楊松楠，張曉暉*，劉媛媛，張金生，席曉莉

（1. 西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048；2. 西安高新技術(shù)研究所，陜西 西安 710000）

1 引言

近年來，弱磁環(huán)境在航空航天、光學研究、生物研究和通信等方面的應(yīng)用愈加廣泛［1］。作為一種能夠減弱外部干擾磁場，營造弱磁環(huán)境封閉空間的裝置，磁屏蔽室（Magnetic Shielded Room，MSR）得到廣泛研究。在磁屏蔽室中，受磁場影響較大的精密設(shè)備，譬如基于磁流體（Magnetic Fluid，MF）的光學傳感器［2］或超導量子干涉儀（Supperconducting Quantum Interference Device，SQUID）［3］等的測量精度將會得到極大提升。高效的磁屏蔽室設(shè)計策略通常是使用多個封閉的金屬層實現(xiàn)減弱屏蔽室目標區(qū)域中的磁場。然而，屏蔽室在建造時層疊材料厚度、絕緣層厚度以及不同材料特性的組合都會影響屏蔽室的屏蔽性能［4］。

對屏蔽室結(jié)構(gòu)的優(yōu)化是一個典型的多目標優(yōu)化問題，國內(nèi)外學者對多目標優(yōu)化問題有著深入的研究，目前常用的多目標優(yōu)化算法有NSGAII［5］、SPEA2［6］和MOEA/D［7］等算法。Canova等人［8］提出使用矢量免疫系統(tǒng)（Vetor Immune System，VIS）算法［9］來優(yōu)化屏蔽室金屬層疊結(jié)構(gòu)，增強屏蔽性能，通過分析屏蔽材料在瑞利（Rayleigh）區(qū)域工作時的磁特性來評估圓柱體和球體屏蔽室的屏蔽性能，其優(yōu)化方法是通過尋找每個單層材料的最優(yōu)解來提升整個疊層性能。Li 等 人［10］提 出 使 用NSGAII 算 法 來 優(yōu) 化 四 層 屏蔽疊層，其使用Matlab 工具箱來求取算法的多目標函數(shù)最小值。該方法能夠優(yōu)化屏蔽疊層，但NSGAII 算法仍然存在收斂速度慢，種群分布不均，全局搜索能力差的問題，因此使用該方法對屏蔽疊層進行優(yōu)化的方法仍然存在改進的空間。由Canova 與Li 等人的研究可以看出：在滿足屏蔽性能要求的前提下，如何尋找最優(yōu)的屏蔽室金屬疊層厚度以及空氣層厚度，并同時節(jié)省屏蔽室的整體造價可以被看作是一個低維多目標優(yōu)化問題，能夠使用多目標優(yōu)化算法來求解。文獻［11］說明VIS 算法用于求解高維多目標優(yōu)化問題時具有一定的優(yōu)勢，而針對低維多目標優(yōu)化問題則存在收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)解等問題，因而解決屏蔽室疊層優(yōu)化問題更適合使用NSGAII 及其改進算法。因此，本文將在Canova與Li 等人的基礎(chǔ)上進行研究，以尋找更好的疊層優(yōu)化方法。

針對上述問題，本文利用基因分段交叉策略并使用自適應(yīng)變異算子對NSGAII 算法進行改進，提 出 CSA-NSGAII （NSGAII Segmental Crossover Strategy with Adaptive Variation Operator）算法。該算法能夠在迭代初期更均勻地搜索解空間，并隨著進化的深入提升局部搜索解的能力，從而獲得更高的收斂性與更均勻的種群分布。本文通過使用標準的ZDT 測試函數(shù)對CSA-NSGAII 與NSGAII［5］、MOEA/D［7］、NSGAII-SDR［12］和g-NSGAII［13］算 法 的 性 能 進 行 了對比，結(jié)果顯示本文方法在收斂性與解的均勻性上均有較大提升。最后，本文以多層屏蔽室的建設(shè)成本與建造質(zhì)量作為待優(yōu)化問題，以不同屏蔽層的厚度作為優(yōu)化目標，使其在滿足屏蔽性能的約束下達到最優(yōu)，從而構(gòu)成多目標優(yōu)化問題。該問題應(yīng)用本文提出的CSA-NSGAII 算法求取帕累托最優(yōu)解能夠更好地平衡建設(shè)成本與建造質(zhì)量，預測出不同頻率下每種材料的最佳使用厚度，為磁屏蔽室的實際建造提供最優(yōu)的理論設(shè)計。

