMF algorithm on Cuprite

表9 不同算法在Cuprite 數(shù)據(jù)的SAD 值Tab.9 SAD values of Cuprite data by different algorithms

由于Jasper Ridge 數(shù)據(jù)集太復(fù)雜無法處理，我們僅考慮100×100 像素的子圖像，子圖像的第一個像素從原始圖像中的第（105，269）像素開始，且去除了低噪聲和水吸收波段，保留198 個通道。所以，該高光譜遙感數(shù)據(jù)中只有樹、水、土壤和道路這4 類端元。

從表10 可以看到，提出的MGMKNMF 算法在Jasper Ridge 數(shù)據(jù)集上仍然有效，平均SAD 值依舊是最優(yōu)的。KDP 算法在KSNMF算法的基礎(chǔ)上利用光譜庫挑選端元，而MGKNMF 在單核空間應(yīng)用多圖，精度僅次于MGMKNMF。

表10 不同算法在Jasper Ridge 數(shù)據(jù)的SAD 值Tab.10 SAD values of Jasper Ridge data by different algorithms

圖3 為Jasper Ridge 數(shù)據(jù)集各算法解混出的豐度圖，從左至右分別對應(yīng)樹、水、土壤和道路這4 個端元。

圖3 各算法在Jasper Ridge 的豐度圖Fig.3 Abundance graphs of each algorithm on Jasper Ridge

從圖3 可看出，NMF 算法與真實地物豐度相差很大，尤其在水這一端元上；GNMF 算法比NMF 算法的豐度圖清晰。而其余的5種算法均在核空間進(jìn)行，豐度圖明顯優(yōu)于NMF 和GNMF，其中水的豐度圖更接近真實地物。相比其他算法，在核空間進(jìn)行的算法盡管其豐度圖的區(qū)別甚微，但結(jié)合表10 的數(shù)據(jù)，可 以 看 到，MKNGNMF 算 法 的SAD 值 是最優(yōu)的。

5 結(jié)論

本文提出了一種MGMKNMF 高光譜非線性解混算法。該算法用多個核函數(shù)構(gòu)造出了多核空間，且在學(xué)習(xí)過程中不斷更新核函數(shù)權(quán)重，更有利于揭示原始數(shù)據(jù)的非線性結(jié)構(gòu)；并在多核空間用圖權(quán)重向量將多個圖拉普拉斯矩陣線性組合，與豐度矩陣最終構(gòu)成多核空間的多圖正則項。相比單圖正則項，多核空間的多圖正則項將更加逼近原始數(shù)據(jù)的非線性流形結(jié)構(gòu)?；? 個真實數(shù)據(jù)集和2 個模擬數(shù)據(jù)集的實驗結(jié)果表明，相比GNMF、npKNMF、KSNMF、MGKNMF 和KDP 算法，MGMKNMF 算法確實是最優(yōu)的，它更合適于復(fù)雜的高光譜數(shù)據(jù)。