董曉芳高陽張良勇

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050061)

排序集抽樣(RSS)方法適用于樣本易于排序但不易于測量的場合,已經(jīng)被應(yīng)用到農(nóng)林業(yè)、可靠性管理、醫(yī)學(xué)等不同領(lǐng)域[1-6].在壽命試驗(yàn)中指數(shù)分布是一種非常重要的分布[7],基于RSS方法的指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)問題,已有一些文獻(xiàn)進(jìn)行了討論.Bhoj[8]提出用排序集樣本均值來估計(jì)指數(shù)分布參數(shù),并證明了其估計(jì)效率高于簡單隨機(jī)樣本均值.Zheng等[9]討論了RSS下指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)(MLE),但是其似然方程沒有顯式解.Shadid等[10]給出了RSS下指數(shù)分布參數(shù)的修正最優(yōu)線性無偏估計(jì),數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明RSS方法的抽樣效率高于簡單隨機(jī)抽樣(SRS)方法.Chacko[11]研究了RSS下二元指數(shù)分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì),證明了即使在排序不完美情形下RSS抽樣效率仍然高于SRS方法.Chen等[12]考慮了RSS下單參數(shù)指數(shù)分布族參數(shù)的MLE,根據(jù)樣本族的性質(zhì)找到最優(yōu)聚類,并在一定條件下證明了MLE的存在性和唯一性.董曉芳等[13]研究了RSS下指數(shù)分布參數(shù)的修正MLE,并給出了產(chǎn)品可靠度的修正估計(jì)量.

當(dāng)估計(jì)指數(shù)分布參數(shù)時(shí),文獻(xiàn)[8-13]證明了RSS方法的抽樣效率高于SRS方法.但是,這些文獻(xiàn)研究的排序集樣本測量值都是完全數(shù)據(jù).在許多壽命試驗(yàn)中,由于時(shí)間、經(jīng)費(fèi)等限制只能得到定時(shí)截尾數(shù)據(jù),定時(shí)截尾是指試驗(yàn)到指定時(shí)間就立即停止.針對定時(shí)截尾指數(shù)壽命數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問題,本文利用RSS下定時(shí)截尾樣本,研究指數(shù)分布參數(shù)的MLE及其修正估計(jì),并比較RSS下修正MLE和SRS下MLE的估計(jì)效率.

1 排序集抽樣下定時(shí)截尾樣本

RSS方法的抽樣步驟[14]如下:第1步,從總體中隨機(jī)抽取m2個(gè)個(gè)體,隨機(jī)分成m個(gè)小組,每個(gè)小組m個(gè)個(gè)體;第2步,利用主觀經(jīng)驗(yàn)判斷、專家觀點(diǎn)等易于獲得的直觀信息將每個(gè)小組從小到大排序; 第3步,在第i個(gè)小組內(nèi)選出排序?yàn)閕的個(gè)體,i=1,2,…,m.

以上3步為1次循環(huán),進(jìn)行k次循環(huán),就可以得到樣本量為n=mk的排序集樣本.如果令T(i)j為第j次循環(huán)內(nèi)第i個(gè)排序小組中排序?yàn)閕的樣本單元,那么排序集樣本為T(i)j,i=1,2,…,m;j=1,2,…,k.

在定時(shí)截尾模型下,若事先規(guī)定停止試驗(yàn)時(shí)間為t0,則樣本只能觀察到

2 RSS下指數(shù)分布參數(shù)的MLE

3 RSS下指數(shù)分布參數(shù)的修正MLE

4 相對效率

令Ti(i=1,2,…,n)為抽自總體T的簡單隨機(jī)樣本,總體T服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布.在定時(shí)截尾模型下,若事先規(guī)定的停止試驗(yàn)時(shí)間為t0,則簡單隨機(jī)樣本只能觀察到

表1 估計(jì)量E 與的偏差、均方誤差和相對效率Tab.1 Biases,mean square errors and relative efficiencies of estimatorsand

表1 估計(jì)量E 與的偏差、均方誤差和相對效率Tab.1 Biases,mean square errors and relative efficiencies of estimatorsand

θ k m B(θ^RSS MMLE) B(θ^SRS MLE) MSE(θ^RSS MMLE) MSE(θ^SRS MLE) RE(θ^RSS MMLE,θ^SRS MLE)0.5 5 5 0.004 5 8 0.002 5 10 0.000 1 10 5 0.001 0-0.029 6-0.025 3-0.024 9-0.025 4 0.006 9 0.002 7 0.001 8 0.003 4 0.008 6 0.005 4 0.004 5 0.004 5 1.246 4 2.000 0 2.500 0 1.323 5 8 0.001 2-0.026 2 0.001 4 0.003 1 2.214 3 10 0.000 1-0.026 5 0.000 9 0.002 7 3.000 0 1 5 5 0.005 5-0.102 9 0.026 9 0.034 7 1.290 0 8 0.002 9 10 0.002 7 10 5 0.005 0-0.102 5-0.103 2-0.102 2 0.010 9 0.007 1 0.013 2 0.025 3 0.022 5 0.022 3 2.321 1 3.169 0 1.689 4 8 0.002 8-0.103 7 0.005 4 0.018 2 3.370 4 10 0.000 8-0.102 8 0.003 5 0.016 3 4.657 1 3 5 5 0.021 4-0.418 4 0.245 2 0.367 7 1.499 6 8 0.012 0 10 0.003 5 10 5 0.004 5-0.418 3-0.419 7-0.414 5 0.099 9 0.065 2 0.117 6 0.297 9 0.271 9 0.267 8 2.982 0 4.170 2 2.277 2 8 0.003 9-0.420 1 0.048 3 0.237 3 4.913 0 10 0.003 3-0.419 6 0.030 6 0.223 2 7.294 1

5 結(jié)論

為了提高定時(shí)截尾指數(shù)壽命數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)效率,本文利用RSS下定時(shí)截尾樣本,研究了指數(shù)分布參數(shù)的MLE,并采用部分期望法對MLE進(jìn)行了修正.相對效率的研究結(jié)果表明:RSS下修正MLE 的估計(jì)效率一致高于SRS下MLE.本文針對排序集抽樣下定時(shí)截尾數(shù)據(jù),未來將研究排序集抽樣下定數(shù)截尾數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)問題.