2 研究問題與優(yōu)化模型

2.1 金屬薄板的屏蔽特性

對于磁屏蔽室性能的主要評價指標是屏蔽性能（Shield Effectiveness，SE），該指標采用屏蔽室建設(shè)前后的磁場強度或磁感應(yīng)強度的比值來計算［14］。如圖1 所示，為多層磁屏蔽室，將該室置于磁場中，可以將外部磁場反射或吸收，在裝置內(nèi)部形成一個弱磁環(huán)境。

圖1 多層磁屏蔽室示意圖Fig.1 Schematic diagram of multilayer magnetic shielding room

磁屏蔽主要利用金屬板對電磁波的吸收和反射損耗，吸收損耗是指電磁波通過屏蔽室時產(chǎn)生渦流發(fā)熱而使其能量得以消耗，反射損耗是指電磁波射入到不同介質(zhì)的分界面時，發(fā)生反射使穿過界面的能量減弱來降低屏蔽室內(nèi)部磁感應(yīng)強度［15］。影響屏蔽性能的因素主要有材料磁導率、材料電導率、材料層厚度與空氣層厚度。電磁波穿過厚度為t的屏蔽室時吸收損耗可表示為［16］：

其中：A為吸收損耗，單位為dB；t為材料板厚度，單位為m；f為被抑制的電磁波頻率，單位為Hz；μr為屏蔽材料的相對磁導率；σr為屏蔽材料的相對電阻率。

根據(jù)磁力波的阻抗將反射損耗分為低、中、高三部分，分別對應(yīng)磁場、平面波和電場的損耗。對于磁屏蔽室，主要計算低阻抗場所引起的反射損耗，其計算公式為［16］：

其中：R為反射損耗，單位為dB；r表示源到屏蔽層的距離，單位為m；f為被抑制的電磁波頻率，單位為Hz；μr為屏蔽材料的相對磁導率；σr為屏蔽材料的相對電阻率。

如圖2 與圖3 所示分別為厚度t=1 mm 的單層金屬板吸收損耗、反射損耗隨頻率的變化曲線。圖中，硅鋼的相對磁導率μr=1 000，相對電阻率σr=0.17；鋁的相對磁導率μr=1，相對電阻率σr=0.61；1J85 坡莫合金的相對磁導率μr=80 000，相對電阻率為σr=0.03。由圖2 可以看出，坡莫合金與硅鋼的吸收損耗會隨著干擾頻率的增加而增加，而鋁的吸收損耗微乎其微。由圖3 可以看出，鋁的反射損耗隨著頻率的增加而增加，而坡莫合金與硅鋼的反射損耗則隨著頻率的增加而減少。通過分析可得，坡莫合金對于中低頻磁場屏蔽的效果最好，但價格昂貴；硅鋼對于中低頻磁場具有一定的屏蔽效果，且價格便宜；鋁對于較高頻率磁場屏蔽效果較好，但對低頻磁場效果較差。坡莫合金的單價約為硅鋼的10 倍，鋁的6 倍。因此，可以使用多種材料組合來提升屏蔽性能，同時降低建造成本。本文使用CSANSGAII 算法，對由三種不同特性的金屬材料建成的多層磁屏蔽室疊層結(jié)構(gòu)這一多目標問題進行優(yōu)化，以尋求最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，在滿足屏蔽性能的同時有效降低造價。

圖2 吸收損耗曲線Fig.2 Absorption loss curve

圖3 反射損耗曲線Fig.3 Reflection loss curve

2.2 多層屏蔽室屏蔽性能估算方法

對于多層屏蔽室的屏蔽性能（PSE），可由吸收損耗（A）、反射損耗（R）以及多次反射修正項（B）三者進行計算。單層金屬板結(jié)構(gòu)屏蔽室的吸收損耗與反射損耗可由公式（1）與公式（2）得出。相比于單層金屬板結(jié)構(gòu)的屏蔽室，多層屏蔽室的金屬層之間是絕緣的，低吸收損耗的薄壁屏蔽層會出現(xiàn)多次反射，需要額外計算多次反射修正項（R），而反射修正項與空氣層的厚度直接相關(guān)，因此，空氣層厚度也是影響屏蔽性能的重要因素［17］。對于三層金屬疊層結(jié)構(gòu)，屏蔽性能可通過以下公式估算［16］：

其 中：Ai表 示 第i層吸收損耗，Ri表 示 第i層反射損耗，B12表示第一層與第二層的修正項，B23表示第二層與第三層的修正項。B12的計算公式為［16］：

其中：Zm表示金屬板的特性阻抗，單位為Ω；Zw表示空氣層波阻抗，單位為Ω；tair_12表示第一層與第二層金屬層之間的空氣層厚度，單位為m；λ0表示被抑制頻率的波長，單位為m。同理可以計算出B23，即第二層與第三層的修正項。因此，由公式（4）可以得出，當選定材料后，影響三層屏蔽室性能的決策變量有五個：三層金屬的厚度t1，t2，t3及兩層空氣層厚度tair_12和tair_23。

2.3 多層磁屏蔽疊層結(jié)構(gòu)多目標優(yōu)化模型

多目標優(yōu)化問題的數(shù)學表達式為

其 中 ，Ω∈Rn表 示 決 策 空 間 ，且x=(x1，x2，…，xn)T表示決策向量，Rm表示m維目標空間。

多層磁屏蔽疊層結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可以描述為：n層厚度為t的相同材質(zhì)或不同材質(zhì)的磁屏蔽材料組成一個滿足屏蔽性能的屏蔽體所需每種材料的最佳厚度以及整體最低造價。因此，本文以建造成本、建造質(zhì)量為目標函數(shù)，以屏蔽性能與建造尺寸為約束條件，以材料厚度與空氣層厚度為決策變量，為使用硅鋼、鋁和坡莫合金三種材料的多層磁屏蔽結(jié)構(gòu)進行建模。另外，由于空氣層并不會增加額外的建造成本，但會對屏蔽性能產(chǎn)生重大影響，因此模型還設(shè)置了一個目標函數(shù)，用于獲得最優(yōu)的空氣層厚度。由公式（6）可以看出，多層磁屏蔽疊層優(yōu)化問題的數(shù)學模型為非線性模型，同時，約束為非線性約束。在滿足屏蔽性能的約束下，屏蔽室的建造總成本與總體質(zhì)量將成為兩個沖突的目標，需要對這兩個目標進行折衷考慮才能找到最優(yōu)解，這滿足多目標優(yōu)化問題的基本形式。本文所使用的多目標優(yōu)化數(shù)學模型為：

其中：ti為第i層材料的厚度，單位為m；Si為第i層材料所使用的面積，單位為m2，其中第一層材料面積為S1=((2×t1+d)3-d3)/t1，第二層材料 面 積 為S2=((2×t1+2×tair_12+2×t2+d)3-(2×t1+2×tair_12+d)3)/t2，以 此 類 推 可以求得公式中S3，Sair_12，Sair_23的大小；d為屏蔽室內(nèi)徑；ρi為第i層材料的密度，單位為kg/m；Pi為第i層所使用的材料的單價，單位為CNY/kg；tair_i為第i層空氣層厚度，單位為m；ρair為空氣密度，單位為kg/m3；PSETarget為屏蔽室性能設(shè)計要求最小值，常數(shù)，單位為dB；結(jié)合公式（3），約束PSE可由如下公式進行計算：

3 用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的CSA-NSGAII算法

根據(jù)第2.3 節(jié)所述，層疊結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一種有約束的多目標優(yōu)化問題，多個目標在約束區(qū)域應(yīng)盡可能同時最佳。多目標優(yōu)化的解通常是一組均衡解，即帕累托（Pareto）最優(yōu)解［18］。帕累托解的等級定義為：尋找當前解集中的帕累托最優(yōu)解，標記為等級1 并從解集中刪除，然后在剩余解集中繼續(xù)尋找帕累托解，標記為等級2，并從解集中刪除，以此類推，循環(huán)求解，并分別標記為等級3，4，…，并最終確定所有帕累托最優(yōu)解的等級，此過程稱為帕累托排序或非支配排序。NSGAII算法是在第一代遺傳算法的基礎(chǔ)上引入非支配排序與聚集距離的概念，在進行多次排序后，將帕累托解的解集集中在一個前沿面上，稱為帕累托前沿，帕累托前沿上的解為最優(yōu)解集［19］。由于NSGAII 算法在解決復雜的非線性問題時常常會在獲得全局最優(yōu)解前陷入某個局部極值而發(fā)生未成熟的收斂。因此，為了避免算法在早期陷入局部極值，本文提出CSA-NSGAII 算法，通過利用分段交叉策略，并將柯西隨機分布引入變異算子來提高種群的多樣性，使種群保持持續(xù)進化的能力，以此提高算法的全局搜索能力、增強收斂性能、更能逼近帕累托最優(yōu)解。CSA-NSGAII 算法的流程圖如圖4 所示，算法首先生成初始種群，利用適應(yīng)度函數(shù)對種群進行分級；然后選取兩組父代，隨機大小對父代基因進行分段，并抽取分段后的基因進行交叉操作。對完成交叉后的子代根據(jù)迭代過程自適應(yīng)變異，以保證在初期算法能夠搜索整個解平面，并隨著迭代過程的深入逐步縮小最優(yōu)解的搜索范圍；最后將變異完成的子代與父代作為初始種群再次進行上述流程，直至迭代次數(shù)滿足要求。

圖4 CSA-NSGAII 算法流程圖Fig.4 Flow chart of CSA-NSGAII algorithm

3.1 針對交叉的改進

具體改進是將NSGAII 算法中二進制交叉算子替換為實數(shù)編碼的交叉算子并進行分段，在兩個父代構(gòu)成的空間內(nèi)生成多個子集，隨機選擇一對子集進行交叉，該方法可以提高種群的多樣性，以防止陷入局部最優(yōu)。改進的具體方法為：

（1）對于一個初始種群P，隨機選取兩個父代個體P1與P2，n表示變量個數(shù)：

（2）求取兩個父代個體P1與P2中各基因位上的最大值與最小值：

（3）將第n個基因位上的數(shù)離散為j個：

則離散后得到的新的j個父代個體可表示為：

（4）利用分段策略將所有基因進行劃分，在1到n之間隨機生成k-1 個不同的正整數(shù)(S1，S2，…，Sk-1)，然后將父代的n個基因隨機分為k段，

（5）隨機生成一個正整數(shù)v∈[1，k]，對E1v段與E2v段的基因進行互換。

3.2 針對變異的改進

在遺傳算法迭代過程中，種群能夠不斷地進化依賴于種群的多樣性，豐富的種群個體是保持種群進化的動力，種群的多樣性將提高算法的收斂速度。個體本質(zhì)上是由不同的基因構(gòu)成的，種群中個體之間的差異本質(zhì)上是各個片段上的基因差異，通過對變異的改進，可以提升種群基因的變異強度，使個體結(jié)構(gòu)的差異增大。本文所提出的CSA-NSGAII 算法對基因變異的強度進行了改進，將柯西隨機分布引入變異算子，增大隨機變異的強度，變異程度隨變異過程自適應(yīng)變異。改進后的變異操作，在初始迭代時可以避免陷入局部最優(yōu)，隨著迭代過程的深入，可以使算法在局部搜索精確解。本文針對變異的改進是通過隨機選取一個父代個體P1，對其中的一個元素m進行變異，m為1 到n之間的一個隨機正整數(shù)。P′1=(x11，x12，…，x′1m，…，x1n)為變異結(jié)果，對于x′1m的變異操作為：

（1）隨機變異步長μ=rand[0，1]；

（2）變異因子：

其 中 ，σ1=(x1m-x1mmin)/(x1mmax-x1mmin)，σ2=(x1mmax-x1m)/(x1mmax-x1mmin)，x1mmax為Pmax中 的 第m個 元 素，x1mmin為Pmin中 的 第m個元素，C(0，1)表示以0 為中心，尺度參數(shù)為1的柯西隨機分布，相較于正態(tài)分布，柯西分布能夠使算法具有較好的全局搜索與局部搜索能力。

（3）變異的x′1m從以下策略中隨機選擇：

其中：T為最大迭代次數(shù)，t為當前迭代次數(shù)。算法在迭代開始時t較小，可以產(chǎn)生較強的變異效果，使算法能夠均勻的搜索解空間。隨著迭代過程的深入，t不斷增大，變異效果減弱，基因中的x1mmax占據(jù)主導地位，可將優(yōu)勢基因保留下來，并使算法在一個局部區(qū)域中進行搜索。

提出的CSA-NSGAII 算法的具體步驟如下：

（1）初始化算法參數(shù)，譬如種群規(guī)模、迭代次數(shù)、交叉與變異概率等；

（2）初始化一個種群，計算每個種群的適應(yīng)度，并進行非支配排序，根據(jù)排序結(jié)果進行分級；

（3）使用錦標賽選擇方法根據(jù)適應(yīng)度進行選擇，產(chǎn)生一組父代種群；

（4）在父代種群中進行隨機配對，兩兩一組進行交叉與變異操作，對每個子代個體進行擁擠度計算，提高種群的多樣性，選取最優(yōu)個體到子代種群中；

（5）將父代與子代種群合并，再次進行非支配排序，根據(jù)擁擠度選取最優(yōu)種群；

（6）將上述過程所產(chǎn)生的種群作為下一次循環(huán)中的父代種群再次進行交叉、變異、排序操作，直至滿足循環(huán)的終止條件。

CSA-NSGAII 算法能夠彌補NSGAII 算法種群多樣性保持策略中的不足，針對交叉與變異的部分進行改進，使算法具有更好的全局和局部搜索能力，能夠更好地提高算法的收斂精度、保持種群的多樣性并能夠有效防止算法陷入局部最優(yōu)。

4 實驗與結(jié)果

4.1 CSA-NSGAII 性能測試

為驗證CSA-NSGAII 算法的收斂性能與解的分布情況，本文選取經(jīng)典的ZDT 系列函數(shù)作為測試函數(shù)，將本文算法與NSGAII 算法、NSGAII-SDR 算 法、g-NSGAII 算 法 與MOEA/D 算法進行了比較。選取ZDT 系列函數(shù)原因是其與本文提出優(yōu)化問題的形式相近，都屬于兩個目標的多目標優(yōu)化問題，從而能夠分析在相同的評價下CSA-NSGAII 算法的有效性。其中，ZDT1 函數(shù)為：

對于ZDT1 問題，可以用于測試算法處理帕累托前沿分布均勻、最優(yōu)解集為凸解集、且沒有局部極值時所表現(xiàn)出來的性能。算法測試時使用同樣的參數(shù)：種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9，對于g-NSGAII點數(shù)設(shè)置為100。四種對比算法在ZDT1 上的測試結(jié)果如圖5 所示，可以較為明顯地看出，在完成整個迭代過程后，本文CSA-NSGAII 算法所求出的解分布更均勻且更貼近帕累托最優(yōu)解。

圖5 ZDT1 測試曲線Fig.5 ZDT1 test curve

ZDT2 函數(shù)可以用于測試前沿分布均勻，最優(yōu)解集為凹解集，且沒有局部極值時算法的性能。其中，ZDT2 函數(shù)為：

對于ZDT2 問題，參數(shù)為種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9。測試結(jié)果如圖6 所示?？梢钥闯觯琋SGAII、CSA-NSGAII 算法與g-NSGAII 算法都能夠收斂，但CSA-NSGAII 算法所求的解分布更加均勻；CSA-NSGAII 算 法 比NSGAII-SDR 和g-NSGAII 算法有更好的收斂效果。

圖6 ZDT2 測試曲線Fig.6 ZDT2 test curve

ZDT3 函數(shù)用于測試具有多個凸解集，且解集不連續(xù)時算法的性能。其中，ZDT3 函數(shù)為：

對于ZDT3 問題，設(shè)置參數(shù)：種群規(guī)模為 100，迭代次數(shù)為10 000，交叉變異概率為0.9。測試結(jié)果如圖7 所示?？梢钥闯觯琋SGAII、CSA-NSGAII 算 法 與g-NSGAII 算 法 都能夠收斂到理論值，NSGAII-SDR 算法需要更多迭代次數(shù)才能完成收斂。這說明CSA-NSGAII 算法能夠在ZDT3 問題上收斂，解集分布均勻。

圖7 ZDT3 測試曲線Fig.7 ZDT3 test curve

為了進一步定量分析改進算法的性能，本文采用世代距離（GD）測度、反世代（IGD）測度、均勻性（Spacing）與運行時間（Runtime）這四個指標對算法的性能進行評判，其中：

GD 用于評價算法的收斂程度，其計算公式為：

其中：n表示變量個數(shù)，p=2，di表示算法每一個解距真實解的歐幾里得距離。IGD值越小，表明算法的收斂性越好。

IGD 用于評價算法的綜合性能，其計算公式為：

其中：jˉ表示到最終解集P中個體iˉ的最小歐幾里得距離。IIGD值越小，表明算法得到的近似解集越接近真實解集，算法的收斂性與均勻性越好。

Spacing 用于評價算法解集中的個體在目標空間的分布情況，其計算公式為：

其中：PF表示已知的帕累托最優(yōu)面，di是指解集中非支配邊界上兩個連續(xù)向量的歐幾里得距離，dˉ表示這些距離的平均值。這種方法適用于在ZDT 測試函數(shù)上評價算法解的均勻性，Spacing的值越小表明解集越均勻。

將本文提出的CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算 法、NSGAII-SDR 算 法、g-NSGAII 算 法和MOEA/D 算法進行了比較，結(jié)果如表1 所示，其中黑色加粗數(shù)據(jù)為對比中獲得的最優(yōu)結(jié)果，表中結(jié)果為運行30 次測試的平均值。由表1 可以看出：

表1 性能測試結(jié)果Tab.1 Performance test results

（1）在GD 評價中，本文所提出的CSA-NSGAII 算法在ZDT1 上表現(xiàn)最好，相比第二名g-NSGAII 算 法GD 降 低 了17%；CSA-NSGAII 算法在ZDT2 上略遜于NSGAII 算法，為第二名；在ZDT3 上表現(xiàn)最好，相比第二名g-NSGAII 算法GD 降低了51%。

（2）在IGD 評價中，本文所提出的CSA-NSGAII 算 法 在ZDT1 上 略 遜 于g-NSGAII 算 法，為第二名；在ZDT2 上表現(xiàn)最好，相比第二名NSGAII-SDR 算 法IGD 降 低 了43%；在ZDT3 上 表現(xiàn)最好，相比第二名的g-NSGAII 算法IGD 降低了37%。

（3）在Spacing 評價中，本文所提出的CSANSGAII 算法在ZDT1 上表現(xiàn)最好，相比第二名NSGAII-SDR 算 法Spacing 降 低 了29%；在ZDT2 上表現(xiàn)略遜于MOEA/D 算法，但比NSGAII 方法更好；在ZDT3 上表現(xiàn)最好，相比第二名的g-NSGAII 算法Spacing 降低了5%。

（4）在Runtime 評價中，由于本文增加了分段交叉與自適應(yīng)變異，因此增加了部分計算量，使得計算速度并不占優(yōu)。在ZDT1 上測試，相比于第一名g-NSGAII 算法，CSA-NSGAII 算法計算時間增加了15%；在ZDT2 上測試，相比于第一名MOEA/D 算 法，CSA-NSGAII 算 法 計 算 時 間增加了5%，但為NSGAII 算法中最快；在ZDT3上測試，相比NSGAII 算法計算時間增加了48%，消耗了更多的時間。

對性能測試結(jié)果進行分析，CSA-NSGAII 算法在ZDT1、ZDT2 與ZDT3 測試中的收斂性評價與均勻的分布性評價具有較好的表現(xiàn)，相較于NSGAII、NSGAII-SDR、g-NSGAII 與MOEA/D算法在部分評價中具有一定的優(yōu)勢。改進后的方法雖然消耗了更多的計算時間，但獲得的收斂性與均勻性的提升是非?？捎^的。本文將使用CSA-NSGAII 算法求解2.3 節(jié)中所提出的多目標優(yōu)化問題，以驗證本文方法的實用性。

4.2 使用CSA-NSGA 對屏蔽室疊層的優(yōu)化

應(yīng)用CSA-NSGAII 算法對本文提出的多目標函數(shù)進行求解時，所使用的材料參數(shù)如表2 所示。試件由內(nèi)至外材料分別為中冶恒泰1J85 坡莫合金，寶鋼B50A250 無取向硅鋼以及中鋁1060 鋁板，不同的金屬層疊順序會對屏蔽結(jié)果產(chǎn)生影響，但已有文獻說明該順序用于磁場屏蔽時性能最佳［16，20］。如使用其他材料，僅需對模型中參數(shù)進行修改即可完成優(yōu)化。其中，相對磁導率是特殊介質(zhì)的磁導率與真空磁導率的比值，相對電阻率是指規(guī)定體積的退火銅電阻率與同單位的試樣材料的電阻率之比。

表2 屏蔽材料相關(guān)參數(shù)Tab.2 Relevant parameters of shielding materials

將2.3 節(jié)中的優(yōu)化問題帶入改進方法中，所得出的帕累托解如圖8 所示。設(shè)定優(yōu)化目標為：屏蔽室的屏蔽性能在1 Hz 頻率變化磁場中能夠滿足大于70 dB 的效能，屏蔽效能的計算公式為PSE=20log(H0/H)，其中，H0為屏蔽室建設(shè)前的磁場，H為屏蔽室建設(shè)后的剩余磁場。

圖8 頻率為1 Hz 時的多目標最優(yōu)解Fig.8 Multi-objective optimal solution at frequency of 1 Hz

由4.1 節(jié)可知，使用本文提出的CSA-NSGAII 算法相比NSGAII 算法能夠獲得更小的建造成本與更低的總質(zhì)量，由圖8 可以看出，使用CSA-NSGAII 用于預測本文的問題在整個空間中獲得的解都優(yōu)于NSGAII 所求得的解，且解的分布性更好。在同樣的約束條件下，CSA-NSGAII 算法能夠更加逼近帕累托解，且解更加具有多樣性，這與4.1 節(jié)在ZDT 函數(shù)上的測試結(jié)果相吻合，說明相較于NSGAII 算法，本文提出的CSA-NSGAII 算法更適合尋找屏蔽室的最優(yōu)疊層結(jié)構(gòu)。使用本文提出的CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算法對屏蔽室最低造價進行預測，不同頻率下每種材料的厚度以及最終造價如表3 所示。為了屏蔽低頻磁場需要更多的反射損耗，屏蔽疊層需要較多的高磁導率材料（坡莫合金），預測結(jié)果與理論模型吻合。硅鋼可以在一定程度上替代坡莫合金，并且價格相對便宜。優(yōu)化模型提高了疊層中硅鋼的厚度從而減少了建造成本，隨著頻率的上升，所需的高導磁率材料逐漸減少，并且可以通過增大空氣層厚度來大幅節(jié)約建造成本。通過對比兩種方法所求出的最優(yōu)解，可以明顯地看出：相比NSGAII 算法，本文算法在所測試的所有頻率都能獲得更優(yōu)的層疊結(jié)構(gòu)。由于屏蔽不同頻率所使用的材料厚度不同，本文使用以下的方法來評價CSA-NSGAII 算法與NSGAII 算法用于求取最優(yōu)層疊結(jié)構(gòu)時能夠節(jié)約的成本：

其中：ZNSGAII(i)表示屏蔽頻率為i時NSGAII 算法計算屏蔽室的造價，ZCSA-NSGAII(i)表示屏蔽頻率為i時CSA-NSGAII 算法計算屏蔽室的造價。用該公式計算表3 中的數(shù)據(jù)可知，本文提出的CSA-NSGAII 算法相比NSGAII 算法可以平均節(jié)省約14%的建造成本。

表3 原始方法與改進方法求得的優(yōu)化結(jié)構(gòu)及最低成本Tab.3 Optimal laminated structure and the lowest cost obtained by the original NSGAII and the CSA-NSGAII

本文驗證實驗的平臺如圖9 所示。其中，圖9（a）為已建成磁屏蔽室，該屏蔽室能夠屏蔽外部干擾磁場，在屏蔽室中提供一個近零磁環(huán)境，可使實驗數(shù)據(jù)更加準確。圖9（b）為三軸亥姆霍茲線圈，亥姆霍茲線圈是一種制造小范圍區(qū)域均勻磁場的器件，使用該裝置可以產(chǎn)生nT 級至T 級磁場，另外磁場與線圈電流有很好的線性關(guān)系，因此可以產(chǎn)生與電流變化頻率相同的變化磁場。本文將測試件放置于該實驗裝置中進行實驗，由于該實驗僅與磁場強度有關(guān)，因此本文實驗時為方便測試，僅使用水平方向線圈產(chǎn)生磁場。

圖9 實驗平臺Fig.9 Experimental platform

實驗試件使用中冶恒泰1J85 坡莫合金，寶鋼B50A250 無取向硅鋼以及中鋁1060 鋁板制成。試件材料厚度參考表3 中的最優(yōu)厚度，根據(jù)實際能夠購買到的材料，實驗試件坡莫合金層由0.5 mm 與0.1 mm 厚的薄片疊加組成；硅鋼層由0.5 mm 厚的薄片疊加組成；鋁層由2 mm，1 mm 與0.5 mm 厚的鋁板疊加組成；金屬層厚度向上取整，層與層之間由木板填充形成空氣層，試件由內(nèi)至外每層材料實際厚度如表4所示。

本文使用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生了變化頻率為1 Hz、強度為32 000 nT 的磁場與變化頻率為50 Hz、強度為32 000 nT 的磁場對兩個試件進行實驗，測試中使用MS-03AR 型三軸磁傳感器對試件的屏蔽效果進行了測量，實驗數(shù)據(jù)如表4 所示。由表4 可以看出雖然測試時外部磁場強度會有少量偏差，但經(jīng)多次實驗兩種試件均能實現(xiàn)約70 dB 的屏蔽效果，說明由本文改進后的NSGAII 算法能夠?qū)ζ帘委B層進行優(yōu)化，且優(yōu)化結(jié)果具有一定的實際使用價值。

表4 試件參數(shù)及實驗數(shù)據(jù)Tab.4 Specimen parameters and experimental data

5 結(jié)論

本文提出將CSA-NSGAII 算法用于優(yōu)化多層屏蔽室的疊層結(jié)構(gòu)，預測屏蔽室的質(zhì)量與造價。本文首先提出使用分段交叉策略與自適應(yīng)變異算子的CSA-NSGAII 算法。然后，使用CSA-NSGAII 算法對屏蔽結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化，仿真及實驗結(jié)果表明：

（1）經(jīng)ZDT 測試函數(shù)驗證，CSA-NSGAII 算法 與NSGAII 算 法、NSGAII-SDR 和g-NSGAII相比在GD、IGD 等指標上都具有顯著提升，證明改進算法在收斂性能與種群分布均勻性上改進的有效性。

（2）應(yīng)用CSA-NSGAII 算法對磁屏蔽結(jié)構(gòu)的多目標優(yōu)化問題求解，比NSGAII 方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)節(jié)省14%的建設(shè)成本，且優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在實際的平臺中進行測試，能夠滿足設(shè)計性能。說明本文提出算法的實用性。

（3）CSA-NSGAII 的實用性范圍廣，不僅可以用于磁屏蔽室的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，同時可以進一步推廣到更多的應(yīng)用場景，譬如電磁屏蔽室的結(jié)構(gòu)優(yōu)化等應(yīng)用。